2013年浙江省第二次五校联考 理数学试卷

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2012 学年浙江省五校联考

数学(理科)试题卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 设集合 A ? { y | y ? sin x, x ? R} , 集合 B ? {x | y ? lg x} , (CR A) ? B ? ( 则 A. (??, ?1) ? (1, ??) B. [ ?11] , C. (1, ??) D. [1, ??) ) )
开始

n ? 1, S ? 1

2.已知复数 z1 ? m ? 2i, z2 ? 3 ? 4i, 若

z1 为实数,则实数 m 的值为( z2
8 3
D. ?

S?

S 2S ? 1

A.

8 3

B.

3 2

C. ?

3 2


n ? n ?1
否 是 输出 S

3.程序框图如图所示,其输出结果是 A. n ? 5 B. n ? 6

1 ,则判断框中所填的条件是( 11
D. n ? 8

C. n ? 7

4. 设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 l , 直线 a 在平面 ? 内, 直线 b 在平面 ? 内, b ? l , 且 则“ a

结束 (第 3 题图)

? b ”是“ ? ? ? ”的(

) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

5. 设数列 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? a4 ? a7 ? 99, a2 ? a5 ? a8 ? 93 ,若对任 意 n ? N * 都有 Sn ? Sk 成立,则 k 的值为( A.22 B.21 )

C.20

D.19

6.设 a ? 0, 且a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a

x ?1 在 (1, ??) 单调递减,则 f ( x ) ( x ?1



A.在 (??, ?1) 上单调递减,在 (?1,1) 上单调递增 B.在 (??, ?1) 上单调递增,在 (?1,1) 上单 调递减 C.在 (??, ?1) 上单调递增,在 (?1,1) 上单调递增 D.在 (??, ?1) 上单调递减,在 (?1,1) 上单

?

??

调递减

?

??
B C N A

2? 7. 已知圆 O 的半径为 2,A、B 是圆上两点且 ?AOB ? ,MN 是一条直径, 3 ???? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? 点 C 在圆内且满足 OC ? ?OA ? (1 ? ? )OB (0 ? ? ? 1) ,则 CM ? CN 的最小值
为( ) A.-2 M B.-1 C.-3 D.-4

O

(第 7 题图)

?y ? 0 ?x ? y ? 1 ? 8.已知实数 x、 y 满足 ? ,若该不等式组所表示的平面区域是一 x ? 2y ? 4 ? ? x ? my ? n ? 0 ? 5 个面积为 的直角三角形,则 n 的值是 ( ) 4 3 1 A. ? B.-2 C.2 D. 2 2
1 2 9.现需编制一个八位的序号,规定如下:○序号由 4 个数字和 2 个 x、1 个 y、1 个 z 组成;○2 个 3 x 不能连续出现,且 y 在 z 的前面;○数字在 0、1、2、?、9 之间任选,可重复,且四个数字之积 为 8.则符合条件的不同的序号种数有( ) A.12600 B.6300 C.5040 D.2520

10. 如图, 已知抛物线的方程为 x2 ? 2 py( p ? 0) , 过点 A(0, ?1) 作直线 l 与 抛物线相交于 P, Q 两点, B 的坐标为 (0,1) , 点 连接 BP, BQ , Q B 与 设 B ,P x 轴分别相交于 M , N 两点.如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为 ?3 , 则 ?MBN 的大小等于( A. ) C.

y
Q

? 2

B.

? 4

2? 3

D.

? 3

B ? P
N
O M

x

A
二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知 ? ? [

(第 10 题图)

?
2

, ? ],sin ? ?

3 ,则 sin 2? =_______. 3
正视图 侧视图

12.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长 为 2,高为 3,俯视图是半径为 1 的圆,则该几何体的体积是_______. 13. (1 ? x)(2 ? x )4 的展开式中 x 项的系数为_______.
2

.
俯视图 (第 12 题图)

x2 y 2 2 2 14.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 a b
有交点,则该双曲线的离心率的取值范围是___________.

