2014版高中数学复习方略课时提升作业:单元评估检测(八)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)

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单元评估检测(八)
第八章 (120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2013·宝鸡模拟)函数 f(x)= +2x 在 x=1 处切线的倾斜角为 (A) (B) (C) (D) ) ( )

2.“a=3”是“直线 ax+2y+2a=0 和直线 3x+(a-1)y-a+7=0 平行”的 ( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

3.(2013·南昌模拟)已知圆 O:x2+y2=4,直线 l 过点 P(1,1),且与直线 OP 垂直,则 直线 l 的方程为 ( (A)x+3y-4=0 (C)x-y=0 ) (B)y-1=0 (D)x+y-2=0

4.连接椭圆 + =1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为 x-2y+2=0, 则该椭圆的离心率为 (A) (B) ( ) (C) (D) +y2=1 表示椭圆” 的 ( )

5.(2013· 蚌埠模拟)已知 m∈R,则 “m>2” 是 “方程 (A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件
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(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

6.设 M(x0,y0)为抛物线 C:y2=8x 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,若以 F 为圆心,|FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 x0 的取值范围是 ( (A)(2,+∞) (C)(0,2) (B)(4,+∞) (D)(0,4) )

7.(2013·淮南模拟)过点 P(4,2)作圆 x2+y2=4 的两条切线,切点分别为 A,B,O 为 坐标原点,则△OAB 的外接圆方程是 ( (A)(x-2)2+(y-1)2=5 (B)(x-4)2+(y-2)2=20 (C)(x+2)2+(y+1)2=5 (D)(x+4)2+(y+2)2=20 8.(2013·西安模拟)已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A,B 两点,且| | |,则实数 a 的值为 ( ) (B)-2 (D) 或+ |= )

(A)2 (C)2 或-2

9.(2013·榆林模拟)若双曲线 - =1(a>0,b>0)上不存在点 P 使得右焦点 F 关于 直线 OP(O 为双曲线的中心)的对称点在 y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为 ( (A)( ) ,+∞) (B)[ ,+∞) (C)(1, ] (D)(1, )

10.(能力挑战题)已知圆(x-4)2+y2=a(a>0)上恰有四个点到直线 x=-1 的距离与到 点(1,0)的距离相等,则实数 a 的取值范围为( (A)12<a<16 (B)12<a<14 (C)10<a<16
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) (D)13<a<15

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二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线 上) 11.(2013·西安模拟)椭圆 + =1 的焦距为 2,则 m 的值为 .

12.已知椭圆 C 的离心率 e= ,且它的焦点与双曲线 x2-2y2=4 的焦点重合,则椭圆 C 的方程为 .

13.(2013·合肥模拟)已知直线 ax+y+2=0 与双曲线 x2- =1 的一条渐近线平行, 则这两条平行直线之间的距离是 .

14.(2013· 九江模拟)已知圆 C 的圆心是抛物线 y= x2 的焦点,直线 4x-3y-3=0 与 圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=8,则圆 C 的方程为 15.(能力挑战题)曲线 C:y= .

(a>0,b>0)与 y 轴的交点关于原点的对称点称为

“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线 C 有公共点的圆,皆称之为“望圆”, 则当 a=1,b=1 时,所有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的面积为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 16.(12 分)已知直线 l:x=4 与 x 轴相交于点 M,圆的方程(x-2)2+y2=22(x≠0 且 x≠ 4),过直线 l 上一点 D(与 M 不重合)作圆的切线,切点为 E,与 x 轴相交点为 F,若 = ,求切线 DE 的方程.

