甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学文


甘肃省河西五地市 2015 届高三第一次联 考 数学(文) 试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 M={x|x +3x+2<0},集合
2

,则 M∪N=(



A. {x|x≥﹣2} B. {x|x>﹣1} C. {x|x<﹣1} D. {x|x≤﹣2} 2. (5 分)下面是关于复数 p1:|z|=2, 2 p2:z =2i, p3:z 的共轭复数为﹣1+i, p4:z 的虚部为 1. 其中真命题为( ) A. p2,p3 B. p1,p2 C. p2,p4 D. p3,p4 3. (5 分)下列推断错误的是( ) A. 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1 则 x ﹣3x+2≠0” 2 2 B. 命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则非 p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0 C. 若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D. “x<1”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 4. (5 分)若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱 的体积为( )
2 2 2

的四个命题:

A.

B.

C.

D. 6 ,且| |=1,| +2 |=2 ,则| |=( )

5. (5 分)已知平面向量 与 的夹角为 A. 1 B. C. 2 D. 3

6. (5 分)函数 y=a 上,则

1﹣x

(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny﹣1=0(mn>0) )

的最小值为(

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. (5 分)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于( A. 6 B. 5 C. 3 D. 4 )

8. (5 分)已知集合
2 2

表示的平面区域为 Ω,若在区域 Ω 内任取一

点 P(x,y) ,则点 P 的坐标满足不等式 x +y ≤2 的概率为( A. B. C. D.



9. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为[﹣1,4],部分对应值如下表, x f(x) -1 1 0 2 2 0 3 2 4 0

f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示.

当 1<a<2 时,函数 y=f(x)﹣a 的零点的个数为( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5



10. (5 分) 定义行列式运算:

. 若将函数 )

的图象向左平移 m (m>0) 个单位后, 所得图象对应的函数为奇函数, 则 m 的最小值是 ( A. B. C. D.

11. (5 分) (2012?四川)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M (2,y0) .若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( ) A. B. C. 4 D . 12. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的恒不为零的函数,对任意实数 x,y∈R,都有 f(x)? f(y)=f(x+y) ,若 a1= ,an=f(n) (n∈N ) ,则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是( A. [ ,2) B. [ ,2] C. [ ,1) D. [ ,1] 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13. (5 分)定义某种运算?,S=a?b 的运算原理如图;则式子 5?3+2?4=
*





14. (5 分)若 tanθ+

=4,则 sin2θ=
2 2



15. (5 分) (2012?辽宁)已知双曲线 x ﹣y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一 点,若 PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为 . 16. (5 分)已知曲线 y=(a﹣3)x +lnx 存在垂直于 y 轴的切线,函数 f(x)=x ﹣ax ﹣3x+1 在[1,2]上单调递减,则 a 的范围为 . 三、解答题(本大题有 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB﹣ccosB. (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)若 ,且 ,求 a 和 c 的值.
3 3 2

18. (12 分)为了了解湖南各景点在大众中的熟知度,随机对 15~65 岁的人群抽样了 n 人, 回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表. 回答正确的人数占本 组的频率 0.5 x 0.9 0.36 y

组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组

分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65]

回答正确的人数 a 18 b 9 3

(Ⅰ)分别求出 a,b,x,y 的值; (Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,求第 2,3,4 组每组各 抽取多少人? (Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的 6 人中随机抽取 2 人,求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率.

19. (12 分)已知四棱锥 P﹣ABCD,底面 ABCD 是∠A=60°、边长为 a 的菱形,又 PD⊥底 ABCD,且 PD=CD,点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点. (1)证明:DN∥平面 PMB; (2)证明:平面 PMB⊥平面 PAD; (3)求点 A 到平面 PMB 的距离.

