黑龙江省大庆实验中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题


大庆实验中学 2015-2016 学年度第一学期期末考试

高一数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、 已知集合 U ? ? 1,2,3,4,5, 6?, M ? ? 1,4?, N ? ?2,3?,则集合 ?5,6? ? ( )

A、M ? N

B、M ? N

C、 (CU M ) ? (CU N )

D、 (CU M ) ? (CU N )

2、根据表格内的数据,可以断定方程 e x ? x ? 3 ? 0 的一个根所在区间是(



x
ex

-1 0.37 2

0 1 3

1 2.72 4

2 7.39 5

3 20.08 6

x?3

A、(- 1,0)

B、( 0,1)
1 2 B、b ? a ? c

C、( 1,2)

D、(2,3)


ln x ln x 3、若 x ? (0,1), a ? ln x, b ? ( ) , c ? 2 ,则 a, b, c 的大小关系是(

C、b ? c ? a D、c ? b ? a 1 x 4、某工厂生产某种产品的月产量 y 和月份 x 满足关系 y ? a ? ( ) ? b .现已知该厂 1 月份、 2
2 月份生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件.则此厂 3 月份该产品的产量为( ) A、2 万件 B、1.8 万件 C、1.75 万件 D、1.7 万件 5、已知 x, y ? R ,且 2
?x

A、a ? b ? c

? 3? y ? 2 y ? 3 x ,则下列各式中正确的是(
C、x ? y ? 0



A、x ? y ? 0

B、x ? y ? 0

D、x ? y ? 0


6、已知 A 为锐角, lg(

A、 m ?

1 n

1 ) ? m, lg(1 ? cos A) ? n ,则 lg sin A 的值是( 1 ? cos A 1 1 1 B、n ? m D、 ( n ? m ) C、 (m ? ) 2 2 n


7、已知非零向量 a , b 满足 b ? 4 a ,且 a ? (2a ? b) ,则 a 与 b 的夹角是(

A、 3
8、已知函数 f ( x) ? ?

?

B、 2

?

2? C、 3

5? D、 6

[Z-XK]

?sin x, sin x ? cos x 给出函数 f ( x ) 的下列五个结论: (1)最小值为 ?cos x, sin x ? cos x

?

3? ? ? 2 , ); ; (2)一个单调递增区间是 ( ? (3)其图像关于直线 x ? k? ? (k ? Z ) 对 4 4 2 2

称; (4)最小正周期为 2 ? ; (5)将其图像向左平移 的个数是( A、4 ) B、3

? 后所得的函数是偶函数.其中正确结论 4
C、2 D、1

9、将函数 f ( x) ? cos 2 x 的图像向右平移 ? (0 ? ? ? 对满足 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 的 x1 , x 2 ,有 x1 ? x 2 A、

?
2

) 个单位后得到函数 g ( x) 的图像,若
,则 ? =( ) D、

min

5? 12

B、

? 3

6 ? C、 4


?

?

? 6

10、若 tan ? ? 3 tan

?
7

,则

A、1

) 7 ?( 5? cos(? ? ) 14 1 B、 2

sin(? ?

?

C、

1 3

D、

1 4

11、P 是 ?ABC 内一点, 已知 CP ? ?ACP, ?BCP 的面积分别记为 S1 , S 2 , 其中 ? ? (0,1) ,则

2λ λ CA ? CB , 3 3

S1 =( S2
B、



A、

3 4

2 3

C、

1 2

D、

1 3

12、已知函数 f ( x ) ?

1 , 点 O 为坐标原点, 点 An (n, f (n))(n ? N * ) , 向量 a ? (0,1),? n x ?1

是向量 OAn 与 a 的夹角,则

cos? 2016 cos?1 cos? 2 ? ??? ?( sin ?1 sin ? 2 sin ? 2016
B、

)

A、

2016 2017

2015 2016

C、

2014 2015

D、1

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13、设集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 , B ? x 1 ? x ? 3 ,则 A ? B ? _________ 14、若函数 f ( x) ? x
? 1 2 2

?

?

?

?

? x 3 ( x ? 0) ,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是____________

15、若函数 f ( x ) 满足: f (1) ? 1, f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ? f ( x ? y)(x ? R, y ? R) ,则

f (2016 ) ? ________
16、设 定 义 域 为 (0,??) 上 的 单 调 函 数 f ( x ) , 对 于 任 意 的 x ? (0,??) , 都 有

f ( f ( x) ? x 2 ) ? 6 ,则 f (2) ? _____________

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分 10 分) (1)若 sin ? ? ?

5 , 求 tan ? ; 13

(2)若 tan ? ? 2 ,求 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? 的值.

18、(本小题满分 12 分) 已知点 A(1,0), B(0,?1), P(? , ? ? 1)(? ? R) (1)求证: ?APB 恒为锐角; (2)若四边形 ABPQ 为菱形,求 BQ ? AQ 的值

19、(本小题满分 12 分) 已知定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x ) .当 x ? (?1,0) 时,

f ( x) ? 2 x ? 2 ? x .
(1)试求 f ( x ) 的表达式 (2)若对于 x ? (0,1) 上的每一个值,不等式 t ? 2 x ? f ( x) ? 4 x ? 1恒成立,求实数 t 的取值 范围.

20、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? 所示. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? , ? ? [

?
6

)( A ? 0, ? ? 0) )图象的一部分如图

?
2

, ? ], f (3? ?

