高中数学解析几何部分错题精选

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高中数学解析几何部分错题精选

一、选择题:

1.若双曲线

x2 a2

?

y2 b2

?

?1 的离心率为

5 4

,则两条渐近线的方程为

A X ? Y ?0 B X ?Y ?0 C X ?Y ?0 D X ?Y ?0

9 16

16 9

34

43

解 答:C

易错原因:审题不认真,混淆双曲线标准方程中的 a 和题目中方程的 a 的意义。

2.椭圆的短轴长为 2,长轴是短轴的 2 倍,则椭圆的中心到其准线的距离是

A 8 5 B 4 5 C 8 3 D4 3

5

5

3

3

解 答:D 易错原因:短轴长误认为是 b

3.过定点(1,2)作两直线与圆 x2 ? y2 ? kx ? 2 y ? k 2 ?15 ? 0 相切,则 k 的取值范围是

A k>2 B -3<k<2 C k<-3 或 k>2 D 以上皆不对 解 答:D

易错原因:忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑 D2 ? E2 ? 4F ? 0

4.设双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的半焦距为 C,直线 L 过 (a, 0), (0,b) 两点,已知原点到直线

L 的距离为 3 C ,则双曲线的离心率为 4

A 2 B 2或2 3 C 3

2 D2 3 3

解 答:D 易错原因:忽略条件 a ? b ? 0 对离心率范围的限制。

5.已知二面角? ? l ? ? 的平面角为? ,PA ? ? ,PB ? ? ,A,B 为垂足,且 PA=4,PB=5,

设 A、B 到二面角的棱 l 的距离为别为 x, y ,当? 变化时,点 (x, y) 的轨迹是下列图形中的

A

B

C

D

解 答: D

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易错原因:只注意寻找 x, y 的关系式,而未考虑实际问题中 x, y 的范围。

6.若曲线 y ? x2 ? 4 与直线 y ? k(x ? 2) +3 有两个不同的公共点,则实数 k 的取值范围是

A 0? k ?1 B 0 ? k ? 3 4
解 答:C

C ?1 ? k ? 3 4

D ?1? k ? 0

易错原因:将曲线 y ? x2 ? 4 转化为 x2 ? y2 ? 4 时不考虑纵坐标的范围;另外没有看清过

点(2,-3)且与渐近线 y ? x 平行的直线与双曲线的位置关系。

7. P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点 R(2,m)使︱PR︱+︱RQ︱最小,则 m=( )

1
A
2

B0

C –1

D -4 3

正确答案:D 错因:学生不能应用数形结合的思想方法,借助对称来解题。

8.能够使得圆 x 2 +y 2 -2x+4y+1=0 上恰好有两个点到直线 2x+y+c=0 距离等于 1 的一个值为( )

A2

B5

C

3

D 35

正确答案: C 错因:学生不能借助圆心到直线的距离来处理本题。

9.P 1 (x 1 ,y 1 )是直线 L:f(x,y)=0 上的点,P 2 (x 2 ,y 2 )是直线 L 外一点,则方程 f(x,y)+f(x 1 ,y1 )+f(x

2 ,y 2 )=0 所表示的直线(



A 相交但不垂直

B 垂直

C 平行

D 重合

正确答案: C 错因:学生对该直线的解析式看不懂。

10.已知圆 ?x ? 3? 2 +y 2 =4 和 直线 y=mx 的交点分别为 P、Q 两点,O 为坐标原点,

则︱OP

︱·︱OQ︱=( )

A 1+m 2

5 B 1? m2

C5

D 10

正确答案: C 错因:学生不能结合初中学过的切割线定︱OP︱·︱OQ︱等于切线长

的平方来解题。

11.在圆 x 2 +y 2 =5x 内过点( 5 , 3 )有 n 条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列首项 a ,最

22

1

长弦长为

a

n

,若公差

d?

?? ?

1 6

,

1 3

? ??

,那么

n

的取值集合为(



A ?4、5、6?

B ?6、7、8、9?

C ?3、4、5?

D ?3、4、5、6?

正确答案:A 错因:学生对圆内过点的弦何时最长、最短不清楚,不能借助 d 的范围来求 n. 12.平面上的动点 P 到定点 F(1,0)的距离比 P 到 y 轴的距离大 1,则动点 P 的轨迹方程为( )

A y 2 =2x

B

y 2 =2x



?y ? 0 ??x ? 0

C

y 2 =4x

D y 2 =4x



?y ? 0 ??x ? 0

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正确答案:D 错因:学生只注意了抛物线的第二定义而疏忽了射线。

13.设双曲线

x2 a2



y2 b2

=1 与 y 2 b2

- x2 a2

=1(a>0,b>0)的离心率分别为 e 1

、e 2 ,则当 a、

b

变化时,e

2 1

+e

2 2

最小值是(



A 4 B 42

C

2

D

2

正确答案:A

错因:学生不能把

e

2 1

+e

2 2



a、

b

的代数式表示,从而用基本不等式求最

小值。

14.双曲线 x 2 - y 2 =1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在直线方程是( ) 94

