10.1-2一些特殊的图19页_图文

第10章 一些特殊的图
10.1 欧拉图 10.2 哈密顿图 10.3 平面图 10.4 二分图
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10.1 欧拉图
? 欧拉通路 ? 欧拉回路 ? 欧拉图 ? 半欧拉图
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哥尼斯堡七桥问题
欧拉图是能一笔画出的边不重复的回路.
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欧拉图
欧拉通路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的通路. 欧拉回路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的回路. 欧拉图: 有欧拉回路的图. 半欧拉图: 有欧拉通路而无欧拉回路的图.
几点说明: 上述定义对无向图和有向图都适用. 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路. 环不影响图的欧拉性.
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欧拉图(续)
例 图中, (1), (4)为欧拉图; (2), (5)为半欧拉图; (3),(6)既不 是欧拉图, 也不是半欧拉图. 在(3), (6)中各至少加几条边才能成为欧拉图?
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欧拉图的判别法
定理 无向图G为欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点. 无向图G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度顶点.
定理 有向图D是欧拉图当且仅当D连通且每个顶点的入度都 等于出度. 有向图D具有欧拉通路当且仅当D连通且恰有两个奇度顶 点, 其中一个入度比出度大1, 另一个出度比入度大1, 其余 顶点的入度等于出度.
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实例
例1 哥尼斯堡七桥问题
例2 下面两个图都是欧拉图. 从A点出发, 如何一次成功地走出一条欧拉回路来?
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10.2 哈密顿图
? 哈密顿通路 ? 哈密顿回路 ? 哈密顿图 ? 半哈密顿图
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哈密顿周游世界问题
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哈密顿图的定义
哈密顿通路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的通路. 哈密顿回路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的回路. 哈密顿图: 具有哈密顿回路的图. 半哈密顿图: 具有哈密顿通路而无哈密顿回路的图.
几点说明: 平凡图是哈密顿图. 哈密顿通路是初级通路,哈密顿回路是初级回路. 环与平行边不影响图的哈密顿性.
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实例
例 图中, (1), (2)是哈密顿图; (3) 是半哈密顿图. (4)既不是哈密顿图, 也不是半哈密顿图,为什么?
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无向哈密顿图的一个必要条件
定理 设无向图G=<V,E>是哈密顿图, 则对于任意V1?V且 V1??, 均有 p(G?V1)?|V1|. 证 设C为G中一条哈密顿回路, 有p(C?V1) ? |V1|. 又因为 C?G, 故 p(G?V1) ? p(C?V1) ? |V1|.
几点说明 定理中的条件是哈密顿图的必要条件, 但不是充分条件. 可利用该定理判断某些图不是哈密顿图. 由定理可知, Kr,s当s?r+1时不是哈密顿图. 当r?2时, Kr,r是哈密顿图, 而Kr,r+1是半哈密顿图.
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实例
例 设G为n阶无向连通简单图, 若G中有割点或桥, 则G不是哈密顿图.
证 (1) 设v为割点, 则p(G?v) ? 2>|{v}|=1. 根据定理, G不是哈密顿图.
(2) 若G是K2(K2有桥), 它显然不是哈密顿图. 除K2 外, 其他的有桥连通图均有割点. 由(1), 得证G不是 哈密顿图.
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无向哈密顿图的一个充分条件
定理 设G是n阶无向简单图, 若任意两个不相邻的顶点 的度数之和大于等于n?1, 则G中存在哈密顿通路.
当n?3时, 若任意两个不相邻的顶点的度数之和大 于等于n, 则G中存在哈密顿回路, 从而G为哈密顿 图.
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哈密顿通路(回路)的存在性(续)
定理中的条件是存在哈密顿通路(回路)的充分条 件, 但不是必要条件. 例如, 设G为长度为n?1(n?4)的路径, 它不满足定理 中哈密顿通路的条件, 但它显然存在哈密顿通路. 设G是长为n的圈, 它不满足定理中哈密顿回路的条 件, 但它显然是哈密顿图.
由定理, 当n?3时, Kn均为哈密顿图. 判断某图是否为哈密顿图至今还是一个难题
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判断是否是哈密顿图的可行方法
? 观察出一条哈密顿回路 例如 右图(周游世界问题)中红 边给出一条哈密顿回路, 故它 是哈密顿图. 注意, 此图不满足定理的条件.
? 满足充分条件 例如 当n?3时, Kn中任何两个不同的顶点 u,v, 均 有d(u)+d(v) = 2(n?1) ? n, 所以Kn为哈密顿图.
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判断是否是哈 密顿图的可行方法(续)
?不满足必要条件
例 1/4国际象棋盘(4?4方格)上的 跳马问题: 马是否能恰好经过 每一个方格一次后回到原处?
解 每个方格看作一个顶点, 2个 顶点之间有边当且仅当马可以从一个方格跳到另一个方格, 得到16阶图G, 如左图红边所示. 取V1={a, b, c, d}, 则p(G?V1) = 6 >|V1|, 见右图. 由定理, 图中无哈密顿回路, 故问题无解. 在国际象棋盘(8?8)上, 跳马问题是否有解?
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应用实例
例 某次国际会议8人参加,已知每人至少与其余7人中 的4人有共同语言,问服务员能否将他们安排在同一张 圆桌就座,使得每个人都能与两边的人交谈?
解 图是描述事物之间关系的最好的手段之一. 作无向图 G=<V,E>, 其中V={v|v为与会者},E={(u,v) | u,v?V, u与v 有共同语言, 且u?v}. G为简单图. 根据条件, ?v?V, d(v)? 4. 于是,?u,v?V, 有d(u)+d(v)?8. 由定理可知G为哈密顿 图. 服务员在G中找一条哈密顿回路C,按C中相邻关系 安排座位即可.
由本题想到的:哈密顿图的实质是能将图中所有的顶点 排在同一个圈中.
18

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