20. (12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2, 点(1, )在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且△AF2B 的面积为 且与直线 l 相切的圆的方程. ,求以 F2 为圆心

21. (12 分)已知函数 (1)当 m=2 时,求 f(x)的极大值; (2)试讨论 f(x)在区间(0,1)上的单调性;

, (其中常数 m>0)

(3)当 m∈[3,+∞)时,曲线 y=f(x)上总存在相异两点 P(x1,f(x1) ) 、Q(x2,f(x2) ) , 使得曲线 y=f(x)在点 P、Q 处的切线互相平行,求 x1+x2 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-1: 几何证明选讲 22. (10 分) 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切点, PO 交圆 O 于 B, C 两点, PA=20, PB=10, ∠BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E. (Ⅰ)求证 AB?PC=PA?AC (Ⅱ)求 AD?AE 的值.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 直线 l 的极坐标方程是 P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. , 射线 OM: θ= 与圆 C 的交点为 O、 为参数) .以 O 为极点,x 轴

选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a (Ⅰ)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x) ; (Ⅱ)若存在 x∈R,使得 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围.

甘肃省河西五地市 2015 届高三第一次联考 数学(文) 试卷参考答案

一、选择题: 1.【考点】 : 并集及其运算;指数函数的单调性与特殊点;一元二次不等式的解法. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 根据题意先求出集合 M 和集合 N,再求 M∪N. 2 【解析】 : 解:∵集合 M={x|x +3x+2<0}={x|﹣2<x<﹣1}, 集合 ={x|2 ≤2 }={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2},
﹣x

2

∴M∪N={x|x≥﹣2}, 故选 A. 【点评】 : 本题考查集合的运算,解题时要认真审题,仔细解答. 2. 【考点】 : 命题的真假判断与应用;复数代数形式的乘除运算. 【专题】 : 计算题;函数的性质及应用. 【分析】 : 求出|z|,可判断 p1 的真假;化简 z ,可判断 p2 的真假; 共轭复数为 1﹣i,z 的虚部为 1,由此可得结论. 【解析】 : 解:p1:|z|= p2:z =
2 2

,可得 z 的

=

,故命题为假;

=

=2i,故命题为真;

,∴z 的共轭复数为 1﹣i,故命题 p3 为假; ∵ ,∴p4:z 的虚部为 1,故命题为真.

故真命题为 p2,p4 故选 B. 【点评】 : 本题考查命题真假的判定,考查复数知识,考查学生的计算能力,属于基础题. 3. 【考点】 : 命题的真假判断与应用. 【专题】 : 简易逻辑. 2 【分析】 : A,写出命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题,可判断 A; 2 B,写出命题 p:“存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0”的否定¬p,可判断 B; C,利用复合命题的真值表可判断 C; 2 D,x ﹣3x+2>0?x>2 或 x<1,利用充分必要条件的概念可判断 D. 2 2 【解析】 : 解:对于 A,命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1 则 x ﹣3x+2≠0”, 正确; 2 2 对于 B,命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则非 p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0,正确; 对于 C,若 p 且 q 为假命题,则 p,q 至少有一个为假命题,故 C 错误; 2 2 对于 D,x ﹣3x+2>0?x>2 或 x<1,故“x<1”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件,正确. 综上所述,错误的选项为:C, 故选:C. 【点评】 : 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查全称命题与特称命题的理解与应用, 考查复合命题与充分必要条件的真假判断,属于中档题.

4. 【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 计算题;压轴题;图表型. 【分析】 : 由三视图及题设条件知,此几何体为一个三棱柱,其高已知,底面正三角形的高 为 ,故先解三角形求出底面积,再由体积公式求解其体积即可. 【解析】 : 解:此几何体为一个三棱柱,棱柱的高是 4,底面正三角形的高是 , 设底面边长为 a,则 故三棱柱体积 ,∴a=6, .