17.(12 分)(2013·咸阳模拟)已知△ABC 的两个顶点 B,C 的坐标分别为(-1,0)和 (1,0),顶点 A 为动点,如果△ABC 的周长为 6. (1)求动点 A 的轨迹 M 的方程. (2)过点 P(2,0)作直线 l,与轨迹 M 交于点 Q,若直线 l 与圆 x2+y2=2 相切,求线段 PQ 的长.
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18.(12 分)(2013·淮北模拟)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个 端点的连线构成等腰直角三角形,且直线 x-y+b=0 是抛物线 y2=4x 的一条切线. (1)求椭圆 C 的方程. (2)过点 S(0,- )且斜率为 1 的直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,求|MN|的值. 19.(12 分)(2012· 湖南高考)在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 的 椭圆 E 的一个焦点为圆 C:x2+y2-4x+2=0 的圆心. (1)求椭圆 E 的方程. (2)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 的直线 l1, l2,当直线 l1, l2 都与 圆 C 相切时,求 P 的坐标. 20.(13 分)已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,过焦点 F 且不平行于 x 轴的动直线 l 交 抛物线于 A,B 两点,抛物线在 A,B 两点处的切线交于点 M. (1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列. (2)设直线 MF 交该抛物线于 C,D 两点,求四边形 ACBD 面积的最小值.

21.(14 分)已知椭圆 C 的离心率 e= ,长轴的左、 右端点分别为 A1(-2,0),A2(2,0). (1)求椭圆 C 的方程. (2)设直线 x=my+1 与椭圆 C 交于 R,Q 两点,直线 A1R 与 A2Q 交于点 S,试问:当 m 变 化时,点 S 是否恒在一条直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论; 若不是,请说明理由.

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答案解析
1.【解析】选 A.因为 f′(x)=- +2,所以在 x=1 处切线的斜率 k=f′(1)=-1+2= 1=tanα.又倾斜角α∈[0,π),所以α= . 2.【解析】选 A.a=3 代入得,直线 ax+2y+2a=0 和直线 3x+(a-1)y-a+7=0 平行,反 之由直线 ax+2y+2a=0 和 3x+(a-1)y-a+7=0 平行得 a(a-1)=2〓3,a=3 或 a=-2,可 验证满足两直线平行,所以 “a=3” 是 “直线 ax+2y+2a=0 和直线 3x+(a-1)y-a+7=0 平行”的充分不必要条件. 3. 【解析】 选 D.由已知直线 l 的斜率 kl=即 x+y-2=0. 4. 【解析】选 A. 直线 x-2y+2=0 与坐标轴的交点为 (-2,0),(0,1), 依题意得 c=2,b=1? a= ,e= . +y2=1 表示焦点在 x 轴上的椭 =-1,所以直线 l 的方程为 y-1=-(x-1),

5.【解析】选 A.因为 m>2,所以 m-1>1,此时方程

圆,而当该方程表示椭圆时有 m-1>1 或 0<m-1<1,即 m>2 或 1<m<2.故为充分不必 要条件. 6.【解析】选 A.∵(x0,y0)为抛物线 C:y2=8x 上一点, ∴x0≥0, 又∵以 F 为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交, ∴在水平方向上,点 M 应在点 F 的右侧, ∴x0>2. 7.【解析】选 A.由题意得△OAB 的外接圆是以 OP 为直径的圆,其圆心 C(2,1), 半径 r= |OP|= = ,所以△OAB 外接圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

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8.【解析】选 C.由| 以 | 有 , |=|

+

|=|

-

|知,

为邻边的平行四边形为正方形 , 所以△ AOB 为等腰直角三角形 , 即 |=2,∠AOB=90°,∴|AB|=2 ,则点 O 到直线 x+y-a=0 的距离为 ,所以 = ,解得 a=〒2.

9.【思路点拨】按照正难则反思想求解. 【解析】 选 C.这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲线的中心)的对称点在 y 轴上,因此只要在 这个双曲线上存在点 P 使得斜率大于 1,也就是离心率大于 集得 e∈(1, ]. ,求其大于 1 的补

【方法技巧】求椭圆、双曲线离心率的技巧 求离心率的值是解析几何中常见的问题,求解时,可根据题意列出关于 a,b,c 的 相应等式,并把等式中的 a,b,c 转化为只含有 a,c 的齐次式,再转化为含 e 的等 式,最后求出 e. 【变式备选】已知 F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆 + =1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 上一点且 〃 =c2,则此椭圆离心率的取值范围是 〃 .

