高二新课教案导数2

精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 年 级:高二 辅导科目: 课 时 数:3 学科教师:

授课 类型

T 基本概念

C 导数与函数相联系题 型分析

T 综合拔高

授课日 期时段

2014 年 教学内容

一、同步知识梳理
知识点 1:函数的单调性与导数的关系
一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系: 在某个区间 ( a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 ;如果

f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内
解析:单调递增;单调递减

.

知识点 2:判别 f(x0)是极大、极小值的方法
若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点, f ( x0 ) 是极 值,并且如果 f ?( x ) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的 果 f ?( x ) 在 x0 两侧满足“左负右正” ,则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是 解析:极大值点;极小值. , f ( x0 ) 是极大值;如

知识点 3:解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) . (2)求方程 f′(x)=0 的根. (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正, 那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值.

知识点 4: 求函数最值的步骤: (1) 求出 f ( x) 在 ( a, b) 上的极值. (2) 求出端点函数值 f (a), f (b) .
(3)比较极值和端点值,确定最大值或最小值.

二、同步题型分析
导数与函数的单调性 题型 1:讨论函数的单调性

? 1 ,x ? 1 ? 例 1(08 广东高考)设 k ? R ,函数 f ( x) ? ?1 ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx , x ? R ,试讨论 ?? x ? 1,x ≥1 ?
函数 F ( x) 的单调性. 【解题思路】先求导再解 f '( x) ? 0 和 f '( x) ? 0

? 1 ? kx, ? 【解析】 F ( x) ? f ( x) ? kx ? ?1 ? x ?? x ? 1 ? kx, ?
对于 F ( x ) ?

x ? 1, x ? 1,

? 1 ? k, 2 ? ? (1 ? x) F '( x) ? ? ?? 1 ? k , ? ? 2 x ?1

x ? 1, x ? 1,

1 ? kx( x ? 1) , 1? x

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1) 上是增函数; 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ( ??,1 ?

1 1 ) 上是减函数,在 (1 ? ,1) 上是增函数; k k

对于 F ( x) ? ?

1 ? k ( x ? 1) , 2 x ?1

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1, ?? ? 上是减函数;

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1,1 ?

? ?

1 ? 1 ? ? 上是减函数,在 ?1 ? , ?? ? 上是增函数。 2 ? 2 4k ? ? 4k ?

【名师指引】解题规律技巧妙法总结: 求函数单调区间的一般步骤. (1) 求函数 f ( x) 的导数 f ?( x ) ( 2 )令 f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的范围就是单调增区间 ; 令

f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的范围就是单调减区间(3)对照定义域得出结论.
[误区警示]求函数单调区间时,容易忽视定义域,如求函数 y ? ln( x ? 1) ? 错误率高,请你一试,该题正确答案为 (?1, 0) . 题型 2.由单调性求参数的值或取值范围 例 2: 若 f ( x) ? ax3 ? x 在区间[-1,1]上单调递增,求 a 的取值范围. 【解题思路】解这类题时,通常令 f '( x) ? 0 (函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上递增)或 f '( x) ? 0 ( 函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上递减 ),得出恒成立的条件 , 再利用处理不等式恒成立的方法获 解. 解析:

1 2 x ? x 的单调增区间, 2

f ?( x) ? 3ax2 ? 1 又 f ( x) 在区间[-1,1]上单调递增
1 1 在 xt [-1,1]的最大值为 ? 2 3 3x

? f ?( x) ? 3ax2 ? 1 ? 0 在[-1,1]上恒成立 即 a ? ?
?a ? ? 1 3
故 a 的取值范围为 [? , ??]

1 3

【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法. 题型 3.借助单调性处理不等关系 例 3. 当 x ? 0 ,求证 e ? 1 ? x
x

【解题思路】先移项,再证左边恒大于 0 解析:设函数 f ( x) ? e x ? (1 ? x)

f ?( x) ? ex ?1

x 0 当 x ? 0 时, e ? e ? 1 , ? f ?( x) ? e x ?1 ? 0 故 f ( x) 在 [0, ??) 递增, ? 当 x ? 0 时,

f ( x) ? f (0) ,又 f (0) ? e0 ? (1 ? 0) ? 0 ,? f ( x) ? 0 ,即 e x ? (1 ? x) ? 0 ,故 e x ? 1 ? x
【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数,往往构造函数,借助于函数的单调性来 证明

三、课堂达标检测
检测题 1: 若函数 f(x)=x -ax +1 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是 A.a≥3 B.a=2 C.a≤3 D.0<a<3 分析:本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.
3 2

