【步步高】2015-2016学年高中数学 第三章 3.1.1倾斜角与斜率课件 新人教A版必修2_图文

3.1.1
[学习要求]

倾斜角与斜率

1.理解直线的斜率和倾斜角的概念; 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性; 3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率. [学法指导] 通过直线的斜率及斜率与倾斜角关系的学习,培养观察、探索和 抽象概括能力;通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,进一步 理解数形结合思想.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴 作为 基准, x 轴 正向与直线 l 向上方向 之间所成的角 α 叫做 直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 α=0° . 2.斜率的概念:我们把一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这 条直线的斜率.斜率常用小写字母 k 表示,即 k=tan α .

填一填·知识要点、记下疑难点

3.倾斜角与斜率的对应关系 图示 倾斜角 (范围) 斜率 (范围) 90° <α< 180°

α=0° 0° <α<90° α=90°

0

大于 0

斜率不 存在

小于 0

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[问题情境] 在平面直角坐标系中,点用坐标表示,直线如何表示呢? 为了用代数方法研究直线的有关问题,本节首先探索确定 直线位置的几何要素——倾斜角与斜率.

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探究点一 问题 1 直线的倾斜角及斜率的概念

我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线,过一

点 P 可以作无数条直线,它们都经过点 P,这些直线区别 在哪里呢?
答 区别是它们的倾斜程度不同.

问题 2

怎样描述直线的倾斜程度呢?



当直线 l 与 x 轴相交时, 我们取 x 轴作为基准, x 轴正向与

直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地, 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定 α=0° .

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问题 3

问题 4

依据倾斜角的定义,你能得出倾斜角 α 的取值范围吗?
任何一条直线都有倾斜角吗?不同的直线其倾斜角一

0° ≤α<180° .

定不相同吗?只有倾斜角能确定直线的位置吗?你认为确定 平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么?
答 由倾斜角的定义可以知道,任何一条直线都有倾斜角;不 同的直线其倾斜角有可能相同,如平行的直线其倾斜角是相同 的;因此,只有倾斜角不能确定直线的位置;确定一条直线位 置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,两者缺 一不可.

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问题 5

日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

答 日常生活中,我们经常用“升高量与前进量的比”表示 倾斜面的“坡度”. 问题 6 如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度

(比)”,那么“坡度(比)”等于什么呢? 答
小结

坡度(比)等于倾斜角的正切.
我们把一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的

斜率,斜率常用小写字母 k 表示,即 k=tan α.由此可知,一条 直线 l 的倾斜角 α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在,倾斜角 是 90° 的直线没有斜率.

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探究点二 导引 直线的斜率公式 有了斜率的概念, 这还不能体现是直线上的点所满足的等量关

系,任给直线上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),(其中 x1≠x2),那么这 条直线唯一确定,进而它的倾斜角与斜率也就确定了,这说明直线 的斜率与这两点的坐标有内在联系.那么这种联系是什么呢? 问题 1 如下图 1、图 2,任给直线上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2),过点 P1 作 x 轴的平行线,过点 P2 作 y 轴的平行线,两线 相交于 Q,那么 Q 点的坐标是什么?



图1 图2 图 1 中 Q 点的坐标为(x2, y1). 图 2 中 Q 点的坐标为(x2, y1).

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问题 2 设直线 P1P2 的倾斜角为 α(α≠90° ),那么 Rt△P1P2Q 中,哪一个角等于 α? 答 如图 1,当 α 为锐角时,α=∠QP1P2,如图 2,当 α 为钝 角时,α=180° -∠QP1P2. 问题 3 根据斜率的定义,通过构造直角三角形推算出斜率公式

是什么?


|QP2| y2-y1 当 α 为锐角时, 如图 1, 在 Rt△P1P2Q 中, tan α= = . |P1Q| x2-x1

当 α 为钝角时,如图 2,α=180° -∠QP1P2=θ(设∠QP1P2=θ), |QP2| tan α=tan(180° -θ)=-tan θ.在 Rt△P1P2Q 中,tan θ=|P Q|= 1 y2-y1 y2-y1 y2-y1 =- ,于是可得:tan α= . x1-x2 x2-x1 x2-x1

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y2-y1 问题 4 当 P2P1 的方向向上时,tan α= 成立吗?为什么? x2-x1 答 仍然成立.因为当 P2P1 的方向向上时,可以把 P2 点看成
当 P1P2 的方向向上时的点 P1, 把 P1 看成当 P1P2 的方向向上时 y1-y2 y2-y1 的点 P2,把它们的坐标代入后为:tan α= = . x1-x2 x2-x1 问题 5 当直线 P1P2 与 x 轴平行或重合时,上述式子还成立吗?