【解析】设 P(x,y),则

=(-c-x,-y)〃(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2 ① ,

将 y2=b2- x2 代入①式解得 x2=

又 x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2,∴e= ∈[ , ]. 答案:[ , ] 10. 【解析】 选 A.由已知,圆(x-4)2+y2=a(a>0)与抛物线 y2=4x 有四个不同的交点, 则方程组 消去 y 所得的一元二次方程 x2-4x+16-a=0 有

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两相异正实根即可,所以有

解得:12<a<16.

11.【解析】由已知当椭圆焦点在 x 轴上时,有 4-m=1,得 m=3. 当椭圆焦点在 y 轴上时,有 m-4=1,得 m=5. 综上可知,m=3 或 5. 答案:3 或 5 12. 【解析】 由 x2-2y2=4,得 - =1,其中 c2=4+2=6,在椭圆 C 中 e= = ,∴ = ,∴a2=8, ∴b2=a2-c2=2,则椭圆的方程为 + =1. 答案: + =1 13.【解析】双曲线 x2- =1 的渐近线为 x2- =0,不妨设双曲线 x2- =1 的一条渐近 线为 2x-y=0,ax+y+2=0 与 2x-y=0 平行,∴a=-2,在直线 2x-y=0 上取一点 A(1,2),A 到 ax+y+2=0 的距离就是这两条平行直线之间的距离,即 答案: 14.【解析】由 y= x2,得 x2=16y,其焦点为(0,4). 即圆 C 的圆心 C(0,4),其到直线 4x-3y-3=0 的距离 d= =3. = .

又|AB|=8,设圆 C 的半径为 r,所以 r2=d2+42,得 r2=32+42=25,∴圆 C 的方程为 x2+(y-4)2=25. 答案:x2+(y-4)2=25 15. 【解析】 因为曲线 C:y= (a>0,b>0)与 y 轴的交点关于原点的对称点称为 “望

点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线 C 有公共点的圆,皆称之为“望圆”,所以 当 a=1,b=1 时望圆的方程可设为 x2+(y-1)2=r2,面积最小的 “望圆” 的半径为(0,1) 到 y= (|x|-1)2+ 上 任 意 点 之 间 的 最 小 距 离 ,d2=x2+( +2(|x|-1)-1)2=x2+( )2=

+2≥3,所以半径 r≥ ,最小面积为 3π.
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答案:3π 16.【解析】DE,DM 都是圆(x-2)2+y2=22 的切线,所以 DE=DM. 因为 = ,

所以 DF=2DE=2DM, 所以∠DFM= , 设 C(2,0),在△CEF 中, ∠CEF= ,∠CFE= ,CE=2, 所以 CF=4,F(-2,0), 切线 DE 的倾斜角α= 或 , 所以切线 DE 的斜率 k= 或- , 切线 DE 的方程为 y=〒 (x+2). 17.【解析】(1)据题意有|AB|+|AC|=4,而 4>|BC|=2,所以动点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆,但须除去 B,C 两点,所以,轨迹 M 的方程为 + =1(y≠0). (2)由于直线 l 不可能是 x 轴,故设其方程为 x=my+2,由直线 l 与圆 x2+y2=2 相切, 得 = ,解得 m=〒1.

把方程 x=my+2 代入方程 + =1 中得(3m2+4)y2+12my=0,即得 7y2〒12y=0,解得 y=0 或 y=〒 . 所以点 Q 的坐标为( , )或( ,- ), 所以|PQ|= ,即线段 PQ 的长为 .

18.【解析】(1)由

? x2+(2b-4)x+b2=0.

