江苏省如皋中学2018-2019学年高二上学期创新班数学周练六 Word版含答案

江苏省如皋中学 2018-2019 学年第二学期周末训练

高二数学试题(选修物理)
(考试时间 120 分钟,总分 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上 . . 1.若

1 1 ? x ? 是不等式 m-1<x<m+1 成立的一个充分非必要条件,则实数 m 的取值范围 3 2

是_____

2.复数 z ? ?2 ? i , i 是虚数单位,则 z 在复平面内对应的点在第 3.从甲、乙、丙三人中任选 2 名代表,甲被选中的概率为 ;

象限;二

2 3

4.在空间,若长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,则长方体的对角线长为 a2 ? b 2 ? c 2 . 将此结论类比到平面内,可得:矩形的长、宽分别为 a、b,则矩形的对角线长 为 ; a2 ? b 2 5.已知 ?a ? 2i ? i ? b ? i ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,则 a+b= ; 6.已知 1 ? 12 ,1 ? 3 ? 22 ,1 ? 3 ? 5 ? 32 ,1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 42 , ?,将此等式推广到一般情形, 可得
? n2 ;

1? 3 ? 5 ? ... ? ? 2n ?1?
. ④

1 1 1 7. 设 a、 b、 c 均为正实数,则下列关于三个数 a+ 、 b+ 、 c+ 的结论, 正确的序号是 b c a ①都大于 2; ②都小于 2; ③至少有一个不大于 2; ④至少有一个不小于 2. 8. 如果复数 于

2-bi ( 其中 i 为虚数单位, b 为实数 ) 的实部和虚部互为相反数,那么 b 等 1+2i

2 .- 3

9. 如果函数 f(x)在区间 D 上是“凸函数”,则对于区间 D 内任意的 x1,x2,?,xn,有 f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ≤f n n ? ?成立.已知函数 y=sin x 在区间[0,π]上是“凸函 数”,则在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值是 3 . 3 2

10. “海山联合—2012”中俄联合军演在中国青岛海域举行,在某一项演练中,中方参加演 习的有 4 艘军舰、3 架飞机;俄方有 5 艘军舰、2 架飞机,若从中、俄两方中各选出 2 个单 位(1 架飞机或 1 艘军舰都作为一个单位,所有的军舰两两不同,所有的飞机两两不同),且 选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有
1

种.180

11. 若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 a0+a2+a4 的值为

.8

12. 某工程队有 6 项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工 程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么安排这 6 项工程的不同排法种数是____________(用数字作答).20

13.在 2008 年奥运选手选拔赛上,8 名男运动员参加 100 米决赛.其中甲、乙、 丙三人必须在 1、2、3、4、5、6、7、8 八条跑道的奇数号跑道上,则安排这 8 名运动员比赛的方式共有 种;2880 14.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分 (如图所示) ,现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一种 且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 种.120

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. z 15. 本题满分 14 分)已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在 2-i 复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 15.解 设 z=x+yi(x、y∈R),所以 z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2.……3 分 x-2i 1 z 1 1 因为 = = (x-2i)(2+i)= (2x+2)+ (x-4)i.由题意得 x=4,……6 分 5 5 2-i 2-i 5 所以 z=4-2i. ……………………………8 分 所以(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,……………………………10 分 由于(z+ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,
2 ? ?12+4a-a >0, 所以? 解得 2<a<6,……………………………12 分 ?8?a-2?>0, ?

故实数 a 的取值范围是(2,6).……………………………14 分
2 2 16.(14 分)已知关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 ,满足 a≥0 且 b≥0.

(1)若 a 是从 0、1、2 三个数中任取的一个数,b 是从 0、1 两个数中任取的一 个数,求上述方程有实根的概率. (2)若 a ? 1 ,b 是从区间[0,3]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
2 2 16 解:设事件 A 为“方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根”.

2 2 当 a≥0 且 b≥0 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的充要条件为 a≥b.

(1)基本事件共有 6 个: (0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1) , (2,0) , (2,1) , 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.