2 2 解析:f′(x)=3x2-2ax=3x(x- 3 a),由 f(x)在(0,2)内单调递减,得 3x(x- 3 a)≤0, 2 即 3 a≥2,∴a≥3.答案:A
检测题 2:函数 y=x +x 的单调增区间为 A.(-∞,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.不存在 2 3 解析:∵y′=3x +1>0 恒成立,∴y=x +x 在(-∞,+∞)上为增函数,没有减区间. 答案:A: 检测题 3: 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ? (Ⅰ)求函数 F ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 若以函数 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 立,求实数 a 的最小值; 解析: (I) F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?
3

a ( a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . x

1 恒成 2

a 1 a x?a ? x ? 0? , F ' ? x ? ? ? 2 ? 2 ? x ? 0? x x x x

∵ a ? 0 ,由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a, ??? ,∴ F ? x ? 在 ? a, ??? 上单调递增。 由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? 0, a ? ,∴ F ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减。 ∴ F ? x ? 的单调递减区间为 ? 0, a ? ,单调递增区间为 ? a, ??? 。 (II) F ' ? x ? ?

x?a ? 0 ? x ? 3? , x2

k ? F ' ? x0 ? ?

x0 ? a 1 ? 1 2 ? ? ? 0 ? x0 ? 3? 恒成立 ? a ? ? ? x0 ? x0 ? 2 x0 2 ? 2 ?max
1 2 1 x0 ? x0 取得最大值 。 2 2 1 ? 2

当 x0 ? 1时, ? ∴a ?

1 ,∴ amin 2

一、专题精讲
导数与函数的极值和最大(小)值. 题型 1:利用导数求函数的极值和最大(小)值 例 1. 若函数 f ( x) ? m cos x ?

? 1 sin 2 x 在 x ? 处取得极值,则 m ? 4 2

.

' ' 【解题思路】若在 x0 附近的左侧 f ( x) ? 0 ,右侧 f ( x) ? 0 ,且 f ' ( x0 ) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是 f ( x) 的 ' ' 极大值;若在 x 0 附近的左侧 f ( x) ? 0 ,右侧 f ( x) ? 0 ,且 f ' ( x0 ) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是 f ( x) 的极小

值.
' [ 解 析 ] 因 为 f ( x) 可 导 , 且 f ( x) ? ?m sin x ? cos 2 x , 所 以 f ( ) ? ? m sin
'

?

?
4

m ? 0 .经验证当 m ? 0 时, 函数 f ( x) ?

1 ? sin 2 x 在 x ? 处取得极大值. 4 2

4

? cos

?
2

? 0 ,解得

【名师指引】 若 f ( x) 是可导函数,注意 f ?( x0 ) ? 0 是 x0 为函数 f ( x) 极值点的必要条件.要确定极 值点还需在 x 0 左右判断单调性. 例 2. (2008·深圳南中)设函数 f ( x) ? ? x( x ? a)2 ( x ? R ) ,其中 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的极大值 和极小值. 【解题思路】先求驻点,再列表判断极值求出极值。 解析:. f ( x) ? ? x( x ? a) ? ? x ? 2ax ? a x ,
2 3 2 2

f ?( x) ? ?3x2 ? 4ax ? a2 ? ?(3x ? a)( x ? a) .
令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

a 或 x ? a. 3

由于 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

x
f ?( x )

(??, )
3

a

a 3

( ,a )
3

a

a
0

( a, ?? )

?
a

0

?

?

因此,函数 f ( x) 在 x ?

a a 4 3 a ; 处取得极小值 f ( ) ,且 f ( ) ? ? 3 3 3 27

函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极大值 f ( a ) ,且 f (a) ? 0 . 【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行。 例 3. (广东省深圳外国语学校 2009 届高三上学期第二次统测)已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围. 【解题思路】 先求极值再求端点值,比较求出最大(小)值.当区间只有一个极大(小)值时,该值就是最 大(小)值 解析: f ( x) 的定义域为(0,+?), ????1 分

f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . ??????3 分 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . e e ? 1? ?1 ? 从而 f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增. ??????5 分 ? e? ?e ? 1 1 所以,当 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . ?????????? 6 分 e e (Ⅱ)解法一:令 g ( x) ? f ( x) ? (ax ? 1) ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? a ? 1 ? a ? ln x , ????????8 分 ① 若 a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 1 ? a ? ln x ? 1 ? a ? 0 , ,+?) 上为增函数, 故 g ( x) 在 (1 所以, x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 f ( x) ? ax ? 1 .???????? 10 分 ② 若 a ? 1 ,方程 g ?( x) ? 0 的根为 x0 ? ea?1 ,
此时,若 x ? (1 ,x0 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数. 所以 x ? (1 ,x0 ) 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 , 即 f ( x) ? ax ? 1 ,与题设 f ( x) ? ax ? 1 相矛盾. ????????13 分

