浙江专版高中数学课时跟踪检测十九基本不等式新人教A版必修5(含答案)

课时跟踪检测(十九) 基本不等式: ab≤ a +b 2 层级一 学业水平达标 1.下列结论正确的是( ) 1 A.当 x>0 且 x≠1 时,lg x+ ≥2 lg x B.当 x>0 时, x+ 1 x ≥2 1 C.当 x≥2 时,x+ 的最小值为 2 x 1 D.当 0<x≤2 时,x- 无最大值 x 1 解析:选 B A 中,当 0<x<1 时,lg x<0,lg x+ ≥2 不成立;由基本不等式知 B lg x 1 5 1 正确;C 中,由对勾函数的单调性,知 x+ 的最小值为 ;D 中,由函数 f(x)=x- 在区间 x 2 x 1 3 (0,2]上单调递增,知 x- 的最大值为 ,故选 B. x 2 2.下列各式中,对任何实数 x 都成立的一个式子是( A.lg(x +1)≥lg(2x) C. 1 ≤1 x +1 2 2 ) B.x +1>2x 1 D.x+ ≥2 2 x 解析:选 C 对于 A,当 x≤0 时,无意义,故 A 不恒成立;对于 B,当 x=1 时,x +1 =2x,故 B 不成立;对于 D,当 x<0 时,不成立.对于 C,x +1≥1,∴ 选 C. 3.设 a,b 为正数,且 a+b≤4,则下列各式中正确的一个是( 1 1 A. + <1 ) 2 2 1 x2+1 ≤1 成立.故 a b a b 1 1 B. + ≥1 a b a b 1 1 C. + <2 解析:选 B 因为 ab≤? 1 1 D. + ≥2 ?a+b?2≤?4?2=4,所以1+1≥2 ? ? ? a b ? 2 ? ?2? ) 1 ab ≥2 1 =1. 4 4.四个不相等的正数 a,b,c,d 成等差数列,则( A. C. a+d 2 2 > bc = bc B. D. a+d 2 2 < bc ≤ bc 1 a+d a+d 解析:选 A 因为 a,b,c,d 成等差数列,则 a+d=b+c,又因为 a,b,c,d 均大于 0 且不相等,所以 b+c>2 bc,故 a+d 2 > bc. ) 2 8 5.若 x>0,y>0,且 + =1,则 xy 有( x y A.最大值 64 1 C.最小值 2 1 B.最小值 64 D.最小值 64 ?2 8? 解析:选 D 由题意 xy=? + ?xy=2y+8x≥2 2y·8x=8 xy,∴ xy≥8,即 xy 有 ?x y? 最小值 64,等号成立的条件是 x=4,y=16. 1 1 3 3 6.若 a>0,b>0,且 + = ab,则 a +b 的最小值为________. a b 1 1 解析:∵a>0,b>0,∴ ab= + ≥2 1 a b ab ,即 ab≥2,当且仅当 a=b= 2时取等号, 3 3 ∴a +b ≥2 答案:4 2 3 3 ab 3 ≥2 2 =4 2, 当且仅当 a=b= 2时取等号, 则 a +b 的最小值为 4 2. 3 7.已知正数 x,y 满足 x +2xy-3=0,则 2x+y 的最小值是________. 3-x 解析:由题意得,y= , 2x 2 2 3-x 3x +3 3? 1? ∴2x+y=2x+ = = ?x+ ?≥3, 2x 2x 2? x? 2 2 当且仅当 x=y=1 时,等号成立. 答案:3 8.若对任意 x>0, x ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 2 1 解析:因为 x>0,所以 x+ ≥2.当且仅当 x=1 时取等号, x 所以有 x 1 1 1 = ≤ = , x2+3x+1 1 2+3 5 x+ +3 x 即 x 1 1 的最大值为 ,故 a≥ . x +3x+1 5 5 2 ?1 ? 答案:? ,+∞? ?5 ? 9.(1)已知 x<3,求 f(x)= 4 x-3 +x 的最大值; 2 1 3 (2)已知 x,y 是正实数,且 x+y=4,求 + 的最小值. x y 解:(1)∵x<3, ∴x-3<0, ∴f(x)= =-? 4 4 +x= +(x-3)+3 x-3 x-3 -x ? ?+3≤-2 ? 4 + ?3-x ? 4 3-x -x +3=-1, 4 当且仅当 =3-x, 3-x 即 x=1 时取等号, ∴f(x)的最大值为-1. (2)∵x,y 是正实数, ?1 3? ?y 3x? ∴(x+y)? + ?=4+? + ?≥4+2 3. ?x y? ?x y? 当且仅当 = y 3x , x y 即 x=2( 3-1),y=2(3- 3)时取“=”号. 又 x+y=4, 1 3 3 ∴ + ≥1+ , x y 2 1 3 3 故 + 的最小值为 1+ . x y 2 10.设 a,b,c 都是正数,试证明不等式: 证明:因为 a>0,b>0,c>0, 所以 + ≥2, + ≥2, + ≥2, b+c c+a a+b + + ≥6. a b c b a a b c a a c b c c b ? ? ? ? ? ? 所以? + ?+? + ?+? + ?≥6, b a c a b c ?a b? ?a c? ?c b? b a c a c b a b a c b c 当且仅当 = , = , = , 即 a=b=c 时,等号成立. 所以 b+c c+a a+b + + ≥6. a b c 层级二 应试能力达标 1.a,b∈R,则 a +b 与 2|ab|的大小关系是( 2 2 ) 3 A.a +b ≥2|ab| C.a +b ≤2|ab| 解析:选 A 时,等号成立). 2 2 2 2 2 2 B.a +b =2|ab| D.a +b >2|ab| 2 2 2 2 2 2 2 ∵a +b -2|ab|=(|a|-|b|) ≥0,∴a +

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