因直线 x-y+b=0 与抛物线 y2=4x 相切, ∴Δ=(2b-4)2-4b2=0? b=1.
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∵椭圆 + =1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形 , ∴a= b= . 故所求椭圆方程为 +y2=1. (2)由已知得直线 l 的方程为 y=x- ,与 +y2=1 联立消 y 得 3x2-2x- =0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2= ,x1〃x2=- , ∴(y1-y2)2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= , ∴|MN|= = .

19.【解析】(1)由 x2+y2-4x+2=0,得(x-2)2+y2=2.故圆 C 的圆心为点(2,0);从而可 设椭圆 E 的方程为 + =1(a>b>0),其焦距为 2c,由题设知 c=2, e= = ,∴a=2c=4,b2=a2-c2=12. 故椭圆 E 的方程为: + =1. (2)设点 P 的坐标为(x0,y0), l1, l2 的斜率分别为 k1,k2,则 l1, l2 的方程分别为 l1:y-y0=k1(x-x0), l2:y-y0=k2(x-x0), 且 k1k2= . 由 l1 与圆 C:(x-2)2+y2=2 相切得 = . 即[(2-x0)2-2] +2(2-x0)y0k1+ -2=0. 同理可得[(2-x0)2-2] +2(2-x0)y0k2+ -2=0. 从而 k1,k2 是方程 [(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+ -2=0 的两个实根, 于是 且 k1k2= 由 =. 得 5 -8x0-36=0.
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解得 x0=-2 或 x0= . 由 x0=-2 得 y0=〒3; 由 x0= 得 y0=〒 , 它们均满足①式,故点 P 的坐标为(-2,3), 或(-2,-3)或( , )或( ,- ). 20.【解析】(1)由已知,得 F(0,1),显然直线 AB 的斜率存在且不为 0, 则可设直线 AB 的方程为 y=kx+1(k≠0), A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去 y,得 x2-4kx-4=0,

显然Δ=16k2+16>0. 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 由 x2=4y,得 y= x2,所以 y′= x, 所以,直线 AM 的斜率为 kAM= x1, 所以,直线 AM 的方程为 y-y1= x1(x-x1), 又 =4y1, 所以,直线 AM 的方程为 x1x=2(y+y1) ①. 同理,直线 BM 的方程为 x2x=2(y+y2) ②. ②-①并据 x1≠x2 得,点 M 的横坐标 x= 即 A,M,B 三点的横坐标成等差数列. (2)由①②易得 y=-1,所以点 M 的坐标为(2k,-1)(k≠0). 所以 kMF= =- , ,

则直线 MF 的方程为 y=- x+1,
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设 C(x3,y3),D(x4,y4), 由 消去 y,得 x2+ x-4=0,

显然Δ= +16>0, 所以 x3+x4=- ,x3x4=-4. 又|AB|= |CD|= = = = = =4(k2+1). =4( +1).

因为 kMF〃kAB=-1,所以 AB⊥CD, 所以,S 四边形 ACBD= |AB|〃|CD| =8( +1)(k2+1) =8(k2+ +2)≥32, 当且仅当 k=〒1 时,四边形 ACBD 的面积取到最小值 32. 【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用方法 解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空 题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法: (1) 数形结合思想 : 当待求量有几何意义时 , 一般利用其几何性质 , 数形结合求 解. (2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最 值,但要注意待求量的取值范围. 【变式备选】设椭圆 M: + =1(a> )的右焦点为 F1,直线 l:x= A,若 +2 =0(其中 O 为坐标原点). 与 x 轴交于点

(1)求椭圆 M 的方程. (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点,EF 为圆 N:x2+(y-2)2=1 的任意一条直径(E,F 为
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直径的两个端点),求 〃 的最大值. 【解析】(1)由题设知,A( 由 +2 =0,得 =2( ,0),F1( ), ,0),

解得 a2=6.所以椭圆 M 的方程为: + =1. (2)方法一:设圆 N:x2+(y-2)2=1 的圆心为 N, 则 〃 =( - )〃( - ) =(- - )〃( - ) = = -1. 的最大值.