A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16

D 不存在

正确答案:D 错因:学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。

15.已知? 是三角形的一个内角,且 sin? +cos? = 1 则方程 x 2 sin? -y 2 cos? =1 表示( ) 5

A 焦点在 x 轴上的双曲线

B

焦点在 y 轴上的双曲线

C 焦点在 x 轴上的椭圆

D

焦点在 y 轴上的椭圆

正确答案:D 错因:学生不能由 sin? +cos? = 1 判断角? 为钝角。 5
16.过抛物线的焦点 F 作互相垂直的两条直线,分别交准线于 P、Q 两点,又过 P、Q 分别作抛物

线对称轴 OF 的平行线交抛物线于 M﹑N 两点,则 M﹑N﹑F 三点

A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律

正确答案:B 错因:学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。

17.曲线 xy=1 的参数方程是( )

1
A x=t 2

B x=Sinα

C x=cosα

D x=tanα

?1
y=t 2

y=cscα

y=Seeα

y=cotα

正确答案:选 D

错误原因:忽视了所选参数的范围,因而导致错误选项。

18.已知实数 x,y 满足 3x2+2y2=6x,则 x2+y2 的最大值是(

)

A、 9 2

B、4

C、5

D、2

正确答案:B

错误原因:忽视了条件中 x 的取值范围而导致出错。

x2 19.双曲线 n

-y2=1(n>1)的焦点为 F1、F2,,P 在双曲线上

,且满足:|PF1|+|PF2|=2

n+2 ,则

Δ PF1F2 的面积是

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A、1

B、2

C、4

D、12

正确答案: A 错因:不注意定义的应用。
20.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y 2 ? 4x 仅有一个公共点,这样的直线有( )

A.1 条 B.2 条 正确答案:C

C. 3 条 D. 0 条

错解:设直线的方程为

y

?

k

x

?

1,联立

? ?

y

2

?

4x

,得 ?kx ? 1?2 ? 4x ,

?y ? kx?1

即: k 2 x 2 ? (2k ? 4)x ? 1 ? 0 ,再由Δ =0,得 k=1,得答案 A.

剖析:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率 k=0 的情形

丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条。

21.已知动点 P(x,y)满足5 (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ?| 3x ? 4y ?11| ,则 P 点的轨迹是

A、直线

B、抛物线

C、双曲线

D、椭圆

()

正确答案:A

错因:利用圆锥曲线的定义解题,忽视了(1,2)点就在直线 3x+4y-11=0 上。

? ? 22.在直角坐标系中,方程 ?x ? y ?1? 3 ? 2x ? x2 ? y ? 0 所表示的曲线为( )

A.一条直线和一个圆 C.一条直线和半个圆 正确答案:D 错因:忽视定义取值。

B.一条线段和一个圆 D.一条线段和半个圆

23.设坐标原点为 O,抛物线 y2 ? 2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则 OA?OB =( )

A. 3 4

B. ? 3 4

C.3 D.-3

正确答案:B。

错因:向量数量积应用,运算易错。

24.直线 x ? y ? 1 与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1相交于 A、B 两点,椭圆上的点 P 使 ?PAB的面积等于1

43

16 9

2,这样的点 P 共有(

A.1

B.2

正确答案:D

错因:不会估算。

)个 C.3

D.4

25.过点(1,2)总可作两条直线与圆 x2 ? y2 ? kx ? 2 y ? k 2 ?15 ? 0 相切,则实数 k 的取值范

围是( )
A k ? 2 B ?3 ? k ? 2 C k ? ?3 或 k ? 2 D 都不对
正确答案:D

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26.已知实数 x , y 满足 2x ? y ? 5 ? 0 ,那么 x2 ? y2 的最小值为

A. 5

B. 10

C. 2 5

D. 2 10

正确答案:A

27.若直线 y ? x ? b 与曲线 x2 ? y2 ? 4( y ? 0) 有公共点,则 b 的取值范围是

A. [?2, 2] B. [0, 2] C.[2, 2 2] D. [?2, 2 2]

正确答案:D

28.设f(x)= x2+ax+b,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则点(a,b)在 aOb 平面上的

区域的面积是

A. 1 2

B.1

C.2

D. 9 2

正确答案:B

?x ? 0,

29.当

x



y

满足约束条件

? ?

y

?

x,

( k 为常数)时,能使 z ? x ? 3y 的最大值为 12 的 k

??2x ? y ? k ? 0

的值为 A.-9 正确答案:A

B.9

C.-12

D.12

30.已知关于 t 的方程 t 2 ? tx ? y ? 0 有两个绝对值都不大于 1 的实数根,则点 P(x, y) 在坐标平

面内所对应的区域的图形大致是

A 答案:A

B

C

D

正确

31.能够使得圆 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ?1 ? 0 上恰有两个点到直线 2x ? y ? c ? 0 距离等于 1 的 c 的一

个值为( )

A.2

B. 5

C.3

D. 3 5

正确答案:C

32.抛物线 y=4x2 的准线方程为( )

A、x=-1

B、y=-1

C、x= ? 1 16

答案:D

点评:误选 B,错因把方程当成标准方程。

D、y= ? 1 16

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33.对于抛物线 C:y2=4x,称满足 y02<4x0 的点 M(x0,y0)在抛物线内部,若点 M(x0,y0)在

抛物线内部,则直线 l:y0y=2(x+x0)与曲线 C( )

A、恰有一个公共点

B、恰有两个公共点

C、可能有一个公共点也可能有 2 个公共点

D、无公共点

答案:D

点评:条件运用不当,易误选 C。

34.直线 l 过点,那么直线 l 倾斜角? 的取值范围是(

)。

A. [0,? )

B.

