江苏省常州市武进区2015届高三上学期期中考试数学理试题(含答案)

常州市武进区 2015 届高三(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应的位 置上) 1.已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥2},则集合?U(A∪ B)= {x|0<x<2} .

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:函数的性质及应用. 分析:本题可以先求根据集合 A、B 求出集合 A∪ B,再求出集合(A∪ B) ,得到本题结论. 解答: 解:∵ A={x|x≤0},B={x|x≥2}, ∴ A∪ B={x|x≤0 或 x≥2}, ∴ ?U(A∪ B)={x|0<x<2}. 故答案为:{x|0<x<2}. 点评:本题考查了集合的并集运算和集合的交集,本题难度不大,属于基础题.

2.函数 y=sin

xcos

x 的最小正周期是 2 .

考点:三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:利用二倍角的正弦公式可得函数 f(x)= sinπx,再根据函数 y=Asin(ωx+φ)的周 期性可得结论. 解答: 解:∵ 函数 y=sin xcos x= sinπx,故函数的最小正周期是 =2,

故答案为:2. 点评:本题主要考查二倍角的正弦公式、函数 y=Asin(ωx+φ)的周期性,属于基础题. 3.已知向量 与 共线,则实数 x 的值为 1 .

考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用. 分析:根据向量平行的坐标表示,求出 x 的值即可. 解答: 解:∵ 向量 ∴ 2(3x﹣1)﹣4×1=0, 解得 x=1; ∴ 实数 x 的值为 1. 故答案为:1. 与 共线,

1

点评:本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题,解题时应熟记公式,以便进行计算,是 基础题. 4.△ ABC 中,角 A,B 的对边分别为 a,b,则“A>B”是“a>b”的 充要 条件(填“充分不 必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”) . 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 解三角形;简易逻辑. 分析: 运用三角形中的正弦定理推导,判断答案. 解答: 解:∵ △ ABC 中,角 A,B 的对边分别为 a,b,a>b, ∴ 根据正弦定理可得:2RsinA>2RsinB,sinA>sinB, ∴ A>B 又∵ A>B,∴ sinA>sinB,2RsinA>2RsinB,即 a>b, ∴ 根据充分必要条件的定义可以判断:“A>B”是“a>b”的充要条件, 故答案为:充要 点评: 本题考查了解三角形,充分必要条件的定义,属于中档题.

5.已知 f(sinα+cosα)=sin2α,则

的值为 ﹣



考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析:令 sinα+cosα=t,可得 sin2α=t ﹣1,﹣ ( ) 的值.
2 2

≤t≤

. 可得 f(t)=t ﹣1,从而求得 f

2

解答: 解:令 sinα+cosα=t,平方后化简可得 sin2α=t ﹣1,再由﹣1≤sin2α≤1,可得﹣ ≤t≤ . 2 再由 f(sinα+cosα)=sin2α,可得 f(t)=t ﹣1, ∴ f( )= ﹣1=﹣ . ,

故答案为:﹣

点评:本题主要考查用换元法求函数的解析式, 注意换元中变量取值范围的变化, 属于基础 题. 6.设曲线 y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= 3 . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:根据导数的几何意义,即 f′ (x0)表示曲线 f(x)在 x=x0 处的切线斜率,再代入计 算. 解答: 解:y=ax﹣ln(x+1)的导数 ,

2

由在点(0,0)处的切线方程为 y=2x, 得 ,

则 a=3. 故答案为:3. 点评:本题是基础题,考查的是导数的几何意义,这个知识点在高考中是经常考查的内容, 一般只要求导正确,就能够求解该题.在高考中,导数作为一个非常好的研究工具,经常会 被考查到, 特别是用导数研究最值, 证明不等式, 研究零点问题等等经常以大题的形式出现, 学生在复习时要引起重视.

7.若 sin(

﹣θ)= ,则 cos(

+2θ)的值为 ﹣



考点:两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:首先运用 解答: 解:由于 sin( 则 cos( 则有 cos( =2cos (
2

的诱导公式, 再由二倍角的余弦公式: cos2α=2cos α﹣1, 即可得到. ﹣θ)= , ﹣θ)= , +θ)
2

2

+θ)=sin(

+2θ)=cos2(

+θ)﹣1=2×( ) ﹣1=﹣ .

故答案为:﹣ . 点评:本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式及运用,考查运算能力,属于中档题.

8.△ ABC 中,AB=AC,BC 的边长为 2,则

的值为 4



考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据数量积的定义和三角函数判断求解. 解答: 解:在△ ABC 中,BC=2,AB=AC, 设 AB=AC=x,则 2x>2,x>1, ∴ cosB= 所以 = , =4xcosB=4x =4.

