高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式章末小结与测评创新应用教学案新人教A版选修4

第三讲 柯西不等式与排序不等式 (1)柯西不等式取等号的条件实质上是: = =…= .这里某一个 bi 为零时,规定相 应的 ai 为零. (2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组. (3)可以利用向量中的|α ||β |≥|α ·β |的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意 义. a1 a 2 b1 b 2 an bn 1 若 n 是不小于 2 的正整数,求证: 4 1 1 1 1 1 2 <1- + - +…+ - < . 7 2 3 4 2n-1 2n 2 1 1 1 1 1 [证明] 1- + - +…+ - 2 3 4 2n-1 2n 1 ? ?1 1 1? 1 1 1 ? 1 1 =?1+ + +…+ ?-2? + +…+ ?= + +…+ , 2n? ?2 4 2n? n+1 n+2 2n ? 2 3 4 1 1 1 2 所以求证式等价于 < + +…+ < . 7 n+1 n+2 2n 2 由柯西不等式,有 ? 1 + 1 +…+ 1 ?[(n+1)+(n+2)+…+2n]≥n2, ?n+1 n+2 ? 2n? ? 于是 1 n+1 n+2 + 1 1 +…+ 2n n2 2n 2 2 4 ≥ = = ≥ = , (n+1)+(n+2)+…+2n 3n+1 1 1 7 3+ 3+ n 2 又由柯西不等式,有 2 2 2 1 1 1 + +…+ < n+1 n+2 2n 1 1 1 ? ? 2+ 2+…+ 2 < (2n) ? ?(n+1) (n+2) ? (1 +1 +…+1 )? ? ? n? - ? = . ?n 2n? 2 1 1 2 设 a,b,c,d 为不全相等的正数. 求证: 1 a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b 3(a+b+c+d) + 1 + 1 + 1 > 16 . [证明] 记 s=a+b+c+d,则原不等式等价于 s s-d + 16 > . s-a s-b s-c 3 + + s s s 构造两组数 s-d, s-a, s-b, s-c; 2 2 1 s-d 2 , 1 s-a , 2 1 s-b , 1 s-c 1 ,由柯西不等式得 + 1 ( s-a) 2 [( s-d ) + ( s-a ) + ( s-b ) + ( s-c ) ]·[ 1 2 + ]≥(1+1+1+1) . 2 ( s-b) ( s-c) 2 ( s-d) 2 + 1 即[4s-(a+b+c+d)]·( 于是 1 1 1 1 + + + )≥16, s-d s-a s-b s-c 16 ≥ , s-d s-a s-b s-c 3 + + + s s s s 2 等号成立?s-d=s-a=s-b=s-c?a=b=c=d. 因题设 a,b,c,d 不全相等,故取不到等号, 即 1 a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b 3(a+b+c+d) + 1 + 1 + 1 > 16 . 利用不等式解决最值,尤其是含多个变量的问题,是一种常用方法.特别是条件最值问 题,通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等,但要注意取等号 的条件能否满足. 已知正实数 u,v,w 满足 u +v +w =8,求 + + 的最小值. 9 16 25 [解] ∵u +v +w =8. 2 2 2 2 2 2 u4 v4 w4 ? ? 2 2 2 2 2 ∴8 =(u +v +w ) =? ·3+ ·4+ ·5? 4 5 ?3 ? ? ? ≤? + + ?(9+16+25), ? 9 16 25? u v w 64 32 ∴ + + ≥ = . 9 16 25 50 25 当且仅当 ÷3= ÷4= ÷5, 3 4 5 6 8 即 u= ,v= ,w=2 时取到“=”号, 5 5 4 4 4 u2 v2 w2 2 u4 v4 w4 u2 v2 w2 6 8 u v w 32 ∴当 u= ,v= ,w=2 时 + + 的最小值为 . 5 5 9 16 25 25 设 ai∈R+(i=1,2,…,n)且 ?ai=1,求: i=1 n 4 4 4 S= + +…+ 的最小值. 1+a2+…+an 1+a1+a3+…+an 1+a1+…+an-1 + +…+ 关于 a1,…,an 对称, 2-a1 2-a2 2-an a1 a2 an [解] S= a1 a2 an 不妨设 1>a1≥a2≥…≥an>0, 则 0<2-a1≤2-a2≤…≤2-an, 且 1 1 1 ≥ ≥…≥ >0, 2-a1 2-a2 2-an 3 1 ? 1 + 1 +…+ 1 ? ∴S≥ (a1+a2+…+an)? ? 2-an? n ?2-a1 2-a2 1 ? 1? 1 +…+ = ? . 2-an? n?2-a1 ? 又由柯西不等式,得 ? 1 + 1 + [(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)]? ?2-a1 2-a2 1 ? 2 …+ ≥n , 2-an? ? 而(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)=2n-1, 1 n n 所以,S≥ × = , n 2n-1 2n-1 1 n 当且仅当 a1=a2=…=an= 时, 上面几个不等式的等号成立, 于是 S 的最小值为 . n 2n-1 已知实数 x、y、z 满足 x +4y +9z =a(a>0),且 x+y+z 的最大值是 7,求 a 的值. [解] 由柯西不等式: 2 2 ?1? ?1? 2 2 2 2 [x +(2y) +(3z) ][1 +? ? +? ? ] ?2? ?3? 2 1 ? 1 ? ≥?x+ ×2y+ ×3z? . 3 ? 2 ? 因为 x +4y +9z =a(a>0), 49 2 所以 a≥(x+y+z

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