?
[0,

]? (?

,

?)

42

C.

?
[

,?

]

4

D.

?
[0,

]

?(?

,

?)

4

2

正解:B

? A(2,1), B(1, m2 ) m2 ? 0

? 点 A 与射线 x ? 1( y ≥0)上的点连线的倾斜角,选 B。

误解:选 D,对正切函数定义域掌握不清,故 x ? ? 时,正切函数视为有意义。 2

35.设

F1



F2

为双曲线

x2 4

?

y2

? 1 的两个焦点,点在双曲线上且满足 ?F1PF2

? 90 ? ,则

?F1PF2 的面积是(

)。

A. 1

5
B.
2
C. 2

D. 5

正解:A

x 2 ? y 2 ? 1 a ? 2, C ? 4

5 ?|| PF1 | ? | PF2 ||? 4

?| PF1 |2 ?2 | PF1 || PF2 | ? | PF2 |2 ? 16 ① 又? ?F1PF2 ? 90 ? ? | PF1 |2 ? | PF2 |2 ? (2 5)2 ② 联立①②解得?| PF1 || PF2 |? 2

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? S ?F1PF2 ? 1

误解:未将?|| PF1 | ? | PF2 ||? 4 两边平方,再与②联立,直接求出| PF1 || PF2 |。

36.已知直线 l1 和 l2 夹角的平分线为 y ? x ,若 l1 的方程是 ax ? by ? c ? 0(ab ? 0) ,则 l2 的方

程是(

)。

A. bx ? ay ? c ? 0

B. ax ? by ? c ? 0

C. bx ? ay ? c ? 0

D. bx ? ay ? c ? 0

正解:A

法一: l1



ax

?

by

?

c

?

0

?

y

?

?

a b

x

?

c b

,而 l1

与 l2

关于直线

y

?

x

对称,则 l2



表示的函数是 l1 所表示的函数的反函数。

由 l1

的方程得

x

?

?

a b

y

?

c b

?

bx

?

ay

?

c

?

0

选A

法二:找对称点(略)

误解:一般用找对称点法做,用这种方法有时同学不掌握或计算有误。

37.直线 y ? kx ?1,当 k 变化时,直线被椭圆 x 2 ? y 2 ? 1截得的最大弦长是(



4

A. 4 B. 2

43
A.
3

正解:C

B. 不能确定

直线 y ? kx ?1,恒过 P(0,1),又是椭圆的短轴上顶点,因而此直线被椭圆的弦长即为点

P 与椭圆上任意一点 Q 的距离,设椭圆上任意一点 Q (2cos? ,sin? ) 。

?| PQ |2 ? (2 cos? )2 ? (sin ? ?1)2 ? ?3sin 2 ? ? 2sin? ? 5

?当s in ?

?

?

1 3

时,| P

Q

|2m

ax

?

16 3

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?|

PQ

|max?

4 3

3 ,故选 C

误解:不能准确判断 y ? kx ?1的特征:过 P(0,1)。若用标准方程求解,计算容易出错。

38.已知直线 l1 : y ? x sin? 和直线 l2 : y ? 2x ? c ,则直线 l1 与 l2 (

)。

A. 通过平移可以重合 B. 不可能垂直
C. 可能与 x 轴围成等腰直角三角形

D. 通过 l1 上某一点旋转可以重合

正解:D。

只要 sin a ? ?1 ,那么两直线就相交,若相交则可得到(D)。 2 ?1

误解:A,忽视了 sin? 的有界性,误认为 sin a ? ?1 2 ?1

误解:B、C,忽视了 sin? 的有界性。

40.一条光线从点 M(5,3)射出,与 x 轴的正方向成? 角,遇 x 轴后反射,若 tan? ? 3,则

反射光线所在的直线方程为(



A. y ? 3x ?12

B. y ? ?3x ?12

C. y ? 3x ?12

D. y ? ?3x ?12

正解:D。 直线 MN; 3x ? y ?12 ? 0 ,? 与 x 轴交点 N (4, 0),反射光线方程为

y ? ?3x ?12 ,选 D。
y M? (5)

M (5,3)

? x
N

误解:反射光线 M?N 的斜率计算错误,得 1 或 ? 1 。 33
41.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ? b x, (a ? 0,b ? 0) ,若双曲线上有一点 a

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M( x0 , y0 ),使 a | y0 |? b | x0 | ,那双曲线的交点(

)。

A. 在 x 轴上 B. 在 y 轴上 C. 当 a ? b 时在 x 轴上

D. 当 a ? b时在 y 轴上

正解:B。

由 a y0

? b x0 得

y0 x0

?

b a

,可设

x0

?

0,

y0

?

