2017-2018学年北京市清华附中高二(上)期中数学试卷(理科)

2017-2018 学年北京市清华附中高二 (上) 期中数学试卷 (理科) 一、选择题(共 8 小题,共 8×5=40 分) 1. (5 分)双曲线 A. B. =1 的离心率是( C. ) C. ) D.4 ) D. ) D.2 2. (5 分)直线 x+y=2 的倾斜角是( A. B. 3. (5 分)抛物线 x2=4y 的焦点到准线的距离为( A. B.1 C.2 4. (5 分)已知两条直线 y=ax﹣2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于( A.2 B.1 C.0 ) D.﹣1 5. (5 分)已知点 A∈直线 l,又 A∈α,则( A.l∥α ?α B.l∩α=A C.l? α D.l∩α=A 或 l 6. (5 分)一个几何体的三视图中,正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则 俯视图不可以为( ) A. B. C. D. 7. (5 分)如图,在正方形 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC,D1C1 的中点, ,直线 DF、EG 的位置关系是( ) 第 1 页(共 21 页) A.平行 B.相交垂直 C.相交不垂直 D.异面 8. (5 分)若圆 x2+(y﹣1)2=r2 与曲线(x﹣1)y=1 没有公共点,则半径 r 的取 值范围是( A.0<r< r< ) B.0<r< C.0<r< D.0< 二、填空题(共 6 小题;共 6×5=30 分) 9. (5 分)若一个球的半径为 2,则它的表面积为 . 10 . ( 5 分)已知 A 、 B 、 C 三点不共线, O 为平面 ABC 外一点,若有向量 确定的点 P 与 A、B、C 共面,则 λ= 11. (5 分)设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线 m= . . . 的一个焦点,则 12. (5 分)直线 y=x 被圆 x2+(y﹣2)2=4 截得的弦长为 13. (5 分)已知双曲线 个焦点为( ,0) ,则 a= ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0,一 ,b= . , . 14. (5 分)已知数列{an}中,a1=a(0<a≤2) , 记 Sn=a1+a2+…+an,若 Sn=2017,则 a= ,n= 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15. (13 分)已知函数 第 2 页(共 21 页) . (1)函数 f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程. (2)求函数 f(x)在 时的值域. 16. (13 分)某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间(单位:分钟) ,从 高一年级新生中随机抽取 100 名新生按上学所需时间分组:第 1 组(0,10],第 2 组(10,20],第 3 组(20,30],第 4 组(30,40],第 5 组(40,50],得到 的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)根据图中数据求 a 的值; (Ⅱ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名新生参与交通安全问卷调 查,应从第 3,4,5 组各抽取多少名新生? (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,该校决定从这 6 名新生中随机抽取 2 名新生参加交通 安全宣传活动,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率. 17. (13 分)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 A(2,1) . (1)求抛物线的焦点坐标和准线 l 方程. (2)问在抛物线的准线上是否存在点 B,使线段 AB 的中点到准线 l 的距离正好 等于到焦点 F 的距离?如果存在,求出所有满足条件的点 B,如果不存在说明理 由. 18. (14 分) 如图, 在直角梯形 AA1B1B 中, ∠A1AB=90°, A1B1∥AB, AB=AA1=2A1B1=2, 直角梯形 AA1C1C 通过直角梯形 AA1B1B 以直线 AA1 为轴旋转得到,且使得平面 AA1C1C⊥平面 AA1B1B.M 为线段 BC 的中点,P 为线段 BB1 上的动点 (1)求证:A1C1⊥AP. (2)当点 P 满足 时,求证:直线 A1C∥平面 AMP. (3)当点 P 是线段 BB1 中点时,求直线 A1C 和平面 AMP 所成角的正弦值. 第 3 页(共 21 页) 19. (14 分)已知点 P(2,1)和椭圆 . (1)设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,试求△PF1F2 的周长及椭圆的离心率. (2)若直线 l:x﹣2y+m=0(m≠0)与椭圆 C 交于两个不同点 A,B,直线 PA, PB 与 x 轴分别交于 M,N 两点,求证:|PM|=|PN|. 20. (13 分)已知数列{an}满足: ①a1≥0;②a2=0;③a3>0;④am+n﹣am﹣an∈{0,1}(? m,n∈N*) . (1)求 a1,a3,a6. (2)若 a1107=369,定义数列 bn=a3m,能否求出数列{bn}(n=1,2,3,…,369) 的通项公式?若能,求出通项公式,若不能,说明理由? 第 4 页(共 21 页) 2017-2018 学年北京市清华附中高二(上)期中数学试卷 (理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 8 小题,共 8×5=40 分) 1. (5 分)双曲线 A. B. =1 的离心率是( C. ) D.2 【分析】利用双曲线方程求解实半轴的长,半焦距的长,然后求解离心率即可. 【解答】解:双曲线 离心率是 = 故选:B. 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力. . =1,可知 a=2,b=1,c= = ,所以双曲线的 2. (5 分)直线 x+y=2 的倾斜角是( A. B. ) C. D. 【分析】直线的倾斜角与斜率之间的关系 【解答】解:设倾斜角为 θ,θ∈[0,π) . ∵直线 x+y﹣2=0, ∴k=﹣1=tanθ, ∴ . 故选:D. 【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系,属于基础题. 3.

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