故答案为 4. 点评:本题利用向量为载体,考察函数的单调性,余弦定理,三角形中的边角关系.

3

9.若将函数 f(x)=sin(2x+ φ 的最小正值是 .

)的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得所得图象对应的函数解析式为 y=sin (2x+ ﹣2φ) ,再根据所得图象关于 y 轴对称可得 ﹣2φ=kπ+ ,k∈z,由此求得 φ 的

最小正值. 解答: 解:将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位, ]=sin(2x+ ﹣2φ)关于 y 轴对称, ,

所得图象对应的函数解析式为 y=sin[2(x﹣φ)+ 则 ﹣2φ=kπ+ . ,k∈z,即 φ=﹣ ﹣

,故 φ 的最小正值为

故答案为:

点评:本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,属 于中档题.

10.已知函数 f(x)=

,则 f(

)+f(

)+f(

)+…+f(

)=

15 .

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:由 f(x)+f(1﹣x)= +…+f( )的值. , + )+…+f( =3, )=5×3=15. + =3,能求出 f( )+f( )+f( )

解答: 解:∵ f(x)= ∴ f(x)+f(1﹣x)= ∴ f( )+f( )+f(

故答案为:15. 点评:本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 11.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(3)=0,且 x<0 时,xf′ (x)<f(x) ,则不等 式 f(x)≥0 的解集是 {x|﹣3<x<0 或 x>3} .

4

考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析:本题可构造函数 (x≠0) ,利用 f′ (x)相关不等式得到函数 g(x)

的单调性,由函数 f(x)是的奇偶性得到函数 g(x)的奇偶性和图象的对称性,由 f(3) =0 得到函数 g(x)的图象过定点,再将不等式 f(x)≥0 转化为关于 g(x)的不等式,根 据 g(x)的图象解不等式,得到本题结论. 解答: 解:记 (x≠0) , .



∵ 当 x<0 时,xf′ (x)<f(x) , ∴ 当 x<0 时,g′ (x)<0, ∴ 函数 g(x)在(﹣∞,0)上单调递减. ∵ 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴ ∴ 函数 g(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ 函数 g(x)的图象关于 y 轴对称, ∴ 函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增. ∵ f(3)=0, ∴ g(3)= , ,

∴ 函数 g(x)的图象过点(3,0)和(﹣3,0) . ∵ 不等式 f(x)≥0, ∴ xg(x)≥0, ∴ 或 ,

∴ ﹣3<x<0 或 x>3. ∴ 不等式 f(x)≥0 的解集是{x|﹣3<x<0 或 x>3}. 故答案为:{x|﹣3<x<0 或 x>3}. 点评:本题考查了函数的奇偶性、对称性、导数和单调性,本题难度不大,属于基础题. 12.如图,△ ABC 中,延长 CB 到 D,使 BD=BC,当 E 点在线段 AD 上移动时,若 ,则 t=λ﹣μ 的最大值是 3 .

5

考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析: 共线, 所以存在实数 k 使 表示 为: , 根据向量的加法和减法以及 ,所以又可以用 表示 为:

B 是 CD 中点,可用 = 所以最大值是 3. 解答: 解: 设 又 ∴ ; ;

,所以根据平面向量基本定理得:

,λ﹣μ=3k≤3,

=

=

, 0≤k≤1;

∴ t=λ﹣μ=3k,0≤k≤1; ∴ k=1 时 t 取最大值 3. 即 t=λ﹣μ 的最大值为 3. 故答案为:3. 点评:考查共线向量基本定理,向量的加法、减法运算,以及平面向量基本定理. 13.已知函数 f(x)=|x +x﹣2|,x∈R.若方程 f(x)﹣a|x﹣2|=0 恰有 4 个互异的实数根, 则实数 a 的取值范围为 (0,1) . 考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:计算题;数形结合;函数的性质及应用. 分析:由 y=f(x)﹣a|x﹣2|=0 得 f(x)=a|x﹣2|,显然 x=2 不是方程的根,则 a=| |,
2

令 x﹣2=t,则 a=|t+ +5|有 4 个不相等的实根,画出 y=|t+ +5|的图象,利用数形结合即可得 到结论. 解答: 解:方程 f(x)﹣a|x﹣2|=0, 即为 f(x)=a|x﹣2|, 2 即有|x +x﹣2|=a|x﹣2|, 显然 x=2 不是方程的根, 则 a=| |,

令 x﹣2=t,则 a=|t+ +5|有 4 个不相等的实根,画出 y=|t+ +5|的图象,如右图: 在﹣4<t<﹣1 时,t+ +5≤﹣2 +5=1.