15. 已知正实数 x, y 满足 ln x ? ln y ? 0 , k ( x ? 2 y) ? x ? 4 y 恒成立, k 的最大值是________. 且 则
2 2

16.设 x 为实数, [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数,记 ?x? ? x ? [ x] ,则 ? x? 的取值范围为 [0,1) ,现定

?

??

?1? 1 1 义无穷数列 ?an ? 如下: a1 ? ?a? ,当 an ? 0 时, an ?1 ? ? ? ;当 an ? 0 时, an ?1 ? 0 .当 ? a ? 时, 3 2 ? an ?
对任意的自然数 n 都有 an ? a ,则实数 a 的值为 .

17.设函数 f ( x) ? x2 ? x2 ? ax ? 9 ( a 为实数) ,在区间 (??, ?3) 和 (3, ??) 上单调递增,则实数 a 的 取值范围为______________.

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 已知向量 m= (2sin x,1) ,n= ( 3 cos x, 2cos2 x) ,函数 f ( x) ? m ? n ?t . (Ⅰ )若方程 f ( x) ? 0 在 x ? [0,

?
2

] 上有解,求 t 的取值范围;

a (Ⅱ ?ABC 中, , b, c 分别是 A, C 所对的边, (Ⅰ 中的 t 取最大值且 f ( A) ? ?1, b ? c ? 2 )在 B, 当 )
时,求 a 的最小值.

19. (本题满分 14 分)
? 一个口袋中装有 2 个白球和 n 个红球( n ? 2 且 n ? N ) ,每次从袋中摸出两个球(每次摸球后

把这两个球放回袋中) ,若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖. (Ⅰ 摸球一次,若中奖概率为 )

1 ,求 n 的值; 3

(Ⅱ 若 n ? 3 ,摸球三次,记中奖的次数为 ? ,试写出 ? 的分布列并求其期望. )

?

??

20. (本题满分 14 分) 已知直角梯形 ABCD 中,AD ? DC , AD ? AB, ?CDE 是边长为 2 的等边三角形,AB ? 5 . 沿

CE 将 ?BCE 折起,使 B 至 B ' 处,且 B ' C ? DE ;然后再将 ?ADE 沿 DE 折起,使 A 至 A ' 处, 且面 A ' DE ? 面 CDE , ?B ' CE 和 ?A ' DE 在面 CDE 的同侧. (Ⅰ) 求证: B ' C ? 平面 CDE ; B’ (Ⅱ) 求平面 B ' A ' D 与平面 CDE 所构成的锐二面角的余弦值.
D C A’ D A E
(第 20 题图)
2 2

C

B E

21. (本题满分 15 分) 已知椭圆 C :

3 x y ,且经过点 A(0, ?1) . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b (Ⅰ )求椭圆的方程;

3 (Ⅱ )如果过点 (0, ) 的直线与椭圆交于 M , N 两点( M , N 点与 A 点不重合) , 5
1 ○求 AM ? AN 的值; 2 ○当 ?AMN 为等腰直角三角形时,求直线 MN 的方程.

???? ???? ?

22. (本题满分 15 分)

1 (ax ? 1)2 , x ? (0,1] ,它的一个极值点是 x ? . 已知函数 f ( x) ? 2 2? x
(Ⅰ 求 a 的值及 f ( x ) 的值域; ) (Ⅱ )设函数 g ( x) ? ex ? 4 x ? 4x ? a ,试求函数 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的零点的个数.

2012 学年浙江省五校联考

数学(理科)答案
一.选择题 1-5 CDBBC 6-10 ACABD

?

??

10、提示: kBP ? kBQ ? 0, kBP ? kBQ ? ?3 ? kBP ? 3, kBQ ? ? 3 二.填空题 11、 ?

2 2 3

12、 2?