0 ,此时 OM

的斜率大于渐近

线的斜率,由图像的性质,可知焦点在 y 轴上。所以选 B。

误解:设双曲线方程为 x2 ? y2 ? ? ,化简得: b2 x2 ? a2 y2 ? ?a2b2 , a2 b2

代入 (x0 , y0 ) , b2 x02 ? ?a2b2 ? a2 y02 ? b2 x02 ,?? ? 0 ,?焦点在 x 轴上。这个方法没

错,但 ? 确定有误,应 ? ? 0 ,?焦点在 y 轴上。

误解:选 B,没有分组。

42.过抛物线

y2

?

2 px( p

?

0) 的焦点作一条直线交抛物线于

A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ,则

y1 y2 x1 x2







A.4

B.-4

C. p 2

D. ? p 2

正解:D。

特例法:当直线垂直于 x

轴时,

A( p , 2

p), B( p , ? p), 2

y1 y2 x1x2

?

? p2 p2

?

?4

4

注意:先分别求出 x1x2 , y1 y2 用推理的方法,既繁且容易出错。

43.过点

A(

a

,0)作椭圆 C1

:

x2 a2

? y2 b2

? 1 的弦,弦中点的轨迹仍是椭圆,记为 C2 ,若 C1 和 C2

的离心率分别为 e 和 e' ,则 e 和 e' 的关系是(
A. B. C. D.

)。
e = e' e =2 e' 2 e = e'
不能确定

正解:A。设弦 AB 中点 P( x, y) ,则 B( 2x ??,2 y)

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由 (2x ?? )2 ?2

4y2 + b2

4(x ? a )2

=1,

2

a2

+

4y2 b2

=1*? c 2

?

a2 4

? b2 4

?e ?

a2 ?b2

2 a

=

2

a2 ?b2 a

?e ? e'

误解:容易产生错解往往在*式中前一式分子不从括号里提取 4,而导致错误。

44.直线

y

?

?x ?

tan?

?

2,?

?

? (

,?

)

的倾斜角是(

)。

2

A. ?

B. ? ? ? 2

C. ? ?

D. ? ? ?

正解:D。由题意得:κ = ? tan? ? tan(? ?? )

?? ? (? ,? )?? ?? ? (0, ? )

2

2

? 在[0,π ]内正切值为κ 的角唯一

? 倾斜角为? ? ?

误解:倾斜角与题中显示的角? 混为一谈。

45.过点(1,3)作直线 l ,若 l 经过点 (a,0) 和 (0, b) ,且 a, b ? N * ,则可作出的 l 的条数为(



A. 1

B. 2

错解: D.

C. 3

D. 多于 3

错因:忽视条件 a, b ? N * ,认为过一点可以作无数条直线.

正解: B.

46.已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与 l2 : x ? (a ?1) y ? a 2 ?1 ? 0 平行,则实数 a 的取值是

A.-1 或 2 错解:A

B.0 或 1

C.-1

D.2

错因:只考虑斜率相等,忽视 b1 ? b2

正解:C

47.若圆 (x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? r 2 上有且仅有两个点到直线 4x ? 3y ? 2 ? 0 的距离为 1,则半径 r

的取值范围是(

).

A.(4,6) B.[4, 6)

C.(4, 6]

D.[4,6]

错解: B 或 C

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错因::数形结合时考虑不全面,忽视极限情况,当 r =4 时,只有一点,当 r =6 时,有三点. 正解: A

48.半径不等的两定圆 O1、O2 无公共点,动圆 O 与 O1、O2 都内切,则圆心 O 是轨迹是( )

A. 双曲线的一支 C. 双曲线的一支或椭圆 错解: A 或 B

B. 椭圆 D. 抛物线或椭圆

错因:两定圆 O1、O2 无公共点,它们的位置关系应是外离或内含,只考虑一种二错选.

正解: C.

49.与圆 x 2 ? ( y ? 5)2 ? 3 相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( )

A、2 条

B、3 条

C、4 条

答案:C

错解:A

错因:忽略过原点的圆 C 的两条切线

D、6 条

50.若双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右支上一点 P(a,b)直线 y=x 的距离为 2 ,则 a+b 的值是(



A、 ? 1 2
答案:B 错解:C

B、 1 2

错因:没有挖掘出隐含条件 a ? b

C、 ? 1 2

D、 ? 2

51.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在的直线方程为( ) 94

A、 8x ? 9y ? 7 B、8x ? 9y ? 25 C、 4x ? 9 y ? 6
答案:D 错解:A
错因:没有检验出 8x ? 9y ? 7 与双曲线无交点。

D、不存在

52.已知圆 (x-3)2+y2=4 和直线 y=mx 的交点分别为 P,Q 两点,O 为坐标原点,则 OP ? OQ 的

值为 ( )

A、1+m2

B、 5 1? m2

C、5

D、10

正确答案:(C)

错误原因:遗忘了初中平几中的相关知识

53.能够使得圆 x2+y2-2x+4y=0 上恰有两个点到直线 2x+y+C=0 的距离等于 1 的 C 的一个值为





A、2

B、 5

C、3

D、3 5

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正确答案:C 错误原因:不会结合图形得出已知条件的可行性条件。
54.设 f(x)=x2+ax+b, 且1 ? f (?1) ? 2,2 ? f (1) ? 4, 则点(a,b)在 aob 平面上的区域的面积是