故选 B 【点评】 : 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要 考查三视图与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公 式求表面积与体积,本题求的是本棱柱的体积.三视图的投影规则是:“主视、俯视 长对正; 主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”.三视图是新课标的新增内容,在以后的高考中有加 强的可能. 5. 【考点】 : 平面向量数量积的运算;向量的模. 【专题】 : 计算题;平面向量及应用. 【分析】 : 利用| +2 | 求解即可. 【解析】 : 解:∵| +2 |=2
2 2 2 2

+4 ? +4

2

=12,根据向量数量积的运算,化简得出关于| |的方程,

,∴| +2 | =12,即
2

2

2

+4 ? +4

2

=12,∴

| | +4| |×1×cos60°+4×1 =12,化简得| | +2| |﹣8=0,解得| |=2, 故选:C. 【点评】 : 本题考查向量模的计算,向量数量积的计算,属于基础题. 6. 【考点】 : 基本不等式. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : 函数 y=a (a>0,a≠1)的图象恒过定点 A(1,1) ,由于点 A 在直线 mx+ny﹣ 1=0(mn>0)上,可得 m+n=1.再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 【解析】 : 解:函数 y=a (a>0,a≠1)的图象恒过定点 A(1,1) , ∵点 A 在直线 mx+ny﹣1=0(mn>0)上, ∴m+n=1. 则 =(m+n) =2+ =4,当且仅当 m=n= 时取等号.
1﹣x 1﹣x

故选:B. 【点评】 : 本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质、指数函数的性质,属于基础题. 7. 【考点】 : 等差数列与等比数列的综合;等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和. 【专题】 : 等差数列与等比数列.

【分析】 : 由等比数列的性质可得 a1?a8=a2?a7=…a4?a5=10,由对数的运算性质,整体代入计 算可得. 【解析】 : 解:∵等比数列{an}中 a4=2,a5=5, ∴a4?a5=2×5=10, ∴数列{lgan}的前 8 项和 S=lga1+lga2+…+lga8 4 =lg(a1?a2…a8)=lg(a4?a5) =4lg(a4?a5)=4lg10=4 故选:D. 【点评】 : 本题考查等比数列的性质,涉及对数的运算,基本知识的考查. 8. 【考点】 : 几何概型;简单线性规划. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 作出不等式组对应的平面区域,求出对应的面积,结合几何概型的概率公式进行 求解即可. 【解析】 : 解:作出不等式组对应的平面区域如图, 则对应的区域为△AOB, 由 ,解得 ,即 B(4,﹣4) ,



,解得

,即 A( , ) ,

直线 2x+y﹣4=0 与 x 轴的交点坐标为(2,0) , 则△OAB 的面积 S=
2 2

=

, ,

点 P 的坐标满足不等式 x +y ≤2 区域面积 S=

则由几何概型的概率公式得点 P 的坐标满足不等式 x +y ≤2 的概率为

2

2

=



故选:D

【点评】 : 本题考查的知识点是几何概型,二元一次不等式(组)与平面区域,求出满足条 件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根 据几何概型的概率公式进行求解. 9. 【考点】 : 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性. 【专题】 : 数形结合;导数的概念及应用. 【分析】 : 根据导函数图象,画出原函数的草图,利用 1<a<2,即可得到函数 y=f(x)﹣a 的零点的个数. 【解析】 : 解:根据导函数图象,可得 1 是函数的极小值点,函数 y=f(x)的图象如图所示

因为 f(0)=f(3)=2,1<a<2, 所以函数 y=f(x)﹣a 的零点的个数为 4 个 故选 C. 【点评】 : 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系.二者之间的关系是:导函数 为正,原函数递增;导函数为负,原函数递减. 10. 【考点】 : 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;二阶行列式与逆矩阵. 【专题】 : 计算题;新定义;三角函数的图像与性质. 【分析】 : 由定义的行列式计算得到函数 f(x)的解析式,化简后得到 y=f(x+m)的解析式, 由函数 y=f(x+m)是奇函数,则 x 取 0 时对应的函数值等于 0,由此求出 m 的值,进一步得 到 m 的最小值. 【解析】 : 解:由定义的行列式运算,得 =

= =

= .