为什么?
成立. 因为当直线 P1P2 与 x 轴平行或重合时, α=0° , tan α=0, y1-y1 0 而此时 P1,P2 两点的纵坐标相等,tan α= = =0. x2-x1 x2-x1 小结 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 y2-y1 k= . x2-x1 答

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例1 如图,已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1), 求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断这些直线 的倾斜角是锐角还是钝角.

1-2 1 解 直线 AB 的斜率 kAB= =7; -4-3 -1-1 1 直线 BC 的斜率 kBC= =- ; 2 0-?-4? -1-2 直线 CA 的斜率 kCA= =1. 0-3 由 kAB>0 及 kCA>0 知, 直线 AB 与 CA 的倾斜角均为锐角;
由 kBC<0 知,直线 BC 的倾斜角为钝角.

小结

应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等,

若相等,直线垂直于 x 轴,斜率不存在;若不相等,再代入 斜率公式求解.

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跟踪训练 1 求经过下列两点直线的斜率, 并判断其倾斜角是 锐角还是钝角. (1)(1,1),(2,4);(2)(-3,5),(0,2); (3)(2,3),(2,5);(4)(3,-2),(6,-2). 4-1 解 (1)k= =3>0,所以倾斜角是锐角; 2-1 2-5 (2)k= =-1<0,所以倾斜角是钝角; 0-?-3?

(3)由 x1=x2=2 得:k 不存在,倾斜角是 90° ; -2-?-2? (4)k= =0,所以倾斜角为 0° . 6-3

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例2


在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,-1,

2 及-3 的直线 l1,l2,l3 及 l4.
设直线 l1 上的另一个点 A1 的坐标为(x,y), y-0 根据斜率公式有 1= , x-0 所以 x=y,可令 x=1,则 y=1,于是点 A1

的坐标为(1,1).此时过原点和点 A1(1,1)可作 直线 l1, 如图所示. 同理, l2 是过原点及 A2(1, -1)的直线,l3 是过原点及 A3(1,2)的直线,l4 是过原点及 A4(1,-3)的直线.可作直线 l2, l3,及 l4. 小结 已知直线过定点且斜率为定值,那么直线的位置就确

定了,要画出直线,需通过斜率求出另一定点.

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跟踪训练 2 已知点 P(- 3,1),点 Q 在 y 轴上,直线 PQ 的倾斜角为

(0,-2). 120° ,则点 Q 的坐标为________
解析 因为点 Q 在 y 轴上, 则可设其坐标为(0,b).

直线 PQ 的斜率 k=tan 120° =- 3, b-1 ∴k= =- 3, 0-?- 3? ∴b=-2,即点 Q 的坐标为(0,-2).

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.对于下列命题: ①若 α 是直线 l 的倾斜角,则 0° ≤α<180° ; ②若 k 是直线的斜率,则 k∈R; ③任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是 A.1
解析

( C ) C.3 D.4

B. 2
①②③正确.

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2.若经过 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率为 1,则 m 等 于 A.1 C.1 或 3
解析

( A ) B. 4 D.1 或 4
4-m 由题意,得 kPQ= =1,解得 m=1. m+2

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3. 若 A(3, -2), B(-9,4), C(x,0)三点共线, 则 x 等于( B ) C.0 D.7 4+2 0-4 解析 由题意,得 kAB=kBC,即 = ,解得 x=-1. -9-3 x+9 A.1 B.-1

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.利用直线上两点确定直线的斜率,应从斜率存在、不存 在两方面入手分类讨论,斜率不存在的情况在解题中容 易忽视,应引起注意. 2.三点共线问题:(1)已知三点 A,B,C,若直线 AB,AC 的斜率相同,则三点共线; (2)三点共线问题也可利用线 段相等来求,若 |AB|+ |BC|= |AC|,也可断定 A, B, C 三点共线.


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