1] . ??????????????14 分 综上,满足条件的 a 的取值范围是 (??, ? ?) 上恒成立, 解法二:依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1,
1 , ? ?) 恒成立 . 对于 x ? [1 ????????8 分 x 1 1 1 1? 1? 令 g ( x) ? ln x ? , 则 g ?( x) ? ? 2 ? ?1 ? ? . ????????10 分 x x x x? x?
即不等式 a ? ln x ?

当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ?

故 g ( x) 是 (1, ? ?) 上的增函数,

1? 1? ?1 ? ? ? 0 , x? x?

所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 , ?????? 13 分

1] . 所以 a 的取值范围是 (??,

????????????????14 分

【名师指引】求函数 f ( x) 在闭区间 ? a, b? 上的最大值(或最小值)的步骤:①求 f ( x) 在 ? a, b ? 内的 极大(小)值,②将极大(小)值与端点处的函数值进行比较,其中较大者的一个是最大者,较小 的一个是最小者. 题型 2.已知函数的极值和最大(小)值,求参数的值或取值范围。 例 3. (广东省六校 2009 届高三第二次联考) 已知函数 f ? x ? ? ?x ? ax ? bx ? c 图像上的点 P ?1, ?2? 处的切线方程为 y ? ?3x ? 1 .
3 2

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,求 f ? x ? 的表达式 (2)函数 f ? x ? 在区间 ? ?2,0? 上单调递增,求实数 b 的取值范围 【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法,求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等 式(组) 解析: f
'

? x? ? ?3x2 ? 2ax ? b ,

-----------------2 分

因为函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线斜率为-3, 所以 f ?1? ? ?3 ? 2a ? b ? ?3 ,即 2a ? b ? 0 ,------------------------3 分
'

又 f ?1? ? ?1 ? a ? b ? c ? ?2 得 a ? b ? c ? ?1 。------------------------4 分 (1)函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,所以 f ' ? ?2? ? ?12 ? 4a ? b ? 0 ,-------5 分 解得 a ? ?2, b ? 4, c ? ?3 ,------------------------------------------7 分 所以 f ? x ? ? ?x ? 2x ? 4x ? 3 .------------------------------------8 分
3 2

(2)因为函数 f ? x ? 在区间 ? ?2,0? 上单调递增,所以导函数 f

'

? x ? ? ?3x2 ? bx ? b

在区间 ? ?2,0? 上的值恒大于或等于零,--------------------------------10 分 则?

? ? f ' ? ?2 ? ? ?12 ? 2b ? b ? 0, 得 b ? 4 ,所以实数 b 的取值范围为 ? 4, ?? ? ----14 分 f ' 0 ? b ? 0, ? ? ? ?

【名师指引】已知 f ( x) 在 x ? x0 处有极值,等价于 f '( x) ? 0 。

二、专题过关
检测题 1: y ? ? x2 ? 2 x ? 3 在区间 [a, 2] 上的最大值为
A. ?

3 2

B.

1 2

C. ?

1 2

15 ,则 a =( 4 1 3 D. 或? 2 2



解析:选 B

y最大

15 , ? a ? ?1 且 在 x ? a 时 , 4 1 3 1 15 ? ?a 2 ? 2a ? 3 ? ,解之 a ? 或 a ? ? (舍去) ,? a ? 选 B. 2 2 2 4

y ? ?( x ? 1)2 ? 4 在 [a, 2] 上 的 最 大 值 为

检测题 2: f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 在区间 [?1,1] 上的最大值是 A. ?2 B.0 C.2 D.4

[解析] f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3x( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 可得 x ? 0 或 2 (2 舍去) ,当 ?1 ? x ? 0 时,

f ?( x ) ?0,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x ) ?0,所以当 x ? 0 时,f(x)取得最大值为 2.选 C
检测题 3:已知函数 f ( x) ? ax3 ? cx ? d (a ? 0) 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时 f ( x) 取得极值 ?2 . (1)求 f ( x) 的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1 , x2 ? (?1,1), 不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 恒成立. [解析](1)由奇函数定义,有 f (? x) ? ? f ( x), x ? R . 即

?ax3 ? cx ? d ? ?ax3 ? cx ? d ,? d ? 0. 因此, f ( x) ? ax3 ? cx, f '( x) ? 3ax2 ? c.
由条件 f (1) ? ?2 为 f ( x) 的极值,必有 f '(1) ? 0,



?a ? c ? ?2 ? ?3a ? c ? 0
3

,解得 a ? 1, c ? ?3.
2

因此 f ( x) ? x ? 3x, f '( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ?1),

f '(?1) ? f '(1) ? 0.