将函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位后, 所得图象对应的函数解析式为 由该函数为奇函数,得 , .

所以 当 k=0 时,m 有最小值

,则 m= .



故选 C. 【点评】 : 本题考查了二阶行列式与矩阵,考查了函数 y=Asin(ωx+Φ)的图象变换,三角函 数图象平移的原则是“左加右减,上加下减”,属中档题. 11. 【考点】 : 抛物线的简单性质. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 关键点 M(2,y0)到该抛物线焦点的距离为 3,利用抛物线的定义,可求抛物线 方程,进而可得点 M 的坐标,由此可求|OM|. 【解析】 : 解:由题意,抛物线关于 x 轴对称,开口向右,设方程为 y =2px(p>0) ∵点 M(2,y0)到该抛物线焦点的距离为 3, ∴2+ =3 ∴p=2 ∴抛物线方程为 y =4x ∵M(2,y0) ∴ ∴|OM|= 故选 B. 【点评】 : 本题考查抛物线的性质,考查抛物线的定义,解题的关键是利用抛物线的定义求 出抛物线方程. 12. 【考点】 : 抽象函数及其应用. 【专题】 : 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 【分析】 : 根据 f(x)?f(y)=f(x+y) ,令 x=n,y=1,可得数列{an}是以 为首项,以 为等 比的等比数列,进而可以求得 Sn,进而 Sn 的取值范围. 【解析】 : 解:∵对任意 x,y∈R,都有 f(x)?f(y)=f(x+y) , ∴令 x=n,y=1,得 f(n)?f(1)=f(n+1) , 即 = =f(1)= ,
2 2

∴数列{an}是以 为首项,以 为等比的等比数列, ∴an=f(n)=( ) ,
n

∴Sn=

=1﹣( ) ∈[ ,1) .

n

故选 C. 【点评】 : 本题主要考查了等比数列的求和问题,解题的关键是根据对任意 x,y∈R,都有 f(x)?f(y)=f(x+y)得到数列{an}是等比数列,属中档题. 二、填空题 13. 【考点】 : 选择结构. 【专题】 : 图表型. 【分析】 : 通过程序框图判断出 S=a?b 的解析式,求出 5?3+2?4 的值. 【解析】 : 解:有框图知 S=a?b= ∴5?3+2?4=5×(3﹣1)+4×(2﹣1)=14 故答案为 14 【点评】 : 新定义题是近几年常考的题型,要重视.解决新定义题关键是理解题中给的新定 义. 14. 【考点】 : 二倍角的正弦. 【专题】 : 三角函数的求值. 【分析】 : 先利用正弦的二倍角公式变形,然后除以 1,将 1 用同角三角函数关系代换,利用 齐次式的方法化简,可求出所求. 【解析】 : 解:若 tanθ+ sin2θ=2sinθcosθ= =4,则 = = = = ,

故答案为



【点评】 : 本题主要考查了二倍角公式,以及齐次式的应用,同时考查了计算能力,属于中 档题. 15. 【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 计算题;压轴题. 2 2 【分析】 : 根据双曲线方程为 x ﹣y =1,可得焦距 F1F2=2 ,因为 PF1⊥PF2,所以 2 2 2 |PF1| +|PF2| =|F1F2| .再结合双曲线的定义,得到|PF1|﹣|PF2|=±2,最后联解、配方,可得 2 (|PF1|+|PF2|) =12,从而得到|PF1|+|PF2|的值为 . 【解析】 : 解:∵PF1⊥PF2, 2 2 2 ∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| . 2 2 ∵双曲线方程为 x ﹣y =1, 2 2 2 2 2 ∴a =b =1,c =a +b =2,可得 F1F2=2 2 2 2 ∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| =8 2 2 又∵P 为双曲线 x ﹣y =1 上一点, 2 ∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2, (|PF1|﹣|PF2|) =4 2 2 2 2 因此(|PF1|+|PF2|) =2(|PF1| +|PF2| )﹣(|PF1|﹣|PF2|) =12 ∴|PF1|+|PF2|的值为

