【三维设计】高考数学一轮复习 第五节 二次函数与幂函数课件 理 新人教A版_图文

第五节 二次函数与幂函数 1.五种常见幂函数的图像与性质 特征 性质 函数 y= x y=x2 y=x3 y=x 1 2 y= x- 1 图像 定义域 值域 __ R __ R __ R {y|y≥0} _______ __ R __ R {x|x≥0} { x|x≠0} ________ _______ {y|y≥0} ________ {y|y≠0} _______ 特征 性质 函数 y= x 奇 ___ y=x2 偶 ____ y=x3 奇 ___ 增 ____ y=x 1 2 y=x-1 奇 ____ (-∞,0) _________ 奇偶性 非奇非偶 _________ 单调性 增 ___ ( -∞,0]减, ____________ (0 ,+∞)增 ____________ 增 ____ 和(0,+ _________ ∞)减 _______ 公共点 (1,1) ______ 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)= ax2+bx+c(a≠0) ; 2+n(a≠0) a ( x - m ) (2)顶点式:f(x)= ; (3)零点式:f(x)= a(x-x1)(x-x2)(a≠0) . 3.二次函数的图像和性质 a>0 a<0 图像 定义域 x∈R ?4ac-b2 ? ? ? ,+∞? ? 4a ? ? 2? ? 4 ac - b ? ? -∞, ? 4a ? ? ? 值域 a>0 a<0 在 单调性 ? b? ?-∞,- ? 2a? ? 上递减, 在 ? b? ?-∞,- ? 上递增, 2a ? ? ? ? b 在?-2a,+∞?上递增 ? ? ? ? b 在?-2a,+∞?上递减 ? ? 奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图像特 点 2? ? 4 ac - b b b ? ①对称轴:x=- ;②顶点:? ?-2a, 2a 4a ? ? ? 1. 研究函数 f(x)=ax2+bx+c 的性质, 易忽视 a 的取 值情况而盲目认为 f(x)为二次函数. 2.形如 y=xα(α∈R)才是幂函数,如 y=3x 不是幂 函数. [试一试] 1 2 1.若f(x)既是幂函数又是二次函数,则f(x)可以是( A.f(x)=x2-1 C.f(x)=-x2 答案:D ) B.f(x)=5x2 D.f(x)=x2 2.已知函数f(x)=ax2+x+5的图像在x轴上方,则a的取值范围 是 ? 1? A.?0,20? ? ? ?1 ? C.?20,+∞? ? ? ? ?a>0, 解析:由题意知? ? ?Δ<0, ( ? 1? B.?-∞,-20? ? ? ? ? 1 D.?-20,0? ? ? ? ?a>0, 即? ? ?1-20a<0 ) 1 得a> . 20 答案:C 1.函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x),如果定义域内有不同两点 x1,x2 x1+x2 且 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的图像关于 x= 对称. 2 (2)二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a -x)成立的充要条件是函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称(a 为常数). 2.与二次函数有关的不等式恒成立两个条件 (1)ax 2 ? ?a>0, +bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ? ?b -4ac<0. (2)ax 2 ? ?a<0, +bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ? 3.两种数学思想 (1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、 二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路. (2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨 论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,讨论二次方程根的大小等. [练一练] 如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线x =1对称,则函数f(x)的最小值为________. ? a+2 ?- =1, 2 ? 解析:由题意知 ? ?a+b=2, ? ?a=-4, 得? ? ?b=6. 则f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5. 答案:5 1.幂函数y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图像 是 ( ) 1 1 2 解析:令f(x)=xα,则4α=2,∴α= ,∴f(x)=x . 2 答案:C 2.图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图 1 像.已知n取± 2,± 四个值,则相应于曲线 2 C1,C2,C3,C4的α值依次为________. 1 1 答案:2, ,- ,-2 2 2 3.设 2 3 2 ?3? 5 ?2? 5 ?2? 5 a=?5? ,b=?5? ,c=?5? ,则 ? ? ? ? ? ? a,b,c 的大小关系 是________. 解析:∵y=x 2 5 (x>0)为增函数,∴a>c. ?2? ∵y=?5?x(x∈R)为减函数,∴c>b, ? ? ∴a>c>b. 答案:a>c>b [类题通法] 1.幂函数 y=xα 的图像与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从 两个方面考查: (1)α 的正负:α>0 时,图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升; α<0 时,图像不过原点,在第一象限的图像下降. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸;0<α<1 时,曲线 上凸;α<0 时,曲线下凸. 2. 在比较幂值的大小时, 必须结合幂值的特点, 选择适当的函数. 借 助其单调性进行比较, 准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键. [典例] 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是8

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