当 x ? (??, ?1) 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在单调区间 (??, ?1) 上是增函数. 当 x ? (?1,1) 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在单调区间 (?1,1) 上是减函数. 当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在单调区间 (1, ??) 上是增函数. 所以, f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值,极大值为 f (?1) ? 2. (2)由(1)知, f ( x) ? x3 ? 3x( x ?[?1,1]) 是减函数,且

f ( x) 在 [?1,1] 上的最大值为 M ? f (?1) ? 2, 最小值为 m ? f (1) ? ?2.
所以,对任意 x1 , x2 ? (?1,1), 恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ? m ? 2 ? (?2) ? 4. [方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f ( x)max ? f ( x)min

三、学法提炼
1、专题特点: 高考必考,思维难度不是很大,但要求很强的计算能力,和对恒成立与能成立有 清晰的了解 2、解题方法 恒成立、能成立解题 3、注意事项
思路要清晰 首先要求函数本身的取值范围。

一、 能力培养
综合题 1:东莞高级中学 2009 届高三上学期 11 月教学监控测试)已知函数 f(x)=ax +bx -3x 在 x= ±1 处取得极值. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;
3 2

(Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; (Ⅲ)若过点 A(1,m) (m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围. 解: (I)f′(x)=3ax +2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0, 即?
2

?3a ? 2b ? 3 ? 0 , ????????????????2 分 ?3a ? 2b ? 3 ? 0

解得 a=1,b=0. ∴f(x)=x -3x.????????????????????4 分 (II)∵f(x)=x -3x,∴f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1), 当-1<x<1 时,f′(x)<0,故 f(x)在区间[-1,1]上为减函数, fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2??????????????6 分 ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4????????????8 分 (III)f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为 y=x -3x,∴点 A(1,m)不在曲线上.
3 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3 x0 . 2 因 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ,故切线的斜率为
3 2 3 2 3

3 x0 ? 3x0 ? m , 3( x ? 1) ? x0 ? 1 2 0
3 2 整理得 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 ? 0.

∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线,
3 2 ∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根.????????10 分 3 2 2 设 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 ,则 g′(x0)=6 x0 ? 6 x0 ,

由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0) , (1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
3 2 ∴函数 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 的极值点为 x0=0,x0=1??????12 分

3 2 ∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根的充要条件是

? g (0) ? 0 ,解得-3<m<-2. ? ? g (1) ? 0
故所求的实数 a 的取值范围是-3<m<-2.????????14 分 综合题 2: (广东省北江中学 2009 届高三上学期 12 月月考 ) 已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

(Ⅰ)讨论 a ? 1 时, f ( x) 的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

1 ; 2

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x

??1 分

/ ∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减

/ 当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增

??3 分 ??4 分

∴ f ( x) 的极小值为 f (1) ? 1

(Ⅱ)? f ( x) 的极小值为 1,即 f ( x) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x) ? 0 , f ( x)min ? 1 令 h( x ) ? g ( x ) ? ??5 分

1 ? ln x 1 ln x 1 ? ? , h ?( x) ? , ??6 分 x 2 x 2

当 0 ? x ? e 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ??7 分 ∴ h( x) max ? h(e) ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min e 2 2 2
1 2
??9 分

∴在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

(Ⅲ)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3,

f / ( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

??9 分

① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? 此时 f ( x) 无最小值. ??10 分

4 (舍去) ,所以, e

②当 0 ?