故答案为: 【点评】 : 本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径,求它们长度的和, 着重考查了双曲线的基本概念与简单性质,属于基础题. 16. 【考点】 : 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【专题】 : 导数的综合应用. 【分析】 : 根据曲线 y=(a﹣3)x +lnx 存在垂直于 y 轴的切线,即 y'=0 有解,利用 f(x)=x 2 ﹣ax ﹣3x+1 在[1,2]上单调递减,则 f'(x)≤0 恒成立. 3 【解析】 : 解:因为 y=(a﹣3)x +lnx 存在垂直于 y 轴的切线,即 y'=0 有解,即 y'=
3 3 3

在 x>0 时有解,

所以 3(a﹣3)x +1=0,即 a﹣3<0,所以此时 a<3. 3 2 函数 f(x)=x ﹣ax ﹣3x+1 在[1,2]上单调递减,则 f'(x)≤0 恒成立, 即 f'(x)=3x ﹣2ax﹣3≤0 恒成立,即 因为函数 在[1,2]上单调递增,所以函数 , 所以 综上 故答案为: ,所以 . . .
2

, 的最大值为

【点评】 : 本题主要考查导数的基本运算和导数的应用,要求熟练掌握利用导数在研究函数 的基本应用. 三、解答题 17. 【考点】 : 正弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;余弦定理. 【专题】 : 计算题;转化思想. 【分析】 : (1)首先利用正弦定理化边为角,可得 2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB, 然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可. (2)由向量数量积的定义可得 accosB=2,结合已知及余弦定理可得 a +b =12,再根据完全平 方式易得 a=c= . 【解析】 : 解: (I)由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 则 2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB, 故 sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB, 可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, 即 sin(B+C)=3sinAcosB, 可得 sinA=3sinAcosB.又 sinA≠0,
2 2

因此 (II)解:由

. (6 分) ,可得 accosB=2, ,

由 b =a +c ﹣2accosB, 2 2 可得 a +c =12, 2 所以(a﹣c) =0,即 a=c, 所以 . (13 分) 【点评】 : 本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量 积的定义等基础知识,考查了基本运算能力. 18. 【考点】 : 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (I)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组的频数为 25,再结合频率分布直方图求 得 n,a,b,x,y 的值; (II)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人,抽取比例为 ,根据抽取比例计算第 2,

2

2

2

3,4 组每组应抽取的人数; (III)列出从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果,共 15 基本事件,其中恰好没有第 3 组 人共 3 个基本事件,利用古典概型概率公式计算. 【解析】 : 解: (Ⅰ)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组总人数为 再结合频率分布直方图可知 n= , ,

∴a=100×0.01×10×0.5=5,b=100×0.03×10×0.9=27, ; (Ⅱ)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人, ∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为:第 2 组: 人;第 4 组: 人 人; 第 3 组:

(Ⅲ)设第 2 组 2 人为:A1,A2;第 3 组 3 人为:B1,B2,B3;第 4 组 1 人为:C1. 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为: (A1,A2) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A1,C1) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) , (A2,C1) , (B1,B2) , (B1,B3) , (B1,C1) , (B2,B3) , (B2,C1) , (B3,C1)共 15 个基本事件, 其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件, ∴所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是: .

【点评】 : 本题考查了频率分布表与频率分布直方图,考查了古典概型的概率计算,解题的 关键是读懂频率分布直方图.

