人教A版高中数学选修4-5练习:第一讲 一 不等式 3 三个正数的算术-几何平均不等式 Word版含解析

中小学精品资料 [课时作业] [A 组 基础巩固] ) 1.设 x,y,z>0 且 x+y+z=6,则 lg x+lg y+lg z 的取值范围是( A.(-∞,lg 6] C.[lg 6,+∞) 解析:∵lg x+lg y+lg z=lg(xyz), ?x+y+z?3 3 ? =2 , 而 xyz≤? ? 3 ? ∴lg x+lg y+lg z≤lg 23=3lg 2,当且仅当 x=y=z=2 时,取等号. 答案:B 1 2.函数 y=x2· (1-5x)(0≤x≤5)的最大值为( 4 A.675 4 C.645 1 解析:∵0≤x≤5,∴1-5x≥0, 4 5 5 ∴y=x2· (1-5x)=25[2x· (1-5x)] 2x· 5 5 x+ x+?1-5x? 4 2 2 4 ≤25[ ]3=675. 3 5 当且仅当2x=1-5x, 2 即 x=15时取“=”,故选 A. 答案:A 3.已知圆柱的轴截面周长为 6,体积为 V,则下列不等式正确的是( A.V≥π 1 C.V≥8π B.V≤π 1 D.V≤8π 2 B.657 2 D.675 ) B.(-∞,3lg 2] D.[3lg 2,+∞) ) 解析:如图,设圆柱半径为 R,高为 h,则 4R+2h=6,即 2R+h=3. 中小学精品资料 ?R+R+h?3 ? =π,当且仅当 R=R=h=1 时取等号. V=S· h=πR2· h=π·R· R· h≤π? 3 ? ? 答案:B ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? -1?· ? -1?,则必有( 4.设 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,若 M=?a-1?· ? ? ?b ? ? c ? 1 A.0≤M<8 C.1≤M<8 1 B.8≤M<1 D.M≥8 ) ?b+c??a+c??a+b? ?a+b+c ? ?a+b+c ? ?a+b+c ? ?? ? ·? ?= 解析:M=? - 1 - 1 - 1 abc c ? a ?? b ? ? ? 8 bc· ac· ab ≥ =8, abc 当且仅当 a=b=c 时等号成立. 答案:D 5.已知 x 为正数,下列各题求得的最值正确的是( 3 4 4 A.y=x2+2x+x3≥3 x2· 2x· x3=6,∴ymin=6 3 1 1 3 3 B.y=2+x+ x ≥3 2· x· x =3 2,∴ymin=3 2 1 C.y=2+x+ x ≥4,∴ymin=4 1 3x+?1-x?+?1-2x? 3 8 D.y=x(1-x)(1-2x)≤3[ ] =81, 3 8 ∴ymax=81 a+b+c 3 解析: A, B, D 在使用不等式 a+b+c≥3 abc(a, b, c∈R+)和 abc≤( 3 )3(a, 1 b,c∈R+)都不能保证等号成立,最值取不到.C 中,∵x>0,∴y=2+x+ x=2 1 1 +(x+ x)≥2+2=4,当且仅当 x=x ,即 x=1 时取等号. 答案:C 1 6.若 x>0,则函数 y=4x2+x的最小值是________. 解析:∵x>0, ) 中小学精品资料 1 1 1 ∴y=4x2+ x=4x2+2x+2x ≥3 3 1 1 4x2· 2x· 2x=3. 1 当且仅当 4x2=2x(x>0), 1 即 x=2时,取“=”, 1 ∴当 x=2时, 1 y=4x2+ x(x>0)的最小值为 3. 答案:3 7.若 a>2,b>3,则 a+b+ 1 的最小值为________. ?a-2??b-3? 解析:∵a>2,b>3,∴a-2>0,b-3>0, ∴a+b+ 1 ?a-2??b-3? 1 +5 ?a-2??b-3? =(a-2)+(b-3)+ 3 ≥3 1 ?a-2?· ?b-3?· +5 ?a-2??b-3? =3+5=8(当且仅当 a=3,b=4 时等号成立). 答案:8 8.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长 为________. 解析:设底面边长为 x,高为 h,则 3 2 h=V, 4x· 4 3V 所以 h= 3x2 , 3 又 S 表=2·4 x2+3xh 3 4 3V 3 4 3V = 2 x2+3x· 3x2 = 2 x2+ x 中小学精品资料 3? 2 8V? 3? 2 4V 4V? = 2 ?x + x ?= 2 ? x + x + x ? ? ? ? ? 3 3 3 ≥ 2 ×3 16V2=3 3× 2V2, 4V 3 当且仅当 x2= x ,即 x= 4V时,S 表最小. 3 答案: 4V 9.已知 x,y 均为正数,且 x>y,求证:2x+ 证明:因为 x>0,y>0,x-y>0, 2x+ 1 -2y x -2xy+y2 2 1 ≥2y+3. x -2xy+y2 2 =2(x-y)+ 1 ?x-y?2 1 ?x-y?2 =(x-y)+(x-y)+ 3 ≥3 ?x-y?2 1 =3, ?x-y?2 所以 2x+ 1 ≥2y+3. x2-2xy+y2 10.如图(1)所示,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边 形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图 (2)所示,求这个正六 棱柱容器的容积最大值. 解析:设正六棱柱容器底面边长为 x(x>0),高为 h,由图可有 2h+ 3x= 3, 3 ∴h= 2 (1-x), 中小学精品资料 3 V=S 底· h=6× 4 x2· h 3 3 3 = 2 x2·2 · (1-x) 3 3 x x =2 3× 2 ×2×2×(1-x) ?x x ? 1 2+2+1-x?3= . ≤9×? ? ? 3 3 ? ? x x 当且仅当2=2=1-x, 2 即 x=3时,等号成立. 2 1 所以当底面边长为3时,正六棱柱容器的容积最大,为3. [B 组 能力提升] a2+b2+c2 ,则( 3 ) a+b+c 3 1.已知 a,b

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