高中数学 1.3.2 函数的极值与导数导学案 新人教A版选修2-2

青海师范大学附属第二中学高中数学 1.3.2 函数的极值与导数导学案 新人教 A 版选修 2-2
[学习要求] 1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极 值与导数的关系,并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. [学法指导] 函数的极值反映的是函数在某点附近的性质,是局部性质.函数极值可以在函数图象上“眼见为实”, 通过研究极值初步体会函数的导数作用. 1.极值点与极值 (1)极小值点与极小值 如图,函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近 其他点的函数值都小, f′(a)=0 ;而且在点 x=a 附近的左侧________,右侧__________, 则把点 a 叫做函数 y=f (x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 如 图,函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点 x=b 的左侧__________,右侧__________, 则把点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. __________、________统称为极值点,________和________统称为极值. 2.求函数 y=f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时 : (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是________. (2 )如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是________. 探究点一 函数的极值与导数的关系 问题 1 如图观察,函数 y=f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关 系?y=f(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律?

问题 2 函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗? 问题 3 明. 思考 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的 图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有________个极小值点. 例1 求函数 f(x)=x -3x -9x+5 的极值.
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3 2

若某点处的导数值为零,那么,此点一定是极值点吗?举例说

3 跟踪训练 1 求函数 f(x)= +3ln x 的极值.

x

探究点二 利用函数极值确定参数的值 问题 已知函数的极值,如何确定函数解析式中的参数? 例 2 已知 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=-1 时有极值 0,求常数 a,b 的值.
3 2 2

跟踪训练 2 设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx +x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.

2

探究点三 函数极值 的综合应用 例 3 设函数 f(x)=x -6x+5,x∈ R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极 值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个不同的实根,求实数 a 的取值范 围.
3

跟踪训练 3 若函数 f(x)=2x -6x+k 在 R 上只有一个零点,求常数 k 的取值范围.

3

[达标检测] 1.“函数 y=f( x)在一点的导数值为 0”是“函数 y=f(x)在这点取得极值”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 2.下列函数存在极值的是 ( )
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)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 A.y=

x
3 2 3 2

B.y=x-e D.y=x
3

x

C.y=x +x +2x-3 A.-1<a<2 C.a <-1 或 a>2
x 3

3.已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为 ( B.-3<a<6 D.a<-3 或 a>6

)

4.设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R 有大于零的极值点,则 a 的取值范围为____________. 5.直线 y=a 与函数 y=x -3x 的图象有三个相异的交点,则 a 的取值范围是________. [小结]

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