2.3.1抛物线及其标准方程1


抛物线 及其标准方程





椭圆、双曲线的第二定义:
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹. (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e>1时,是双曲线;
问 题

当e=1时,它的轨迹是什么?
l l

动画

M
F · F

l

M

·
e>1

N

M

? · F ·
e=1

0< e < 1

课堂新授

一、定义

定点F与定直线l的 位置关系是怎样的? l
M

平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 N 定点F叫做抛物线的焦点。

· F ·

定直线l 叫做抛物线的准线。

即:

MF ︳ ︳ 若 ? 1, 则点 M的轨迹是抛物线。 ︳ MN ︳

课堂新授

二、标准方程的推导
步骤:
(1)建系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)证明

l

N

· · F
M

想 一 想 ?

1.求曲线方程的 基本步骤是怎样 的?

课堂新授

l
y

y=ax2 y=ax2+c y=ax2+bx+c

N

· · F
M

o

x

思考: 抛物
线是一个怎样 的对称图形?
回忆一下,看看上面的方程哪一种简单, 为什么会简单?启发我们怎样建立坐标系?

1、标准方程的推导
取过焦点F且垂直于准线l的直线为 x轴,线段KF的中垂线 为y轴 设︱KF︱= p p p 则F( 2 ,0),l:x = 2 设点M的坐标为(x,y), 由定义可知, l y N K o
M

课堂新授

· · F

x

p2 p ( x ? ) ? y2 ? x ? 2 2
化简得

2 y

= 2px(p>0)

课堂新授

2、抛物线的标准方程
方程 = 2px(p>0) 叫做抛物线的标准方程 y2
N

l y
M

K o

其中 p 为正常数,它的几何意义是:

· · F

x

焦点到准线的距离
方程y2 = 2px(p>0)表示抛物线的焦点
p 焦点:F( 2

在 X轴的正半轴上

p ,0),准线L:x = - 2

课堂新授

一条抛物线,由于它在坐标平面 内的位置不同,方程也不同,所以抛 物线的标准方程还有其它形式.

抛物线的标准方程还有 几种不同的形式?它们是 如何建系的?

三. 四种抛物线及其它们的标准方程
y
y

课堂新授
y O F

y
l


O F

x

x

F

O

x

F O l


l
l

x

焦点位置
标准方程 焦点坐标

x轴的 正半轴上 y2=2px
p F ( ,0) 2 p x =2

x轴的 负半轴上 y2=-2px
p F(- ,0) 2 p x= 2

y轴的 正半轴上 x2=2py
p F (0, ) 2 p y =2

y轴的 负半轴上 x2=-2py
p F (0, - ) 2 p y= 2

准线方程

课堂新授

想一想:
1、椭圆,双曲线,抛物线各有几条
准线?

2。 根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形、焦点坐标、准线
方程的应关系,如何判断抛物线的焦点 位置,开口方向?

课堂新授

如何判断抛物线的焦点位置,开口方向?

第一:一次项的变量如为 X (或Y) 则X轴(或Y轴)为抛 物线的对称轴,焦点就在对称轴 上。 第二:一次项的系数的正负 决定了开口方向

课堂新授

3、我们以前学习的抛物线和现在学习的

抛物线的标准方程有什么联系?

二次函数y ? ax 2 ? bx ? c的图象都是抛物线, 其中的一部分y ? ax 2是(或可化为)抛物线 的标准方程x ? ?2 py。
2

标准方程中的y ? ?2 px是我们以前没学过的
2

抛物线,但它不是x的二次函数。

例题讲解

例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x, 求它的焦点坐标和准线方程; 3 解:因为p=3,故焦点坐标为(-,0) 2 3 准线方程为x=- -. 2 (2)已知抛物线的方程是y = -6x2,求它的焦 点坐标和准线方程;

1 解:方程可化为: x ? ? y, 故焦点坐标 6 1 1
2

24 24 (3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求 它的标准方程。 解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准 方程为:x 2 = - 8y

为 (0,?

) ,准线方程为 y ?

.

课堂练习1

1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0);

1 (2)准线方程 是 x = ? ; 4

y2 =12x y2 =x

(3)焦点到准线的距离是2。

y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y

课堂练习1

2、已知抛物线的标准方程是(1)y2 =12x、(2)y= 12x2 求它们的焦点坐标和准线方程; 解: (1)p=6,焦点坐标是(3,0)准线方程是 x=-3. 1 1 2 y ,p ? (2)先化为标准方程 x ? , 24 12 1 焦点坐标是(0,48 ), 1 准线方程是y=- 48 .