(

)

A、 1 2

B、1

C、2

正确答案:(B)

错误原因:未能得出准确平面区域

D、 9 2

55.设 P 为双曲线 x 2 16

?

y2 9

? 1 右支异于顶点的任一点,F1,F2 为两个焦点,则△PF1F2 的内心 M

的轨迹方程是 (



A、x=4, (y≠)

B、x=3 ,(y≠)

C、x=5 ,(y≠)

D、x= 16 , (y≠) 5

正确答案:(A)

错误原因:未能恰当地运用双曲线的定义解题。

56.过函数 y=- 4x ? 9 的图象的对称中心,且和抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点的直线的条数 x?2

共有( )

A、1 条

B、2 条

C、3 条

D、不存在

正确答案:(B)

错误原因 :解本题时极易忽视中心(2,4)在抛物线上,切线只有 1 条,又易忽视平行于抛物线

对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。

57.若直线 y ? k( x?1) 与抛物线 y ? x2 ? 4x ? 3 的两个交点都在第二象,则 k 的取值范围是

______________. 解 答: (-3, 0) 易错原因:找不到确当的解答方法。本题最好用数形结合法。

58.若双曲线

x2 a2

?

y2 b2

?

?1 的离心率为

5 4

,则两条渐近线的方程为

A X ? Y ?0 B X ?Y ?0 C X ?Y ?0 D X ?Y ?0

9 16

16 9

34

43

解 答:C

易错原因:审题不认真,混淆双曲线标准方程中的 a 和题目中方程的 a 的意义。

59.椭圆的短轴长为 2,长轴是短轴的 2 倍,则椭圆的中心到其准线的距离是

A 8 5 B 4 5 C 8 3 D4 3

5

5

3

3

解 答:D

易错原因:短轴长误认为是 b

60.过定点(1,2)作两直线与圆 x2 ? y2 ? kx ? 2 y ? k 2 ?15 ? 0 相切,则 k 的取值范围是

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A k>2 B -3<k<2 C k<-3 或 k>2 D 以上皆不对 解 答:D
易错原因:忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑 D2 ? E2 ? 4F ? 0

61.设双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的半焦距为

C,直线

L

过 (a, 0), (0,b) 两点,已知原点到直

线 L 的距离为 3 C ,则双曲线的离心率为 4

A 2 B 2或2 3 C 3

2 D2 3 3

解 答:D
易错原因:忽略条件 a ? b ? 0 对离心率范围的限制。

二填空题:
1.若直线 y ? k( x?1) 与抛物线 y ? x2 ? 4x ? 3 的两个交点都在第二象,则 k 的取值范围是
______________. 解 答: (-3, 0)
易错原因:找不到确当的解答方法。本题最好用数形结合法。
2.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 8.5,则点 P 到点( ? 5,0 )的距离_______。 16 9
错解 设双曲线的两个焦点分别为 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,
由双曲线定义知|| PF1 | ? | PF2 ||? 8
所以| PF1 |? 16.5或| PF1 |? 0.5
剖析 由题意知,双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为 1,
所以| PF1 |? 0.5 不合题意,事实上,在求解此类问题时,应灵活运用双曲线定义,分析出点
P 的存在情况,然后再求解。如本题中,因左顶点到右焦点的距离为 9>8.5,故点 P 只能在右支上,
所求| PF1 |? 16.5
3.直线 xCosx+y—1=0 的倾斜角θ 的取值范围为__________。
正确答案:θ ∈[0, ? ]∪[ 3? ,π ] 44
错误原因:由斜率范围求倾角范围在三角知识上出现错误;或忽视直线倾角的定义范围而得出

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其它错误答案。 4.已知直线 l1:x+y—2=0 l2:7x—y+4=0 则 l1 与 l2 夹角的平分线方程为______。
正确答案:6x+2y—3=0 错语原因:忽视两直线夹角的概念多求了夹角的邻补角的平分线方程。 5.过点(3,—3)且与圆(x—1)2+y2=4 相切的直线方程是:___________。 正确答案:5x+12y+21=0 或 x=3 错误原因:遗漏了斜率不存在的情形造成漏解。 6.已知双曲线的右准线为 x=4,右焦点 F(10,0)离心率 e=2,则双曲线方程为______。

正确答案: (x ? 2)2 ? y 2 ? 1 16 48

错误原因:误认为双曲线中心在原点,因此求出双曲线的标准方程而出现错误。 7.过点(0,2)与抛物线 y2=8x 只有一个共点的直线有______条。
正确答案:3 错误原因:认为与抛物线只有一个共点的直线只能与抛物线相切而出错。

8.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的离心率为 e,且 e∈(1,2)则 k 的范围是________。 4k

正确答案:k∈(—12,0) 错误原因:混淆了双曲线和椭圆的标准方程。

9.已知

P

是以

F1、F2

为焦点的双曲线

x a

2 2

?

y2 b

?