6

则要使直线 y=a 和 y=|t+ +5|的图象有四个交点,则 a 的范围是(0,1) , 故答案为: (0,1) .

点评:本题主要考查函数零点个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键,属于中档题. 14.若函数 f(x)=x ﹣e ﹣ax 在 R 上存在单调递增区间,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞, 2ln2) . 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. x x 分析:根据题意可得 a<2x﹣e 有解,转化为 g(x)=2x﹣e ,a<g(x)max,利用导数求 出最值即可. 解答: 解:∵ 函数 f(x)=x ﹣e ﹣ax, x ∴ f′ (x)=2x﹣e ﹣a, 2 x ∵ 函数 f(x)=x ﹣e ﹣ax 在 R 上存在单调递增区间, x ∴ f′ (x)=2x﹣e ﹣a>0, x 即 a<2x﹣e 有解, x 令 g′ (x)=2﹣e , x g′ (x)=2﹣e =0,x=ln2, x g′ (x)=2﹣e >0,x<ln2, x g′ (x)=2﹣e <0,x>ln2 ∴ 当 x=ln2 时,g(x)max=2ln2﹣2, ∴ a<2ln2﹣2 即可. 故答案为: (﹣∞,2ln2) 点评:本题考察了导数在解决函数最值,单调性,不等式成立问题中的应用,属于难题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 asinB﹣bcosA=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,b= ,求△ ABC 的面积. 考点:正弦定理;余弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,由 sinB 不为 0 求出 tanA 的值,即可确定出 A 的度数;
2 x 2 x

7

(2)由余弦定理列出关系式,把 a,b,cosA 的值代入求出 c 的值,利用三角形面积公式即 可求出三角形 ABC 面积. 解答: 解: (1)已知等式 asinB﹣bcosA=0,利用正弦定理化简得: sinAsinB﹣ sinBcosA=0, ∵ sinB≠0,∴ tanA= 则 A=30°; (2)由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 1=3+c ﹣3c, 解得:c=1 或 c=2, 当 c=1 时,S△ABC= bcsinA= × 当 c=2 时,S△ABC= bcsinA= × ×1× = ×2× = ; .
2 2 2 2



点评:此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 16. (14 分)已知函数 f(x)=ax ﹣3x. (1)求函数 f(x)单调区间; (2)若在区间[1,2]上,f(x)≥4 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 专题:导数的综合应用. 3 2 分析: (1)a=0 时,函数是减函数;a≠0 时,由 f(x)=ax ﹣3x(a≠0)?f′ (x)=3ax 2 ﹣3=3(ax ﹣1) ,分 a>0 与 a<0 讨论,通过 f′ (x)的符号即可求得函数 f(x)的单调区 间; (2)利用导数判断函数的单调性,从而得出函数在闭区间上的最小值,即得到参数的一个 方程,从而求出参数. 解答: 解: (1)a=0 时,f(x)=﹣3x, ∴ f(x)的单调减区间是 R; 当 a≠0 时, 3 ∵ f(x)=ax ﹣3x,a≠0, 2 2 ∴ f′ (x)=3ax ﹣3=3(ax ﹣1) , ∴ 当 a>0 时, 由 f′ (x)>0 得:x> 由 f′ (x)<0 得:﹣ 当 a<0 时,由 f′ (x)>0 得: 由 f′ (x)<0 得:x< 或 x>﹣ ; ) , ( ,+∞) ;函数 f(x)的单 , 或 x<﹣ ,
3

∴ 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣ 调递减区间为(﹣ , ) , ) ;

8

当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间为( ∞, ) , (﹣ ,+∞) ;

,﹣

) ,函数 f(x)的单调递减区间为(﹣

(2)当 a≤0 时,由(1)可知,f(x)在区间[1,2]是减函数, 由 f(2)=4 得 , (不符合舍去) ,
2

当 a>0 时,f′ (x)=3ax ﹣3=0 的两根 x= ① 当



,即 a≥1 时,f′ (x)≥0 在区间[1,2]恒成立,f(x)在区间[1,2]是增函数,由

f(1)≥4 得 a≥7; ② 当 ,即 时 f′ (x)≤0 在区间[1,2]恒成立 f(x)在区间[1,2]是减函数, (不符合舍去) ; ,即 时,f(x)在区间[1, )≥4 无解. ]是减函数,f(x)在区间[ ,2]

f(2)≥4,a ③ 当1

是增函数;所以 f(

综上,a≥7. 点评:本题考查的是导数知识,重点是利用导数判断函数的单调性,难点是分类讨论.对学 生的能力要求较高,属于难题. 17. (14 分)某实验室某一天的温度(单位:°C)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数 关系:f(t)=9﹣ t,t∈[0,24) .