例题讲解

例2、求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。
解:当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=

9 4


A

y

O

x

当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px,

4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = ? x 3 2

2 得p= 3



课堂练习2

已知抛物线经过点P(4,-2),求抛物线的 标准方程。
提示:注意到P为第四象限的点,所以可以设抛物线 的标准方程为y2=2px或x2=-2py

解: ?点P(4,?2)位于第四象限,设所求方程为 y 2 ? 2 p1 x或x 2 ? ?2 p2 y,将x ? 4, y ? ?2代入, 1 可得p1 ? , p2 ? 4, 2 ? 所求为y 2 ? x或x 2 ? ?8 y

例题讲解

例3、点M与点F(4,0)的距离比它到直线
l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
y

分析:如图可知原条件等 价于M点到F(4,0)和到 x =- 4 距离相等,由抛物 线的定义,点 M 的轨迹是 以 F ( 4 , 0 )为焦点, x = -4为准线的抛物线.因为 p/2=4, 所以 p=8, 所求方程是 y2=16x.

M (x , y)

-5

-4

F(4,0) x

课堂练习3

例4、M是抛物线y2 = 2px(P>0)上一点,若点
M 的横坐标为X0,则点M到焦点的距离是

————————————

p X0 + — 2

y

抛物线 y ? ?2 px
2

(p.0) 上任意一点P

( x0 , y0 ) 到焦点的
距离(称为焦半经) P 等于 | x0 | ? 2

O F

. .
M

x

课堂练习3

1. 抛物线

2 y

= 2px ( p>0 ) 上一点

p M到焦点的距离是 a ( a> ),则点M 2

到准线的距离是 p a - 横坐标是
2

a

, 点 M的

.

2. 抛物线y2 =12x上与焦点的距离等
于9的点的坐标是

(6,?6 2 )

.

例题讲解

例5. 斜率为1的直线经过抛物线y2 =4x 的焦点,与抛物线相交于两点A、B, 求线 段AB的长.
l y

A

O
B

F

X

例题讲解

分析1:直线与抛物线相交问题,可联立方程组求交点 坐标,由距离公式求;或不求交点,直接用弦长公式求。 解法一:如图8—22,由抛物线的标准方程可知,抛 物线焦点的坐标为F(1,0),所以直线AB的方程为 y=x-1. ① 将方程①代入抛物线方程y2=4x,得 (x-1)2=4x . 化简得x2-6x+1=0 设A(x1,y1),B(x2,y2)得:

x1+x2=6 , x1x2=1 将x1+x2,x1x2的值分别代入弦长公式
?| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 1 ? k 2

? 36 ? 4 2 ? 8

例题讲解

分析2:直线恰好过焦点,可与抛物线定义发生 联系,利用抛物线定义将AB转化成A、B间的焦点弦 (两个焦半径的和),从而达到求解目的. 解法二:在图8—22中,由抛物线的定义可知, p |AF|= AA? , 而 | AA? |? x1 ? ? x1 ? 1. 2 BF ? BB? ? x2 ? 1, 同理 于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2. 由方程x2-6x+1=0,根据根与 系数关系可以得 x1+x2=6 于是 |AB|=6+2=8 说明:解法二由于灵活运用了抛物线的定义,所以减 少了运算量,提高了解题效率.

例题讲解

例6. 求证: 以抛物线的焦点弦为直径的圆 与 抛物线的准线相切.
l

y A
F M X

A1

M1

O

B1

B

例题讲解

例7. 在抛物线y2 = 2x上求一点P, 使P到焦点F与

到点A ( 3,2 )的距离之和最小.
l Q O y P A

F

X

课堂练习4

1.直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的( B) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.过原点的直线l与双曲线

3 3 (? , ) 交于两点,则l的斜率的取值范围是___________. 2 2

x y ? ? ?1 4 3

2

2

3.过抛物线y2=2px的焦点F的诸弦中,最短的 弦长是 2p 。 4.过点(0,2)与抛物线 y 2 直线有 A.1条 B.2条 C.3条

? 8 x 只有一个公共点的
( C )

D.无数多条

课堂新授

小 结 :
本节主要学习内容 1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的 对应关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、 准线方程 3、求标准方程常用方法: (1)用定义 ; (2)用待定系数法。

4、直线与抛物线的位置关系,注意焦半径、焦 点弦的应用,到焦点和到准线的线段的转化。


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