2

事件 A 中包含 5 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P(A)= (2)因为 a ? 1, b ?[0, 3] ,所以当 0 ? b ? 1 时,满足 a≥b, ∴P(A)=

5 ; 6

1 . 3

17.(本题满分 14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,
n=1,2,3,?. (1)求 a1,a2; (2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出严格的证明. 17.解 (1)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= .……………………………2 分 2 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1?2 1? 1 ? 于是? ?a2-2? -a2?a2-2?-a2=0,解得 a2=6.……………………………4 分 (2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,即 S2 n-2Sn+1-anSn=0. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0.① 1 1 1 2 由(1)得 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 2 2 6 3 3 n 由①可得 S3= .由此猜想 Sn= ,n=1,2,3,?. 4 n+1 下面用数学归纳法证明这个结论. (ⅰ)n=1 时已知结论成立.……………………………9 分 k (ⅱ)假设 n=k(k∈N*)时结论成立,即 Sk= ,……………………………11 分 k+1 当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= 综上,由(ⅰ)、(ⅱ)可知 Sn= k+1 1 ,即 Sk+1= ,故 n=k+1 时结论也成立. 2-Sk k+2 ………………………8 分

n 对所有正整数 n 都成立.……………………14 分 n+1

18.(本题满分 16 分)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从
中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,求不同取法的 种数. 18.解 若没有红色卡片,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张,
1 1 若都不同色,则有 C1 4×C4×C4=64(种),……………………………4 分 1 2 1 若 2 张同色,则有 C2 3×C2×C4×C4=144(种);……………………………8 分

3

2 1 1 若红色卡片有 1 张,剩余 2 张不同色,则有 C1 4×C3×C4×C4=192(种),……10 分 1 2 剩余 2 张同色,则有 C1 4×C3×C4=72(种),……………………………12 分

所以共有 64+144+192+72=472(种)不同的取法.……………………………16 分

19.(本题满分 16 分)
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列. 19.(1)解 当 n=1 时,a1+S1=2a1=2,则 a1=1. ……………………………3 分 1 又 an+Sn=2,所以 an+1+Sn+1=2,两式相减得 an+1= an,…………………6 分 2 1 1 所以{an}是首项为 1,公比为 的等比数列,所以 an= n-1.……………………8 分 2 2 (2)证明 反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列, 记为 ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且 p,q,r∈N*),……………………………10 分 1 1 1 - - 则 2· q= p+ r,所以 2· 2r q=2r p+1.①……………………………12 分 2 2 2 又因为 p<q<r,所以 r-q,r-p∈N*. 所以①式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立,……………………………14 分 所以假设不成立,原命题得证.……………………………16 分

20. (本题满分 16 分) 已知函数 y = x +

a 有如下性质: 如果常数 a >0, 那么该函数在 ( 0, x

a ] 上是减函数,在 [
(1)如果函数 y = x +

a ,+∞ ) 上是增函数.
2b ( x >0)的值域为 [ 6,+∞ ) ,求 b 的值; x
c (常数 c >0)在定义域内的单调性,并说明理由; x2

(2)研究函数 y = x 2 + (3)对函数 y = x +

a a 2 和 y = x + 2 (常数 a >0)作出推广,使它们都是你所推广的 x x

函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) 。 19.解: (1)函数 y=x+

2b (x>0)的最小值是 2 2 b ,则 2 2 b =6, ∴b=log29. ??? 4 分 x c c c 2 2 (2) 设 0<x1<x2,y2-y1= x2 ? 2 ? x12 ? 2 ? ( x2 ? x12 )(1 ? 2 2 ) . x2 x1 x1 ? x2 c 2 当 4 c <x1<x2 时, y2>y1, 函数 y= x ? 2 在[ 4 c ,+∞)上是增函数; x

4

2 当 0<x1<x2< 4 c 时 y2<y1, 函数 y= x ?

c 在(0, 4 c ]上是减函数. 2 x

c 是偶函数,于是, x2 该函数在(-∞,- 4 c ]上是减函数, 在[- 4 c ,0)上是增函数;??10 分 a n (3) 可以把函数推广为 y= x ? n (常数 a>0),其中 n 是正整数. ? 12 分 x a n 当 n 是奇数时,函数 y= x ? n 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数, x 2n 在(-∞,- a ]上是增函数, 在[- 2 n a ,0)上是减函数;?????14 分 a n 当 n 是偶数时,函数 y= x ? n 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数, x 2n 在(-∞,- a ]上是减函数, 在[- 2 n a ,0)上是增函数. ???????16 分
2 又 y= x ?

5


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