1 1 1 ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a

1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ??11 分 a
③ 当

1 4 ? e 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (舍去) ,所以, a e
2

此时 f ( x) 无最小值.综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x) 有最小值 3. 综合题 3 : ( 潮南区 08 - 09 学年度第一学期期末高三级质检 ) 已知函数 f ( x) ? (a?R) (1) 求 f(x)的单调区间; (2) 证明:lnx< x ? 1 解: (1)函数 f(x)的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ①当 a ? 0 时, f ?( x ) >0,f(x)在 (0, ??) 上递增
2 2 2 ②当 a ? 0 时,令 x ? 2a x ? 1 得 x ? 4a x ? 4a ? 0 解得:

x ? 1 ? a ln x

1 a x ? 2a x ? 1 ? ? 2 x ?1 x 2x x ?1

x1 ? 2a 2 ? 2a a 2 ? 1, x2 ? 2a 2 ? 2a a 2 ? 1 , 因 x1 ? 0 ( 舍 去 ) , 故 在 (0, 2a 2 ? 2a a 2 ? 1) 上

f ?( x ) <0,f(x)递减;在 (2a 2 ? 2a a 2 ? 1, ??) 上, f ?( x ) >0,f(x)递增.
(2)由(1)知 g ( x) ?

x ? 1 ? ln x 在 (0, 2 ? 2 2) 内递减,在 (2 ? 2 2, ??) 内递增.

[ g( x)]min ? g(2 ? 2 2) ? 1 ? 2 ? ln(2 ? 2 2)
故 x ? 1 ? ln x ? 1 ? 2 ? ln(2 ? 2 2) ,又因 2 ? 2 2 ? 5 ? e
2

故 1 ? 2 ? ln(2 ? 2 2) ? 1 ? 2 ? ln e2 ? 2 ?1 ? 0 ,得 x ? 1 ? ln x

二、 能力点评

学法升华
一、 知识收获
本节课你收获了什么? 对求单调性,极值,最大值有了更深刻的了解 深入了解了恒成立和能成立的问题

二、 方法总结
求导问题的方法步骤 1 求导 2 找零点 3 判断单调性 4 极值和最值

三、 技巧提炼
本节课有什么求范围题的技巧? 通过恒成立和能成立解题

课后作业
1. (广东省六校 2009 届高三第二次联考试卷) 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) , 导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在 ( a, b) 内有极小值 点共有( )

A.1 个

B .2 个

C .3 个

D. 4 个

解析:观察图象可知,只有一处是先减后增的,选 A 2. 、函数 y ? 1 ? 3x ? x3 有( A. 极小值-1,极大值 1 C. 极小值-2,极大值 2 ) B. 极小值-2,极大值 3 D. 极小值-1,极大值 3

解析: y? ? 3 ? 3x2 ? 3(1 ? x)(1 ? x) ,令 y? ? 0 得 x ? 1,

x ? ?1

当 x ? ?1 时, y? ? 0 ;当 ?1 ? x ? 1 时, y? ? 0 ;当 x ? 1 , y? ? 0

?

x ? ?1 时, y极小 ? ?1 ,当 x ? 1 y极大 ? 3 ,故选 D.

3.函数 y=f(x)=lnx-x,在区间(0,e]上的最大值为 A.1-e 解析:y′= B.-1 C.-e D.0

1 -1,令 y′=0,即 x=1,在(0,e]上列表如下: x
(0,1) + 增函数 1 0 极大值-1 =f(1)=-1. (1,e) - 减函数 1 -e e

x y′ y

由于 f(e)=1-e,而-1>1-e,从而 y 答案:B

4 . ( 广 东 深 圳 外 国 语 学 校 2008 — 2009 学 年 高 三 第 二 次 月 考 ) 若 a ? 1 , 求 函 数

f ( x) ? x ? ln(x ? a)(x ? (0,??)) 的单调区间.
[解析] f ?( x) ?

1 2 x

?

1 , x?a

令f ?( x) ? 0, 得

1 2 x

?

1 ? 2 x ? x ? a ? 4 x ? ( x ? a) 2 , x?a

? f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0,
同样 , f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0, ? ? ? (2a ? 4) 2 ? 4a 2 ? 16(1 ? a ),
(当 a.>1 时,对 x∈(0,+∞)恒有 f ?( x) >0, ∴当 a.>1 时,f(x)在(0,+∞)上为增函数; 5. (汕头市金山中学 2009 届高三上学期 11 月月考)已知函数 f(x)=ax3+3x2-x+1,问是否存在 实数 a,使得 f(x)在(0,4)上单调递减?若存在,求出 a 的范围;若不存在,说明理由。 解: f ? (x)=3ax2+6x-1. 要使 f(x)在[0,4]递减,则当 x∈(0,4)时, f ? (x)<0。

?a ? 0 ? ' ?a ? 0 f (0) ? 0 ? ?a ? 0 ? ' ? ∴ ? f (0) ? 0 或 ? f ' (4) ? 0 ,解得 a≤-3. 或? ?? ? 0 ? f ' ( 4) ? 0 ? ? ?? 1 ? 4或 ? 1 ? 0 ? a ? a


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