(1)求实验室这一天里,温度降低的时间段; (2)若要求实验室温度不高于 10°C,则在哪段时间实验室需要降温? 考点:两角和与差的正弦函数. 专题:计算题;应用题;三角函数的求值. 分析: (1) 利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为 f (t) =9﹣2sin ( ) , t∈[0,

24) ,利用正弦函数的单调减区间,即可得到; (2)由题意可得,令 f(t)≤10 时,不需要降温,运用正弦函数的性质,解出 t,再求补集 即可得到. 解答: 解: (1)f(t)=9﹣ 则 f(t)=9﹣2( =9﹣2sin( ) , ) t,t∈[0,24) ,

9

令 2k

2k

,解得 24k+2≤t≤24k+14,k 为整数,

由于 t∈[0,24) ,则 k=0,即得 2≤t≤14. 则有实验室这一天里,温度降低的时间段为[2,14]; (2)令 f(t)≤10,则 9﹣2sin( 即有 sin( 则﹣ ) , , )≤10,

解得 24k﹣6≤t≤24k+10,k 为整数, 由于 t∈[0,24) ,则得到 0≤t≤10 或 18≤t<24, 故在 10<t<18,实验室需要降温. 点评:本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象特征,两角和差的正弦公式,正弦函数的 定义域和值域,三角不等式的解法,属于中档题. 18. (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 OABC 是等腰梯形, ,点,M 满足 如图. (1)求∠ OCM 的余弦值; (2)是否存在实数 λ,使 范围,若不存在,请说明理由. ,若存在,求出满足条件的实数 λ 的取值 ,点 P 在线段 BC 上运动(包括端点) ,

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系;数量积表示两个向量的夹角. 专题:平面向量及应用. 分析: (1) 由题意求得 运算求得结果. (2) 设 , 其中 1≤t≤5, 由 , 得 , 、 的坐标, 再根据 cos∠ OCM=cos< , >= ,

可得(2t﹣3)λ=12.再根据 t∈[1, )∪ ( ,5],求得实数 λ 的取值范围.

10

解答: 解: (1)由题意可得 ,



故 cos∠ OCM=cos<



>=

=



(2)设

,其中 1≤t≤5, .



若 则 即 12﹣2λt+3λ=0, 可得(2t﹣3)λ=12. 若 若 ,则 λ 不存在, ,则

, ,



∵ t∈[1, )∪ ( ,5], 故 .

点评:本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角, 两个向量垂直的性质, 属于中档题. 19. (16 分)已知函数 f(x)=x +(x﹣1)?|x﹣a|. (1)若 a=﹣1,解方程 f(x)=1; (2)若函数 f(x)在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 f(x)在[2,3]上的最小值为 6,求实数 a 的值. 考点:利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断. 专题:计算题;导数的综合应用. 2 2 分析: (1)化方程 f(x)=1 可化为 x +(x﹣1)?|x+1|=0,即 2x ﹣1=0(x≥﹣1)或 1=0 (x<﹣1) ,从而求解; (2)f(x)=x +(x﹣1)?|x﹣a|=
2 2

,则

,从而求 a;

(3)讨论 a 的不同取值,从而确定实数 a 的值. 2 解答: 解: (1)若 a=﹣1,则方程 f(x)=1 可化为 x +(x﹣1)?|x+1|=0, 2 即 2x ﹣1=0(x≥﹣1)或 1=0(x<﹣1) , 故 x= 或 x=﹣ ;

11

(2)f(x)=x +(x﹣1)?|x﹣a|= 则若使函数 f(x)在 R 上单调递增, 则 ,

2



则 a≥1; (3)若 a≥3,则 f(x)=(a+1)x﹣a,x∈[2,3], 则函数 f(x)在[2,3]上的最小值为 6,可化为 2(a+1)﹣a=6,则 a=4; 若 1≤a<3,则 f(x)在[2,3]上单调递增, 则 2(a+1)﹣a=6,则 a=4 无解, 若 a<1,
2

< 1,

则 f(x)=x +(x﹣1)?|x﹣a|在[2,3]上单调递增, 2 则 2?2 ﹣(1+a)2+a=6, 解得,a=0. 综上所述,a=0 或 a=4. 点评:本题考查了函数导数的综合应用,同时考查了分类讨论的数学思想,属于中档题. 20. (16 分)已知函数 f(x)=lnx﹣x+a 有且只有一个零点,其中 a>0. (1)求 a 的值; 2 (2)若对任意的 x∈(1,+∞) ,有(x+1)f(x)+x ﹣2x+k>0 恒成立,求实数 k 的最小值; (3)设 h(x)=f(x)+x﹣1,对任意 x1,x2∈(0,+∞) (x1≠x2) ,证明:不等式 恒成立.