1 上一点,PF1⊥PF2



tan∠PF1F2=

1 2

,则此双

曲线的离心率为_______________。

正确答案: 5

错误原因:忽视双曲线定义的应用。

10.过点 M(—1,0)的直线 l1 与抛物线 y2=4x 交于 P1,P2 两点,记线段 P1P2 的中点为 P,过 P 和 这个抛物线的焦点 F 的直线为 l2,l1 的斜率为 K,试把直线 l2 的斜率与直线 l1 的斜率之比表示为 k 的函数,其解析式为________,此函数定义域为________。

正确答案:f(k)= 1 1? k 2

(—1,0)∪(0,1)

错误原因:忽视了直线 l1 与抛物线相交于两点的条件,得出错误的定义域。

11.已知 F1、F2 是椭圆

的焦点,P 是椭圆上一点,

且∠F1PF2=90°,

则椭圆的离心率 e 的取值范围是



[ 2 ,1) 答案: 2

错因:范围问题主要是找不等关系式,如何寻求本题中的不等关系,忽视椭圆的范围。

12.已知一条曲线上面的每一点到点 A(0,2)的距离减去它到 x 轴的距离的差都是 2,则这曲线的方
程是_____________

正确答案: x2 ? 8y 或 x ? 0?y ? 0?

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错因:数形结合时考虑不全面。

13.已知

F1



F2

是双曲线

x2 16

?

y2 20

? 1 的焦点,点

P

是双曲线上一点,若

P

到焦点 F1 的距离为

9,则 P 到焦点 F2 的距离为___________.
正确答案:17 错因:不注意取舍。
14.已知点 F 是椭圆 x2 ? y2 ? 1 的右焦点,点 A(4,1)是椭圆内的一点,点 P(x,y)(x≥0) 25 16

是椭圆上的一个动点,则| FA ? AP | 的最大值是

.(答案:5)

15.若直线 l:y=kx-2 交抛物线 y2=8x 于 A、B 两点,且 AB 中点横坐标为 2,则 l 与直线 3x- y+2=0 的夹角的正切值为___________ 答案: 1 7
点评:误填 1 或 2,错因:忽略直线与抛物线相交两点的条件△>0 7
16.直线 y=kx-2 与焦点在 x 轴上的椭圆 x2 ? y 2 ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围为 5m
x=___________ 答案:4≤m<5 点评:易忽略条件“焦点在 x 轴上”。 17.与圆 x2+y2-4x=0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为__________ 答案:y2=8x(x≥0)或 y=0(x<0) 点评:易数列结合,忽略“y=0(x<0)”。 18.一动点到 y 轴的距离比到点(2,0)的距离小 2,这个动点的轨迹方程是_______ 答案:y2=8x 或 y=0(x<0) 点评:易用抛物线定义得“y2=8x”而忽略“y=0(x<0)” 19.一个椭圆的离心率为 e= 1 ,准线方程为 x=4,对应的焦点 F(2,0),则椭圆的方程为____________
2 答案:3x2+4y2-8x=0 点评:易由条件得:c=2, c ? 1 错写成标准方程,而忽略条件 x=4 未用。
a2 20.已知 a、b、c 分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距,若方程 ax2+bx+c=0 无实根,则此双
曲线的离心率 e 的取值范围是___________

答案:1<e<2+ 5

点评:易忽视双曲线离心率的基本范围“e>1”。 21.若方程(9-m)x2+(m-4)y2=1 表示椭圆,则实数 m 的取值范围是_________
答案:4<m<9 且 m ? 13 2

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点评:易误填:4<m<9,而忽略方程可能表示圆的情况。

22.一双曲线与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1有共同焦点,并且与其中一个交点的纵坐标为 4,则这个双曲 27 36

线的方程为_____。

正解:- x 2 ? y 2 ? 4 ,设双曲线的方程为 ? x 2 ? y 2 ? 1 (27 ? k ? 36 )

54

k ? 27 36 ? k

又由题意知 x 2 ? 42 ? 1? x 2 ? 15 ? ? 15 ? 42 ? 1 ?k ? 32

27 36

k ? 27 36 ? k

故所求双曲线方程为 ? x 2 ? y 2 ? 1 54
误解:不注意焦点在 y 轴上,出现错误。

23.已知直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等,且过二直线 l1 :3x-y-1=0 和 l2 :x+y

-3=0 的交点,则直线 l 的方程为
错解:x+2y-5 = 0 错因:应该有两种可能,忽视经过 AB 中点的情况。 正解:x-6y+11 = 0 或 x+2y-5 = 0 24.已知直线 x=a 和圆(x-1)2+y2=4 相切,那么实数 a 的值为_______________ 错解:a = 3 错因:只考虑一种情况。

正解:a = 3 或 a =-1

正解:5

25.已知

F1



F2

是椭圆

x2 9

?

y2 5

? 1 的左、右焦点,P

为椭圆上一个点,且 | PF1 |:| PF2 |? 1: 2 ,

则 PF2 的斜率为____________.

错解: 15 或 ? 15

7

7

错因:忽视对称性,只求出一解.

