【人教版】2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理新人教版 新 版

2020 学年度上学期第一次月考

※ -精 品 人 教 试 卷- ※

高二数学(理)试卷

一、选择题:(本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。)

1.直线

y

?

?x

?

tan?

?

2,?

?

? ??

? 2

,?

? ??

的倾斜角是(



A. ?

B.? ? ? 2

C. ??

D.? ? ?

2.若椭圆

的一个焦点坐标为(1,0),则 m 的值为( )

A. 5

B. 3

C.

D.

3.如果两条直线 l1: ax ? 2y ? 6 ? 0 与 l2: x ? (a ?1) y ? 3 ? 0 平行,那么 a 等于( )

A.2 或 ?1

B.2

C. ?1

D. 2 3

y?x 4. 若 x, y 满足约束条件{ x ? 4 y ? 4 ? 0 ,则 y 的取值范围是( )
x ?1 x? y?3?0

A.

? ??

5 3

,11???

B.

?1 ??11

,

3 5

? ??

C.

? ??

3 5

,11???

D.

?1 ??11

,

5 3

? ??

5.圆 ? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 2 关于直线 y ? kx ? 3对称,则 k 的值是( )

A. 2

B. ?2

C. 1

D. ?1

6.已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0)

的离心率为

3 ,直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,且线段 AB 的中点为 2

M ??2,1? ,则直线 l 的斜率为( )

A. 1

B. 3

C. 1

D.1

3

2

2

7.设 AB 是椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0 )的长轴,若把 AB100 等分,过每个分点作 AB 的垂线,交椭圆的上半部

分于 P1、P2、… 、P99 ,F1 为椭圆的左焦点,则 F1 A ? F1P1 ? F1P2 +… ? F1P99 ? F1B 的值是 ( )

A. 98a

B. 99a

C. 100a

D. 101a

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8 .一条光线从点(-2, -3)射出,经 y 轴反射与圆 ? x ? 3?2 ? ? y ? 2?2 ? 1相切,则反射光线所在的直线的斜率为

()

A. ? 5 或 ? 3 35

B. ? 3 或 ? 2 23

C. ? 5 或 ? 4 45

D. ? 4 或 ? 3 34

9.下列三图中的多边形均为正多边形,分别为正三角形、正四边形、正六边形, 、 是多边形的顶点,椭圆过

且均以图中的

为焦点,设图①、②、③中椭圆的离心率分别为

,则( )

A.

B.

C.

D.

10.已知点 P? x, y? 是直线 2x ? y ? 4 ? 0 上一动点,直线 PA, PB 是圆 C : x2 ? y2 ? 2 y ? 0 的两条切线, A, B 为

切点, C 为圆心,则四边形 PACB 面积的最小值是( )

A. 2

B. 5

C. 2 5

D.4

11.已知椭圆 C : x2 ? y2 ? 1 a2 b2

(a ? b ? 0) ,A(2, 0) 为长轴的一个端点,弦 BC 过椭圆的中心 O ,且 AC ?BC

?0,

OB ? OC ? 2 BC ? BA ,则其短轴长为 ( )

A. 2 6 3

B. 4 3 3

C. 4 6 3

D. 2 3 3

12.已知椭圆 C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的左右焦点分别为 F1 ,F2 ,点

P

在椭圆

C

上,线段 PF2

与圆:

x2

?

y2

? b2

相切于点

Q,若

Q

是线段

PF2

的中点,e



C

的离心率,则

a2 ? e2 3b

的最小值为(



A. 2 3

B. 5 3

C. 3 3

D. 2 6 3

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13.圆 C1 : x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y2 ? 4x ?10 y ?13 ? 0 有_____条公切线.
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14.已知圆 C:? x ? 3?2 ? y2 ? 100 和点 B?3,0? , P 是圆上一点,线段 BP 的垂直平分线交 CP

于 M 点,则 M 点的轨迹方程是__________.

15.已知 P 是椭圆

x2 4

?

y2 3

? 1上的一点, F1, F2 是该椭圆的两个焦点,若 ?F1PF2 的内切圆半

径为

1 2

,则

PF1

?