考点:利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 专题:计算题;证明题;选作题;导数的综合应用. 分析: (1)f′ (x)= ﹣1,则函数 f(x)=lnx﹣x+a 在(0,1)上单调递增,在(1,+∞) 上单调递减,由题意,f(x)的最大值等于 0,从而解出 a; 2 (2)化简(x+1)f(x)+x ﹣2x+k>0 为 k>2x﹣xlnx﹣lnx﹣1,从而将恒成立问题转化为 求函数 g(x)=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1 在[1,+∞)上的最值问题;利用导数可得 g′ (x)=2﹣lnx ﹣1﹣ = ,再令 m(x)=x﹣xlnx﹣1 并求导 m′ (x)=1﹣lnx﹣1=﹣lnx,从而

判断 g(x)在(1,+∞)上的单调性,最终求出函数 g(x)=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1 在[1,+∞) 上的最值问题,则 k≥g(1)=2﹣0﹣0﹣1=1,从而求实数 k 的最小值; (3)化简 h(x)=f(x)+x﹣1=lnx,则对任意 x1,x2∈(0,+∞) (x1≠x2) , 恒成立可化为对任意 x1,x2∈(0,+∞) (x1≠x2) ,

12

>0 恒成立;不妨没 x1<x2,则上式可 化为(x1+x2) (lnx1﹣lnx2)﹣2(x1﹣x2)<0,从而令 n(x)=(x1+x) (lnx1﹣lnx)﹣2(x1 ﹣x) ,进行二阶求导,判断 n(x)在(x1,+∞)上的单调性,从而证明对任意 x1,x2∈(0, +∞) (x1≠x2) ,不等式 解答: 解: (1)f′ (x)= ﹣1, 则函数 f(x)=lnx﹣x+a 在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 则若使函数 f(x)=lnx﹣x+a 有且只有一个零点, 则 0﹣1+a=0,解得,a=1; 2 (2) (x+1)f(x)+x ﹣2x+k>0 可化为 2 (x+1) (lnx﹣x+1)+x ﹣2x+k>0, 即 k>2x﹣xlnx﹣lnx﹣1 对任意的 x∈(1,+∞)恒成立, 令 g(x)=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1, 则 g′ (x)=2﹣lnx﹣1﹣ = , 恒成立.

令 m(x)=x﹣xlnx﹣1, 则 m′ (x)=1﹣lnx﹣1=﹣lnx, ∵ x∈(1,+∞) , ∴ m′ (x)=1﹣lnx﹣1=﹣lnx<0, 则 m(x)=x﹣xlnx﹣1<1﹣1ln1﹣1=0, 则 g′ (x)<0, 则 g(x)在(1,+∞)上是减函数, 则 k>2x﹣xlnx﹣lnx﹣1 对任意的 x∈(1,+∞)恒成立可化为 k≥g(1)=2﹣0﹣0﹣1=1, 则 k 的最小值为 1; (3)证明:由题意,h(x)=f(x)+x﹣1=lnx, 则对任意 x1,x2∈(0,+∞) (x1≠x2) , 恒成立可化为,

对任意 x1,x2∈(0,+∞) (x1≠x2) , 恒成立; 不妨没 x1<x2,则 lnx1﹣lnx2<0, 则上式可化为(x1+x2) (lnx1﹣lnx2)﹣2(x1﹣x2)<0, 令 n(x)=(x1+x) (lnx1﹣lnx)﹣2(x1﹣x) , 则 n′ (x)=(lnx1﹣lnx)﹣(x1+x) +2 =lnx1﹣lnx﹣ +1,

>0

13

n″ (x)=﹣ +

=



∵ 则当 x∈(x1,+∞)时,n″ (x)<0, 则 n′ (x)在(x1,+∞)上是减函数, 则 n′ (x)<n′ (x1)=0, 则 n(x)在(x1,+∞)上是减函数, 则 n(x)<n(x1)=0, 则(x1+x2) (lnx1﹣lnx2)﹣2(x1﹣x2)<0, 故对任意 x1,x2∈(0,+∞) (x1≠x2) ,不等式 恒成立.

点评: 本题考查了函数的零点的个数的判断, 同时考查了恒成立问题的处理方法, 判 断单调性一般用导数,本题用到了二阶求导及分化求导以降低化简难度,属于难题.

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