2018-2019学年高二数学新人教B版必修五课件:第3章 3.1.2_图文

第三章 §3.1 不等关系与不等式 3.1.2 不等式的性质 学习目标 1.理解并掌握不等式的性质. 2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较. 3.会证明一些简单的不等式. 内容索引 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 知识点一 不等式的基本性质 思考 试用作差法证明a>b,b>c?a>c. 答案 a>b,b>c?a-b>0,b-c>0?a-b+b-c>0?a-c>0?a>c. 梳理 不等式性质: 名称 性质1(对称性) 性质2(传递性) 式子表达 a>b?b < a a>b,b>c?a > c 性质3 推论1 推论2 a>b?a+c > b+c a+b>c?a>c - b a>b,c>d?a+c > b+d a>b,c>0?ac > bc a>b,c<0?ac < bc 性质4 推论1 推论2 a>b>0,c>d>0?ac > bd a>b>0?an > bn(n∈N+,n>1) 推论3 a>b>0? a > b (n∈N+,n>1) n n 知识点二 思考1 不等式性质的注意事项 在性质4的推论1中,若把a,b,c,d为正数的条件去掉,即a>b, c>d,能推出ac>bd吗?若不能,试举出反例. 答案 不能,例如1>-2,2>-3,但1×2=2<(-2)×(-3). 思考2 在性质3的推论2中,能把“?”改为“?”吗?为什么? 答案 不能,因为由a+c>b+d,不能推出a>b,c>d,例如1+100>2+3, 但显然1<2. 梳理 (1)注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不要想当然随 意捏造性质. (2)注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性,只 有a>b?b<a,a>b?a+c>b+c,a>b?ac>bc(c>0)是可以逆推的, 其余几条性质不可逆推. [思考辨析 判断正误] 1.若a>b,则ac>bc一定成立.( × ) 2.若a+c>b+d,则a>b且c>d.( × ) 3.若a>b且d<c,则a+c>b+d.( √ ) 4.若a>b且c>d,则ac>bd.( × ) 题型探究 类型一 不等式性质的证明 例1 若a>b,c>0,求证:ac>bc. 证明 ac-bc=(a-b)c. ∵a>b,∴a-b>0. 又c>0,∴(a-b)c>0,即ac-bc>0, ∴ac>bc. 证明 反思与感悟 对任意两个实数 a,b有a-b>0?a>b;a-b=0?a=b; a-b<0?a<b.这是比较两个实数大小的依据,也是证明不等式的基础. 数学是个讲究逻辑的学科,不能以理解代替证明. 跟踪训练1 (1)若ac2>bc2,求证:a>b; 解 ∵ac2>bc2, ∴ac2-bc2>0,即(a-b)c2>0. 若c2=0,则ac2=bc2与条件矛盾. ∴c2>0, ∴a-b>0,即a>b. (2)由a>b能推出ac2>bc2吗? 解 不能. 当c=0时,ac2=bc2. 解答 类型二 不等式性质的应用 命题角度1 利用不等式的性质判断命题真假 例2 判断下列命题的真假: (1)若a>b,则ac<bc; 解 由于c的正、负或是否为零未知,因而判断ac与bc的大小缺乏依据. 故该命题为假命题. (2)若a<b<0,则a2>ab>b2; 解 ?a<b, ?a<b, 由? ?a2>ab;由? ?ab>b2. ?a<0 ?b<0 所以a2>ab>b2,故该命题为真命题. 解答 b a (3)若 a<b<0,则a>b. 解 2 2 a b 2 2 由 a<b<0?-a>-b>0?a >b ?ab>ab, a b 即b>a,故该命题为假命题. 解答 反思与感悟 要判断命题是真命题,应说明理由或进行证明,推理过程 应紧扣有关定理、性质等,应熟练掌握不等式的性质及其推论的条件和 结论,若判断命题是假命题只需举一反例即可. 跟踪训练2 下列命题中正确的个数是 a ①若a>b,b≠0,则 b >1; ②若a>b,且a+c>b+d,则c>d; ③若a>b,且ac>bd,则c>d. √ A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ①若a=2,b=-1,则不符合题意; ②取a =10,b= 2 ,c=1 , d=3,虽然满足a>b且a+c>b+d,但不满足 c>d,故错; ③当a=-2,b=-3时,取c=-1,d=2,则c>d不成立. 解析 答案 命题角度2 利用不等式性质证明简单不等式 例3 e e 已知 a>b>0,c<d<0,e<0,求证: > . a-c b-d 证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∵a>b>0, 1 1 ∴a-c>b-d>0,∴0< < . a-c b-d e e 又∵e<0,∴ > . a-c b-d 证明 反思与感悟 利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把 不等式进行变形,要注意不等式性质成立的条件,如果不能直接由不等 式性质得到,可先分析需要证明的不等式的结构,利用不等式性质进行 转化. 跟踪训练 3 a b 若 a>b>0,c<d<0,求证:d< c. 证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又a>b>0,∴-ac>-bd>0,∴ac<bd. 又c<0,d<0,∴cd>0. ac bd a b ∴cd<cd ,即d<c . 证明 命题角度3 应用不等式性质求取值范围 例4 解 a 已知-6<a<8,2<b<3,分别求 2a+b,a-b,b的取值范围. ∵-6<a<8,2<b<3,∴-12<2a<16,∴-10<2a+b<19. 又∵-3<-b<-2,∴-9<a-b<6. 1 1 1 又3<b<2, a 当 0≤a<8 时,0≤b<4; a 当-6<a<0 时,-3<b<0. a ∴-3<b<4. 解答 反思与感悟 解决此类问题,要注意题设中的条件,充分利用已知求解

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