PF2

的值为__________.

16.在平面直角坐标系中,定义 d(P,Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为 P(x1, y1), Q(x2 , y2 ) 两点之间的“折线距离”,则椭

圆 x2 ? y2 ? 1上一点 P 与直线 3x ? 4y ?12 ? 0 上一点 Q 的“折线距离”的最小值为__________. 2

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.)

17、(本小题 10 分)

已知正方形的中心为直线

和直线

的交点,其一边所在直线方程为



(1)写出正方形的中心坐标; ( 2 ) 求其它三边所在直线的方程(写出一般式).

18、(本小题 12 分) 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点

两点;

(2)在坐标轴上的一个焦点与短轴上两顶点的连线互相垂直,且过点

.

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19、(本小题 12 分) 红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道,总长 2997 米,在南昌大桥和新八一大桥之间,也是国内
最大的水下立交系统。已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状),路面宽度
4 5 米,高 4 米。车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为 2.5 米,高为 3.5 米的货车能否驶入
这个隧道?请说明理由。
(参考数据: 14 ? 3.74,11 ? 3.31 )

20、(本小题 12 分)

已知线段 的端点 的坐标是

,端点 在圆

上运动,

(1)求线段 中点 的轨 迹方程;

( 2) 设 点

,记 的轨迹方程所对应的曲线为 ,若过点 且在两坐标轴上截距相

等的直线与曲线 相切,求 的值及切线方程的斜截式.

21、(本小题 12 分)

已知椭圆

C

:

x2 b2

?

y2 a2

? 1(a

?b

? 0) 的离心率为

3 ,椭圆 C 的长轴长为 4. 2

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)已知直线 l : y ? kx ? 3 与椭圆 C 交于 A, B 两点,是否存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过

坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

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22、(本小题 12 分)

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如图,已知椭圆: x2 ? y2 ? 1的右焦点为 F,点 B、C 分别是该椭圆的上、下顶点,点 P 是直线 l:y=-2 上的 4
一个动点(与 y 轴交点除外),直线 PC 交椭圆于另一点 M .

(1)当直线 PM 过点 F 时,求△FBM 的面积;

(2)①记直线 BM、BP 的斜率分别为

,求证: 为定值;

②求

的取值范围.

2020 学年度上学期第一次月考

高二数学(理)试卷参考答案

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

答案 D

D

C

B

B

C

D

D

B

A

B

B

13. 3
14. x2 ? y2 ? 1 25 16
15. 9 4
16. 12 ? 34 4
详细解答:

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11.解:由题意可知| OC |?| OB |? 1 | BC | ,且 a=2; 2

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又 | OC ? OB |? 2 | BC ? BA| ?| BC |? 2 | AC | ?| OC |?| AC | 又AC? BC ? 0 ? AC ? BC | OC |?| AC |? 2

如图,在

Rt△AOC

中,求得

C(1,-1),代入椭圆方程得

1 4

?( -b12)2

?1?

b2

?

4 3

∴c2=a2-b2=4- 4 ? 8 33

?c ? 2 6 ,2c ? 4 6 。故答案为 c。

3

3

12.解: 连接 PF1,OQ ,

由 OQ 为中位线,可得 OQ / / PF1

,

OQ

?

1 2

PF1

,

圆 x2 ? y2 ? b2 ,可得 OQ ? b 且 PF1 ? 2b ,

由椭圆的定义可得 PF1 ? PF2 ? 2a ,可得 PF2 ? 2a ? 2b ,

又 OQ ? PF2 ,可得 PF1 ? PF2 ,

即有 ?2b?2 ? ?2a ? 2b?2 ? ?2c?2 ,即为 b2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? c2 ? a2 ? b2 ,

化为 2a ? 3b ,即 b ? 2 a , c ? a2 ? b2 ? 5 a ,即有 e ? c ? 5 ,

3

3

a3



a2 ? e2 3b

?

a2 ? 5 9
2a

?

1 2

? ??

a

?

5 9a

? ??

?

1 ?2 2

a? 5 ? 9a

5, 3

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当且仅当 a ? 5 时,即 a ? 5 时等号成立,所以 a2 ? e2 的最小值为 5 .