正解: ? 15 7
26.过圆外一点 P(5,-2)作圆 x2+y2-4x-4y=1 的切线,则切线方程为__________。 错解:3x+4y-7 = 0 错因:忽视斜率不存在的情况,导致缺解。

正解:3x+4y-7 = 0 或 x = 5 27.已知圆方程为 x2+y2+8x+12=0,在此圆的所有切线中,纵横截距相等的条数有____________ 错解:2 错因:忽视过原点的直线纵横截距相等

正解:4 28.如果方程 x2+ky2=2 表示椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________

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错解: k ? 0
错因:忽视圆是椭圆的特殊情况。
正解: k ? 0, k ? 1

29.过双曲线 x2- y 2 ? 1 的右焦点作直线交双曲线于 A、B 两点,且 AB ? 4 ,则这样的直线有 2
___________条。 错解:2
错因:设 y ? k(x ? 3) 代入椭圆的方程算出有两条,当 k 不存在,即直线 AB ? x 轴时,

|AB|=4,忽视此种情况。

正解:3
30.一动点到定直线 x=3 的距离是它到定点 F(4,0)的距离的比是 1 ,则动点轨道方程 2





(x ? 8)2 答案: 3

?

y2

?1

4

4

9

3

错 解 :由 题 意 有 动点 的 轨 迹 是 双 曲 线, 又 F( 4 , 0 ) , 所 以 c=4, 又 准 线 x=3, 所以

a 2 ? 3, a 2 ? 12, b2 ? 4 ,故双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? 1

c

12 4

错因:没有明确曲线的中心位置,而套用标准方程。

31.经过双曲线 x 2

?

y2 3

? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 30? 的弦 AB,则 ?F1 AB 的周长为



答案:设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) 其中 x1 ? 0, x2 ? 0, a ? 1,e ? 2,则 AF1 ? ex1 ? a ? 2x1 ?1, BF1 ? ?(2x2 ?1) ,

所以 AF1 ? BF1 ? 2(x1 ? x2 ) ,将弦

AB

的方程 y ?

3 (x ? 2) 代入双曲线方程,整理得 3

8x2 ? 4x ?13 ? 0,所以x1 ? x2

1 ? ? 2 , x1x2

? ?13 ,则 AB 8

? 3 ,可求得

x1 ? x2

? 3 3 故答案 2

为3?3 3

错解:10

错因:作图错误,没有考虑倾斜角为 30? 的直线与渐近线的关系,而误将直线作成与右支有

两交点。

32.若椭圆的两准线之间的距离不大于长轴长的 3 倍,则它的离心率 e 的范围是



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答案:[1 ,1) 3
错解:[1 ,??) 3
错因:只注重对显性已知条件的翻译,不注意隐性条件椭圆离心率 0<e<1 而导致错误。

33.曲线 C 的方程为 (1 ? k)x2 ? (3 ? k 2 ) y 2 ? 4(k ? R), 则曲线 C 为圆时 k=

,曲线 C

为两直线时 k=



答案: ? 1;1或 ? 3

错解:k =2 或 k=-1;k=1或 k= ? 3
错因:忽视对结果的检验。
34.如果不论实数 b 取何值,直线 y ? kx ? b 与双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 1 总有公共点,那么 k 的取值

范围为



答案: (? 2 , 2 ) 22

错解:[? 2 , 2 ] 22

错因:没考虑 b=0 时,直线不能与渐近线平行。

35.若直线 y=x+b 与曲线 x ? 1 ? y 2 恰有一个公共点,则有 b 的取值范围是



答案: (?1,1] ? {? 2}

错解: ? 2 错因:将 x ? 1 ? y 2 所作变形不是等价变形,扩大为圆研究。

36.与 X 轴和射线 y ? ? 3x(x ? 0) 都相切的圆的圆心轨迹方程为



答案: y ? ? 3 x(x ? 0), y ? 3x(x ? 0) 3

错解: y ? ? 3 x(x ? 0) 3
错因:忽略动圆与 y ? ? 3x 及 x 正半轴相切。 37.若平面上两点 A(-4,1),B(3,-1),直线 y ? kx ? 2 与线段 AB 恒有公共点,则 k 的取

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值范围是



答案: k ? 1 或k ? ?1 4

错解: ?1 ? k ? 1 4

错因:没理清斜率与倾斜角的变化关系。

38.已知

?2x ? y ??x ? 2 y ??3x ? y

?2?0
? 4 ? 0则?x
?3? 0

? 1?2

?

?? ?

y

?

1 2

2
? ? ?

的最小值为

正确答案: 81 20
错误原因:未能准确实施数面形的转换。

39.若直线 y=x+b 和曲线 x= 1? y 2 恰有一个公共点,则 b 的取值范围是

正确答案:-1< b≤1 或 b =- 2

错误原因:考虑问题不全面

?x ? y ? z ? 1

40.设

x,y,z

满足约束条件组

??0 ??0

? ?

x y

?1 ?2

则 t=3x+6y+4z 的最大值为

??3x ? z ? 2

正确答案:5 错误原因:未想到利用等量关系 z=1-x+y 转化为我们熟悉的线性规则问题。

41.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上一点 P 到左焦点距离为 20,则点 P 到右准线的距离为 64 36

正确答案: 16 或144 55
错误原因:忽视本题应为两解。 42.如果不论实数 b 取何值,直线 y=Kx+b 和双曲线 x2-2y2=1 总有公共点,那么 K 的取值范围为

