江西省吉安县二中2011-2012学年高一下学期竞赛试题 数学_图文

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高一数学竞赛试题

8、已知数列{an} 满足 a1 =1,an

?

a1

?

1 2

a2

?

1 3 a3

? ???

1 n ?1 an?1

(n

?

2,

n?

N*)

,若

一.选择题(本大题共有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.)
1 、 设 集 合 A = ?a1, a2., a3, a4? , 若 A 中 所 有 三 元 子 集 的 三 个 元 素 之 和 组 成 集 合
B ? ??1,3,5,8?,则 A=( )

A.?? 3,1,2,6?

B.?? 3,0,2,6?

C. ?? 1,1,2,6?

D.?? 3,0,1,6?

2、等差数列 ?an ?中,已知 3a5 ? 7a10 ,且 a1 ? 0 ,则前 n 项和 Sn 中最小的是( )

A.S7 或 S8

B.S12

C.S13

D.S15

3、已知函数 f (x) ? sin a? x , a 等于抛一骰子得到的点数,则 y ? f (x) 在[0,4]上至 3

少有 5 个零点的概率为(



A. 1 3

B. 1 2

C. 2 3

D. 5 6

ak ? 100 ,则 k 为(



A.100 B.300 C.200 D.400

9、设P为△ABC内一点,且 AP ? 2 AB ? 1 AC ,则△PBC与△ABC的面积之比为 55
()

A. 1 5

B. 3 5

C. 4 5

D. 2 5

?x ? y ? 0

10、若任意满足

? ?

x

?

y

?5

?

0

的实数

x,y,不等式 a(x2

?

y2)

?

(x

?

y)2

恒成立,则实

??y ? 3 ? 0

数 a 的最大值为(

A. 22 13

B. 25 13

) C. 2

D. 13 25

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)

4、若方程 x2 ? (m ?1)x ? 4 ? 0 在(0,3]上有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围

为(



A.(3, 10 ) 3

B.[3, 10 ) 3

C.[3, 10 ] 3

D.(3, 10 ] 3

5、已知在半径为 2 的圆O上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,AB、CD

中点分别为 O1,O2,则△O2AB 的面积最大值为(



A. 2 3

B. 2 2

C. 3

D. 3 3

6、函数 f (x) ? loga (?ax2 ? 3x ? 2a ?1) 对于任意的 x∈(0,1]恒有意义,则实数 a 的

取值范围为(



A.a>0 且 a≠1

B.a≥ 1 且 a≠1 2

C.a> 1 且 a≠1 2

D.a>1

11、如图,四边形ABCD中,A=60°, AD⊥CD ,DB⊥BC,AB= 2 3 ,

BD=4,则 BC 的长为

D


12.、函数 f (x) ? x2 ?1 的值域为

A

x ?1

13、在△ABC中, cos A ? 4 , sin(B ? A) ? 3 ,则 sin B ?

B

C

5

5

14、已知数列?an ?为等差数列,它的前 n 项和为Sn,若存在正整数 m,n(m≠n),

使,Sn=Sn,则Sn+n=0,类比上述结论,若正项等比数列 ?bn ?,则

15、若关于 x 的不等式 ax2 ? | x ?1| ?2a <0 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围为

7、已知 0< 2? < 900 < ? <1800 ,a= (sin? )cos? , b ? (cos? )sin ? , c ? (cos? )cos ? ,

则 a,b,c 大小关系为(



A.a>c>b

B.a>b>c C.b>a>c

D.c>a>b

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考号

姓名________________

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高一数学竞赛答题卡
一.选择题(本大题共有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.)

17.(本小题满分 10 分)
已知△ABC中,AC=1,∠ABC= 2 ? ,∠BAC=x,记 f (x) ? AB ·BC 3
(1)求 f (x) 的解析式及定义域;

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(2)设 g(x) ? 6mf (x) ?1, x ? (0, ? ) ,是否存在实数 m,使函数 g(x) 的值域为 3

答案
二.填空题(每小题 5 分,共 25 分)

(1, 3]?若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由。 2

11、

12、

13、

14、

15、
三.解答题:本大题共 6 小题,满分 12+12+12+12+13+14=75 分.解答须写出文字 说明、证明过程和演算步骤. 16.高一某班的一次数学测试成绩 的茎叶图和频率分布图都受到不同 程度的破坏,但可见部分如图 5 和 图 6,据此解答如下问题:
(1)求分数在[50,60)的频 率及全班人数;
(2)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间 的距形的高;
(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在 抽取的试卷中,求至少有一份分数在[90,100]之间的概率。

18.(本小题满分 12 分)

设{an} 是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn ,并且对于所有的正整数 n,an

与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项。

(1) 求数列{an} 的通项公式(写出推证过程)

(2)

令 bn

? 1 ( an?1 2 an

?

an an?1

)

(n=1,2,3……),求{bn} 的和。

班级

学校

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19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? 2x ?1 2x ?1 (1)判断函数 f (x) 的奇偶性; (2)证明: f (x) 在R上为增函数; (3)证明:方程 f (x) ? ln x ? 0 在区间(1,3)内至少有一根。

20.(本小题满分 13 分)

已知方程 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ? 0 的三个根 x1 ,x2 ,x3 满足 0< x1 <1,x2 ? 1,

x3

>1,求

b a

的取值范围。

21.(本小题满分 14 分)设 f (x) ? x3 ,等差数列{an} 中, a3 ? 7, a1 ? a2 ? a3 ? 12 ,
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记 Sn

?

f

(3

an?1 ) ,令 bn

?

an

S

n

,数列

1 {
bn

}

的前

n

项和为Tn 。

(1)求{an} 的通项公式及 Sn

(2)求证:

Tn



1 3

(3)数列 {Cn }

满足

Cn3

?

cn an ?

2

?1

(n

?

N

*)

,求证 {Cn }

是单调递增数列。

高一数学竞赛试题参考答案
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