从而求 〃 的最大值转化为求

因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P(x0,y0), 所以 + =1,即 =6-3 . 因为点 N(0,2),所以 = +(y0-2)2=-2(y0+1)2+12. 取得最大值 12.

因为 y0∈[- , ],所以当 y0=-1 时, 所以 〃 的最大值为 11.

方法二:设点 E(x1,y1),F(x2,y2),P(x0,y0), 因为 E,F 的中点坐标为(0,2),所以 所以 〃 =(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0) =(x1-x0)(-x1-x0)+(y1-y0)(4-y1-y0) = - + - +4y1-4y0 = + -4y0-( + -4y1). 因为点 E 在圆 N 上,所以 +(y1-2)2=1,即 + -4y1=-3. 因为点 P 在椭圆 M 上,所以 + =1,即 =6-3 .
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所以 〃 =-2 -4y0+9=-2(y0+1)2+11. 因为 y0∈[- , ],所以当 y0=-1 时,( 〃 )max=11. 21.【解析】方法一:(1)设椭圆方程为 + =1(a>b>0),半焦距为 c,则由已知得 a=2, = ,所以 a=2,c= ,∴b2=a2-c2=4-3=1,∴椭圆方程为 +y2=1. (2)①取 m=0,若 R(1, ),Q(1,- ),直线 A1R 的方程是 y= x+ , 直线 A2Q 的方程是 y= x- ,交点为 S1(4, ). 若 R(1,- ),Q(1, ),由对称性可知交点为 S2(4,- ). 若点 S 在同一条直线上,则直线只能为 l:x=4. ②以下证明对于任意的 m,直线 A1R 与直线 A2Q 的交点 S 均在直线 l:x=4 上. 事实上,由 得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0, ,y1y2= = . . .

记 R(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2= 设 A1R 与 l 交于点 S0(4,y0),由

,得 y0= =

设 A2Q 与 l 交于点 S′0(4,y′0),由 ∵y0-y′0= = = = =0, -

,得 y′0=

∴y0=y′0,即 S0 与 S′0 重合, 这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 l:x=4 上. 方法二:(1)同方法一. (2)取 m=0,不妨设 R(1, ),Q(1,- ),则直线 A1R 的方程是 y= x+ ,直线 A2Q 的方 程是 y= x- ,交点为 S1(4, ). 取 m=1,不妨设 R( , ),Q(0,-1),直线 A1R 的方程是 y= x+ ,直线 A2Q 的方程是
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y= x-1,交点为 S2(4,1).∴若交点 S 在同一条直线上,则直线只能为 l:x=4. 以下证明对于任意的 m,直线 A1R 与直线 A2Q 的交点 S 均在直线 l:x=4 上. 事实上,由 得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0, ,y1y2= .A1R 的方程是 y= (x+2),A2Q 的方程

记 R(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2= 是 y= (x-2), (x+2)=

消去 y,得

(x-2) ①,

以下用分析法证明 x=4 时,①式恒成立. 要证明 x=4 时,①式恒成立,只需证明 = ,

即证 3y1(my2-1)=y2(my1+3),即证 2my1y2=3(y1+y2) ②, ∵2my1y2-3(y1+y2)= =0,∴②式恒成立.

这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 l:x=4 上. 方法三:(1)同方法一. (2)由 ,得(my+1)2+4y2=4,

即(m2+4)y2+2my-3=0. 记 R(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2= A1R 的方程是 y= 由 得 (x+2)= (x-2), ,y1y2= . (x-2),

(x+2),A2Q 的方程是 y=

即 x=2〃 =2〃 =2〃
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=2〃

=4.

这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 l:x=4 上.

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