19. 【考点】 : 直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算. 【专题】 : 证明题;综合题. 【分析】 : (1)取 PB 中点 Q,连接 MQ、NQ,再加上 QN∥BC∥MD,且 QN=MD,于是 DN∥MQ,再利用直线与平面平行的判定定理进行证明,即可解决问题; (2)易证 PD⊥MB,又因为底面 ABCD 是∠A=60°、边长为 a 的菱形,且 M 为 AD 中点,然 后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明; (3)因为 M 是 AD 中点,所以点 A 与 D 到平面 PMB 等距离,过点 D 作 DH⊥PM 于 H,由 (2)平面 PMB⊥平面 PAD,所以 DH⊥平面 PMB,DH 是点 D 到平面 PMB 的距离,从而求 解. 【解析】 : 解: (1)证明:取 PB 中点 Q,连接 MQ、NQ, 因为 M、N 分别是棱 AD、PC 中点, 所以 QN∥BC∥MD,且 QN=MD,于是 DN∥MQ.

?DN∥平面 PMB.

(2)

?PD⊥MB

又因为底面 ABCD 是∠A=60°、边长为 a 的菱形,且 M 为 AD 中点, 所以 MB⊥AD. 又 AD∩PD=D, 所以 MB⊥平面 PAD. ?平面 PMB⊥平面 PAD.

(3)因为 M 是 AD 中点,所以点 A 与 D 到平面 PMB 等距离. 过点 D 作 DH⊥PM 于 H,由(2)平面 PMB⊥平面 PAD,所以 DH⊥平面 PMB.

故 DH 是点 D 到平面 PMB 的距离.



∴点 A 到平面 PMB 的距离为



【点评】 : 本题主要考查空间线面的位置关系,空间角的计算等基本知识,考查空间想象能 力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力,同时考查学生灵活利用图形,借助向量工具 解决问题的能力,考查数形结合思想. 20. 【考点】 : 椭圆的标准方程;圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : (Ⅰ)先设出椭圆的方程,根据题设中的焦距求得 c 和焦点坐标,根据点(1, ) 到两焦点的距离求得 a,进而根据 b= 求得 b,得到椭圆的方程.

(Ⅱ)先看当直线 l⊥x 轴,求得 A,B 点的坐标进而求得△AF2B 的面积与题意不符故排除, 进而可设直线 l 的方程为:y=k(x+1)与椭圆方程联立消 y,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,根 据韦达定理可求得 x1+x2 和 x1?x2,进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径,求得 k,最后求得 圆的半径,得到圆的方程. 【解析】 : 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) . ∴ ∴a=2,又 c=1,b =4﹣1=3, 故椭圆的方程为 .
2

,由题意可得:



(Ⅱ)当直线 l⊥x 轴,计算得到: , 意. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为:y=k(x+1) ,
2 2 2 2

,不符合题



,消去 y 得(3+4k )x +8k x+4k ﹣12=0

显然△>0 成立,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 又 ,





又圆 F2 的半径



所以 化简,得 17k +k ﹣18=0, 2 2 即(k ﹣1) (17k +18)=0,解得 k=±1 所以, ,
2 2 4 2



故圆 F2 的方程为: (x﹣1) +y =2. 【点评】 : 本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线,椭圆与圆的关系.考查了学生综 合运用所学知识,创造性地解决问题的能力. 21. 【考点】 : 基本不等式在最值问题中的应用;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调 性;利用导数研究函数的极值. 【专题】 : 综合题. 【分析】 : (1)利用导数,我们可以确定函数的单调性,这样就可求 f(x)的极大值; (2)求导数,再进行类讨论,利用导数的正负,确定函数的单调性; (3)曲线 y=f(x)在点 P、Q 处的切线互相平行,意味着导数值相等,由此作为解题的突破 口即可. 【解析】 : 解: (1)当 m=2 时,

(x>0)

令 f'(x)<0,可得 ∴f(x)在 故

或 x>2;令 f'(x)>0,可得 和(2,+∞)上单调递减,在

, 单调递减

(2) >0) ①当 0<m<1 时,则 时,f'(x)>0 此时 f(x)在(0,m) , 上单调递减,在(m, )单调递增; ,故 x∈(0,m)∪

(x>0,m

时,f′(x)<0;x∈(m, )

②当 m=1 时,则

,故 x∈(0,1) ,有

恒成立,

此时 f(x)在(0,1)上单调递减; ③当 m>1 时,则 故 此时 f(x)在 , ∪(m,1)时,f'(x)<0; , (m,1)上单调递减,在 时,f'(x)>0 单调递增

(3)由题意,可得 f′(x1)=f′(x2) (x1,x2>0,且 x1≠x2)



?