正确答案:(- 2 , 2 ) 22

错误原因:因为出现了两个字母 K 和 b,所以无法处理。 43.已知 F1,F2 分别为双曲线的左右焦点,点 P 在双曲线上,若△POF2 是面积为 1 的正三角形, 则 b 的值为

正确答案: 2

错误原因:点 P( C , 3 C )未能正确写出。 22

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44.已知点 F 是椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的右焦点,点 A(4,1)是椭圆内的一点,点 P(x,y) 25 16
(x≥0)是椭圆上的一个动点,则 FA ? FB 的最大值是
正确答案:5 错误原因:找不到合适的解法,另有部分人未能注意到 x≥0 这一条件。
45.已知 OF ? ?1,0?,OT ? ??1,t ?, FM ? MT, PM ? FT, PT ∥ OF ,O 为坐标原点,当 t 变化
时,则点 P 的轨迹方程为 正确答案:抛物线 y2=4x 错误原因:本题是以向量形式给出的已知条件,故很多学生未能看出这些条件的几何意义。

9. 已知正方形 ABCD 对角线 AC 所在直线方程为 y ? x .抛物线 f (x) ? x 2 ? bx ? c 过 B,D
两点 (1)若正方形中心 M 为(2,2)时,求点 N(b,c)的轨迹方程。
(2)求证方程 f (x) ? x 的两实根 x1 , x2 满足| x1 ? x2 |? 2
解答:(1)设 B(2 ? s, 2 ? s), D(2 ? s, 2 ? s), s ? 0

因为

B,D 在抛物线上

所以

?2 ??2

? ?

s S

? ?

(2 (2

? ?

S)2 S)2

? ?

b(2 b(2

? ?

S) S)

? ?

c c

两式相减得

2s ? ?8s ? 2sb 则 b ? ?5 代入(1)

得 2 ? s ? s2 ? 4s ? 4 ?10 ? 5s ? c ?c ? 8 ? s2 ? 8

故点 N (b,c) 的方程 x ? ?5( y ? 8) 是一条射线。

(2)设 B(t ? s,t ? s), D(t ? s,t ? s)s ? 0

同上

?t ? ?t

? ?

s s

? ?

(t (t

? ?

s)2 s)2

? b(t ? b(t

? ?

s) s)

? ?

c c

(1) (2)

(1)-(2)得 t ? ? b ?1

(3)

2

(1)+(2)得 s2 ? (b ?1)t ? t2 ? c ? 0 (4)

(3)代入(4)消去 t 得 s2 ? b2 ?1 ? (b ?1)2 ? c ? 0

2

4

得 (b ?1)2 ? 4c ? 4

又 f (x) ? x 即 x2 ? (b ?1)x ? c ? 0 的 两 根 x1, x2 满 足

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x1 ? x2 ? 1? b x1 ? x2 ? c

?| x1 ? x2 |2 ? (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? (b ?1)2 ? 4c ? 4

故| x1 ? x2 |? 2 。

易错原因:审题不清,忽略所求轨迹方程的范围。

10.已知双曲线两焦点

F1 ,

F2

,其中

F1



y

?

?

1 4

(x

?

1)2

?1

的焦点,两点

A

(-3,2)

B (1,2)都在双

曲线上,(1)求点 F1 的坐标;(2)求点 F2 的轨迹方程,并画出轨迹的草图;(3)若直线 y ? x ? t

与 F2 的轨迹方程有且只有一个公共点,求实数 t 的取值范围。 解答:(1)由 y ? ? 1 (x ?1)2 ?1 得: (x ?1)2 ? ?4( y ?1) 4 故 F1(? 1 , 0 )

(2)设点 F2 (x, y)

则又双曲线的定义得|| AF1 | ? | AF2 ||?|| BF1 | ? | BF2 ||? 0

又 | AF2 |?| AF1 |? 2 2 ?| AF2 |?| BF 2| 或| F2 A| ? | F2B |?| AF1 | ? | BF1 |? 4 2 ? 点 F2 的轨迹是以 A, B 为焦点的椭圆

? x ?1? 0 除 去 点 (? 1 , 0?) , ( 或1 , 4 )

(x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 除 去 点

8

4

(? 1 , 0?) , ( 1图, 略4 。)

? y ? x?t

(3)联列:

? ?(x ??

? 1)2 8

?

(y

? 4

2)

消去
?1

y



(x ?1)2 ? 2(x ? t ? 2)2 ? 8 整理得: 3x2 ? (4t ? 6)x ? 2t2 ? 8t ?1 ? 0

当 ? 0 时 得 t ? 3 ? 2 3 从图可知: t ? (??,3 ? 2 3) ? (3 ? 2 3, ??) , 又因为轨迹除去点 (?1, 0), (?1, 4) 所以当直线过点 (?1, 0), (?1, 4) 时也只有一个交 点,即 t ? 1或 5 ?t ?( ? ?, 3 ?2 3 ) ? ( 3? 2 3?, ? )? {1 , 5 }

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易错原因:(1)非标准方程求焦点坐标时计算易错;(2)求点 F2 的轨迹时易少一种
情况;(3)对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。


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