13、25

14、 (1, 2]

15、 2

16、 2 ? 1

17、 (0,12]

(x ? ? ) ?ax ? 9, ? 2 17、 提示: g ( x) ? x2 ? ax ? 9 ? 0 的两根是 ?、? (? ? ? ) , 则 f ( x) ? ?2 x ? ax ? 9, (? ? x ? ? ) 设 ?ax ? 9, (x ? ? ) ?
? f ( x) 在 (??, ? ) ? ,? a ? 0 ,又? g (?3) ? 2a ? 0, g (0) ? ?9 ? 0,?? ? ?3
由 f ( x ) 在 (??, ? ) ? 可知, f ( x ) 在 (??, ?3) ? 又 f ( x ) 在 ( , ? )和( ? , ??) ? ,且 f (? ) ? 2? 2 ? a? ? 9 ? a? ? 9 ,则 f ( x ) 在 ( , ??) ?

a 4

a 4

? f ( x) 在 (3, ??) ? 当且仅当
三.解答题 18、 (1) f ( x) ? 2sin(2 x ?

a ? 3, 即a ? 12 ,? 0 ? a ? 12 4

) ? 1 ? t , f ( x) ? 0 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? t 6 6 ? ? ? 7? ? 1 ? ] ? sin(2 x ? ) ? [ ? ,1] ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? [0,3] 当 x ? [0, ] 时, 2 x ? ? [ , 2 6 6 6 6 2 6 ?0 ? t ? 3 .

?

?

(2) t ? 3,? f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

)?2,

f ( A)? ? 1 ? A ? 3

?

a2 ? b2 ? c2 ? b c o s A 2b ? 2c ? b c( 2 ? ?

b- c 3 ? )2

b c ?3 ?4

bc

b?c 2 ? 4? 3( )? ? ?3 ? a ? 1 ? am i n? 1 4 1 2

?

??

n(n ? 1) 1? 2 2 1 C2 ? Cn n2 ? n ? 2 2 19、 (1) p ? ? ? ? 2 ?n?2 2 (n ? 2)(n ? 1) n ? 3n ? 2 3 Cn ? 2 2
(2)若 n ? 3 ,则每次摸球中奖的概率 p ? 因此, ? ? B (3, ) ,分布列如下:
2 C2 ? C32 1 ? 3 2 ? ? C52 10 5

2 5

?
P

0

1

2

3

27 125

54 125

36 125

8 125

? E? ?

6 5

20、(Ⅰ)证明:已知直角梯形 ABCD 中,可算得 AD ? 3 BC ? 2 3 CE ? 2, EB ? 3 , , , 根 据 勾 股 定 理 可 得 BC ? EC , 即 : B ' C ? EC , 又 B ' C ? DE, DE ? CE ? E ,

B ' C ? 平面CDE ;
D (Ⅱ) A’ H A y H E y 以 C 为原点,CE 为 y 轴,CB 为 z 轴建立空间直角坐标系,如图 则 C(0,0,0), B '(0,0, 2 3), D( 3,1,0), E(0, 2,0) 作 A ' H ? DE ,因为面 A ' DE ? 面 CDE ,易知, A ' H ? 面CDE ,且 A ' H ? E B D C

x

z B’

x C

3 2

3 7 3 7 3 , ,0),? A '( , , ) 4 4 4 4 2 ?? 易知面 CDE 的法向量为 n1 ? (0,0,1),
从平面图形中可知: H (

?

??
????? ? 3 7 3 3 , ,? ). 4 4 2

设面 PAD 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,且 B ' D ? ( 3,1, ?2 3), B ' A ' ? (

?? ?

?????

?? ?? ? ? 3x ? y ? 2 3z ? 0 ?? ? 4 ?? ?? ? n1 ?n2 3 ? ? ?? 3 解得 n2 ? ( 3, 2, 3), cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? 37 7 3 3 | n1 | ? | n2 | 37 x? y? 3 z ? 0, ? ? 4 4 2
21、 (1)因为椭圆经过点 A(0, ?1) b ? 1 ,因为 e ? 所以椭圆的方程为