∵x1≠x2,由不等式性质可得 ∴ ?

恒成立,又 x1,x2,m>0 对 m∈[3,+∞)恒成立

令 恒成立

,则

对 m∈[3,+∞)

∴g(m)在[3,+∞)上单调递增,∴ 故

从而“

对 m∈[3,+∞)恒成立”等价于“



∴x1+x2 的取值范围为 【点评】 : 运用导数,我们可解决曲线的切线问题,函数的单调性、极值与最值,正确求导 是我们解题的关键 22. 【考点】 : 与圆有关的比例线段. 【专题】 : 直线与圆. 【分析】 : (1)由已知条件推导出△PAB∽△PCA,由此能够证明 AB?PC=PA?AC. (2)由切割线定理求出 PC=40,BC=30,由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB,由此能求 出 AD?AE 的值. 【解析】 : (1)证明:∵PA 为圆 O 的切线, ∴∠PAB=∠ACP,又∠P 为公共角, ∴△PAB∽△PCA, ∴ ,

∴AB?PC=PA?AC.…(4 分) (2)解:∵PA 为圆 O 的切线,BC 是过点 O 的割线, ∴PA =PB?PC, ∴PC=40,BC=30, 2 2 2 又∵∠CAB=90°,∴AC +AB =BC =900, 又由(1)知 ,
2

∴AC=12 ,AB=6 , 连接 EC,则∠CAE=∠EAB, ∴△ACE∽△ADB,∴ ∴ , . (10 分)

【点评】 : 本题考查三角形相似的证明和应用,考查线段乘积的求法,是中档题,解题时要 注意切割线定理的合理运用. 23. 【考点】 : 简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 【专题】 : 坐标系和参数方程. 【分析】 : 解: (I)利用 cos φ+sin φ=1,即可把圆 C 的参数方程化为直角坐标方程.
2 2

(II)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,由

,联立即可解得.设(ρ2,θ2)为点

Q 的极坐标,同理可解得.利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出. 【解析】 : 解: (I)利用 cos φ+sin φ=1,把圆 C 的参数方程 (x﹣1) +y =1, 2 ∴ρ ﹣2ρcosθ=0,即 ρ=2cosθ.
2 2 2 2

为参数)化为

(II)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,由

,解得



设(ρ2,θ2)为点 Q 的极坐标,由

,解得



∵θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2. ∴|PQ|=2. 【点评】 : 本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

24. 【考点】 : 绝对值不等式的解法;带绝对值的函数. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 2 【分析】 : (Ⅰ)当 a=0 时,由 f 不等式可得|2x+1|≥x,两边平方整理得 3x +4x+1≥0,解此一 元二次不等式求得原不等式的解集. (Ⅱ)由 f(x)≤g(x) 得 a≥|2x+1|﹣|x|,令 h(x)=|2x+1|﹣|x|,则 h(x)

=

,求得 h(x)的最小值,即可得到从而所求实数 a 的范围.

【解析】 : 解: (Ⅰ)当 a=0 时,由 f(x)≥g(x)得|2x+1|≥x,两边平方整理得 3x +4x+1≥0, 解得 x≤﹣1 或 x≥﹣ ∴原不等式的解集为 (﹣∞,﹣1]∪[﹣ ,+∞) (Ⅱ)由 f(x)≤g(x) 得 a≥|2x+1|﹣|x|,令 h(x)=|2x+1|﹣|x|,即 h(x)

2

=



故 h(x)min=h(﹣ )=﹣ ,故可得到所求实数 a 的范围为(﹣ ,+∞) . 【点评】 : 本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,求函数的最值,属于中 档题.


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