9a

3

3b

3

15.解:椭圆 x2 ? y2 ? 1的 a=2,b= 3 ,c=1. 43
根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2,

不妨设 P 是椭圆 x2 ? y2 ? 1上的第一象限内的一点, 43

S = △PF1F2 1 (|PF1|+|PF2|+|F1F2|)? 1 = 3 = 1 |F1F2|?yP=yP.

2

222

所以 yp= 3 . 2

则 PF1 ? PF2 =(-1-xp,-yP)?(1-xP,-yP)=xp2-1+yp2

y y 2

2

=4(1- p )-1+yp2=3- p

=9

3

3

4

16. 解 : 设 直 线 3x ? 4y ? 1 2? 0上 的 任 意 一 点 坐 标 (x,3 ? 3 x) , 椭 圆 x2 ? y2 ? 1 上 任 意 一 点 的 坐 标 为

4

2

( 2 c o ?s ,si ?n ) 由题意可知: d ? x ? 2 cos? ? 3 ? 3 x ? sin? 分类讨论:① 4

x ? 4 ? 4 sin?,d ? x ? 2 cos? ? 3 ? 3 x ? sin?

3

4

? 7 x ? 3 ? 2 cos? ? sin? ? 4 ? 2 cos? ? 4 sin? ? 4 ? 34 sin ?? ? ? ? ? 12 ? 34

4

3

3

3



4 ? 4 sin? ? x ? 3


2 cos? 解同上 x?

2 cos?,d ? ?(x ?

2 cos? ? 3 ? 3 x ? sin? ) ? ?(7 x ? 3 ?

4

4

2 cos? ? sin? )

? ? 3 2 cos? ? sin? ? 3 ? 3 ? 34 sin ?? ? ? ? ? 12 ? 34 .

4

4

4

∴椭圆 x2 ? y2 ? 1上一点 P 与直线 3x ? 4y ?12 ? 0 上一点 Q 的“折线距离”的最小值为 12 ? 34 。

2

4

17、由

,得:

即中心坐标为

∵正方形一边所在直线方程为

∴可设正方形与其平行的一边所在直线方程为

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∵正方形中心到各边距离相等,







(舍)

∴这边所在直线方程为

设与

垂直的两边所在直线方程为

∵正方形中心到各边距离相等







∴这两边所在直线方程为



∴其它三边所在直线的方程为





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18、( 1 )

;(2)

19、如图,建立平面直角坐标系,设圆心





得,

,则圆方程为



所以当



即一辆宽为 2.5 米,高为 3.5 米的货车不能驶入这个隧道。

20、( 1) 设





∵ 为线段 中点

则 又点 ∴ 即

,整理得 在圆

, 上运动





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∴点 M 的轨迹方程为



( 2) 设 切 线 方 程 为











∴ 切 线 方 程 为 : y ? 2 5 x或y ? ?x ? 3 ? 2 2 . 5

? a?2

2 1 . (1)设椭圆的焦半距为

c,则由题设,得

? ?

c

?? a

?

3, 2

解得

?? ?

a?2

,所以 b2 ? a2 ? c2 ? 4 ? 3 ? 1 ,

??c ? 3

故所求椭圆 C 的方程为 y2 ? x2 ? 1. 4

(2)存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 理由如下:

设点 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,

将直线 l 的方程 y ? kx ? 3 代入 y2 ? x2 ? 1, 4

并整理,得 (k 2 ? 4)x2 ? 2 3kx ?1 ? 0 .(*)



x1

?

x2

?

?

2 k2

3k ?4



x1x2

?

?

1 k2 ?

4



因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O,

所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1x2 ? y1 y2 ? 0 .

又 y1y2 ? k2x1x2 ? 3k(x1 ? x2 ) ? 3,

于是 ?

1? k2 k2 ?4

?

6k 2 k2 ?4

?

3

?

0 ,解得 k

?

?

11 , 2

经检验知:此时(*)式的 Δ >0,符合题意.

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所以当 k ? ? 11 时,以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 2
22.

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