c a2 ? 1 3 ? ? ,解得 a ? 2 , a a 2

x2 ? y2 ? 1 . 4

3 (2)1 若过点 (0, ) 的直线的斜率不存在, ○ 此时 M , N 两点中有一个点与 A 点重合, 不满足题目条件. 5 3 所以直线 MN 的斜率存在,设其斜率为 k ,则 MN 的方程为 y ? kx ? , 5 3 24 64 把 y ? kx ? 代 入 椭 圆 方 程 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? kx ? , ? 0 , 设 M ( x , y ) , N (2x ,2y )则 1 1 5 5 25 24k 64 x1 ? x 2? ? , x ?1x ?2 ? , 2 5(1 ? 4k ) 25(1 ? 4k 2 )
6 6 3 9 ?100k 2 ? 9 ? ? , y1 ? y2 ? k 2 x1 ? x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? , 5 5(1 ? 4k 2 ) 5 25 25(1 ? 4k 2 ) ???? ???? ? 因为 A(0, ?1) ,所以 AM ? AN ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1) ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? ?? 64 ?100k 2 ? 9 6 ? ? ?1 ? 0 25(1 ? 4k 2 ) 25(1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

2 1 ○由○知: ?MAN ? 90? ,如果 ?AMN 为等腰直角三角形,设 MN 的中点为 P ,则 12k 3 AP ? MN ,且 P (? , ) 2 5(1 ? 4k ) 5(1 ? 4k 2 )

若 k ? 0 ,则 P(0, ) ,显然满足 AP ? MN ,此时直线 MN 的方程为 y ? 若 k ? 0 ,则 k AP ? ?

3 5

3 ; 5

5 5 3 20k 2 ? 8 1 x ? ,即 ,所以直线 MN 的方程为 y ? ? ? ? ,解得 k ? ? 5 5 5 12k k

5x ? 5 y ? 3 ? 0 或 5x ? 5 y ? 3 ? 0 .

3 综上所述:直线 MN 的方程为 y ? 或 5x ? 5 y ? 3 ? 0 或 5x ? 5 y ? 3 ? 0 . 5
22、 (1) f ( x) ?
'

2a(ax ? 1)(2 ? x) ? (ax ? 1)2 , (2 ? x)2

1 2 ' 1 ,所以有 f ( ) ? 0 ,可得 a ? 2 或 a ? . 2 2 7 1 1 当 a ? 2 时,分析可知: f ( x ) 在区间 (0, ] 单调递减,在区间 ( ,1] 单调递增; 2 2
因为它的一个极值点是 x ?

?

??

由此可求得, f ( x ) 的值域为 [0,1] ;

2 1 1 时,分析可知: f ( x ) 在区间 (0, ] 单调递减,在区间 ( ,1] 单调递增; 7 2 2 24 25 由此可求得, f ( x ) 的值域为 [ , ] . 49 49
当a ? (2) 函数 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的零点个数问题可转化为函数 f ( x ) 的图象与函数 g ( x) 的图象的交点 个数问题.

g ' ( x) ? e x ?
x

2 2 4 . ? 4 .因为 x ? (0,1] ,所以 1 ? x ? 2 x ,所以 ? x x 1? x
' x

设 m( x) ? e ? x ?1 ,则 m ( x) ? e ?1 ? 0 ,所以函数 m( x) 在区间 (0,1] 上单调递增 所以 m( x) ? m(0) ? 0 ,即有 e ? x ? 1 .
x

所以 g ' ( x) ? e x ?

2 4 4 ? 4 ? x ?1? ? 4 ? 2 ( x ? 1)? ?4 ? 0. x ?1 x ?1 x

所以,函数 g ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增. (i)当 a ? 2 时, g ( x) ? ex ? 4 x ? 4x ? 2 , g (0) ? ?1 ? 而 g( ) ?

1 ? f (0) , g (1) ? e ? 2 ? 1 ? f (1) , 2

1 2

1 e ?2 2 ?4 ?0 ? f ( ) , 2

结合(1)中函数 f ( x ) 的单调性可得,此时函数 f ( x ) 的图象与函数 g ( x) 的图象有 2 个交点, 即函数 F ( x) 有 2 个零点. (ii)当 a ?

2 2 5 25 x ? f max ( x) 时, g ( x) ? e ? 4 x ? 4 x ? ,由于 g ( x) ? g (0) ? ? 7 7 7 49

所以,此时函数 f ( x ) 的图象与函数 g ( x) 的图象没有交点,即函数 F ( x) 没有零点. 综上所述,当 a ? 2 时,函数 F ( x) 有 2 个零点;当 a ?

2 时,函数 F ( x) 没有零点. 7


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