?
2

)?

10 6 , f (3? ? ? ) ? ? ,求 13 5

cos(? ? ? ) 的值.

21、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log1 x 的定义域为 [ a, b] ,值域为 [0, t ]
3

(1)用含有 t 的表达式表示 b ? a 的最大值 M (t ) ,最小值 N (t ) (2)若设 g (t ) ? M (t ) ? N (t ) ,当 1 ? t ? 2 时,求 h(t ) ? g (t )[g (t ) ? k ] 的最小值 h(k )

22、(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? lg(a ? 4 x ? 2 x ? 1) (1)如果 x ? (1,2) 时, f ( x) 有意义,确定 a 的取值范围; (2) a ? 0, 若 f ( x) 值域为 R ,求 a 的值; (3)在(2)条件下, g ( x) 为定义域为 R 的奇函数,且 x ? 0 时, g ( x) ? 10 f ( x ) ? 1. 对任 意的 t ? [?1,1], g ( x 2 ? tx) ?

g 3 ( x) 恒成立,求 x 的取值范围. | g ( x) |

大庆实验中学 2015-2016 学年度第一学期期末考试

高一数学参考答案
一、选择题 1 题号 选项 D 二、填空题 13、 x ? 1 ? x ? 3 三、解答题 17、 (1)? sin ? ? ? 2 C 3 C 4 C 5 B 6 D 7 C 15、 2 8 A 9 B 10 B 11 C 12 A

?

?

14、 (1,??)

16、 6

? cos 2 ? ?

144 12 sin ? 5 , 若 ? 第三象限角,则 cos ? ? ? , tan ? ? ? , 若 ? 第四象限 169 13 cos ? 12 12 sin ? 5 , tan ? ? ?? 角,则 cos ? ? 13 cos ? 12
(2) sin ? ? 2 sin ? cos? ?
2

5 , sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, 13

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? tan2 ? ? 2 tan? 8 ? ? 5 sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1

18、 (1)∵点 P(? , ? ? 1) ∴ PA ? (1 ? ?,?? ? 1), PB ? (??,?2 ? ?)

1 3 ? PA?PB ? ??(1 ? ?) ? (?? ? 1)(?2 ? ?) ? 2?2 ? 2? ? 2 ? 2(? ? ) 2 ? ? 0 2 2
∴ cos ?APB ? 0 .若 A,P,B 三点在一条直线上,则 PA // PB , 得到 (? ? 1)(? ? 2) ? ? (? ? 1) ,此方程无解,∴ ?APB ? 0 ∴∠APB 恒为锐角. (Ⅱ)∵四边形 ABPQ 为菱形,∴ AB ? BP ,即 2 ?

? 2 ? ( ? ? 2) 2 ,

2 化简得到 ? ? 2? ? 1 ? 0 解得 ? ? ?1 ? P(?1,0) 设 Q(a,b) ,∵ PQ ? BA ,

∴ (a ? 1, b) ? (1,1) ? a ? 0, b ? 1 ,∴ BQ ? AQ ? 2 19、解: (1)∵ f ( x) 是定义在 (?1,1) 上的奇函数,∴ f (0) ? 0 设 x ? (0,1) ,则 ? x ? (?1,0) ,则 f ( x) ? ? f (? x) ? ?(2 ? 2 )
x ?x

?2 x ? 2 ? x , x ? (?1,0) ? ? f ( x) ? ?0, x ? 0 ?? (2 x ? 2 ? x ), x ? (0,1) ?
(3)由题意, t ? 2 ? f ( x) ? 4 ? 1 可化为 t ? 2 ? (?(2 ? 2 )) ? 4 ? 1 ,化简可得
x x x x x ?x

t??

2 4x ?1 4x ?1 2 ? 0 ,故 g ( x ) ? ? ? ?1 ? x ? x ? (0,1) ∴ g ( x) ? ?1 ? 0 ,令 x x 4 ?1 4 ?1 4 ?1 4 ?1

若对于 x ? (0,1) 上的每一个值,不等式 t ? 2 x ? f ( x) ? 4 x ? 1 恒成立,则 t ? 0 20、 (1)由图象可知 A ? 2 ∵ T ?

1 ? ? f ( x) ? 2 sin( x ? ) 3 6
(2)∵ f (3? ?

3 4

11? 9? 2? 1 ?? ? ? T ? 6? ? ?? ? 2 2 ? 3

10 5 ? sin ? ? .又 2 13 13 ? 6 f (3? ? ? ) ? 2 sin( ? ? ) ? 2 cos ? ? ? 2 5 3 ? 12 4 ? cos ? ? ? ∵ ? , ? ? [ , ? ] ? cos ? ? ? , sin ? ? 5 2 13 5 56 ∴ cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 65 ) ? 2 sin ? ?
21、 (1) M (t ) ? 3t ? 3?t , N (t ) ? 1 ? 3?t (2) g (t ) ? 3t ? 1?1 ? t ? 2 ? 3 ? 3t ? 9 又 h(t ) ? (3t ) 2 ? (k ? 2)3t ? (k ? 1)

?

? (3t ?


2?k 2 k2 ) ? 2 4

2?k ? 3即k ? ?4 时, g (t )在1 ? t ? 2上单调递增? h(t ) ? g (t ) min ? g (1) ? 2k ? 4 ; 2 2?k ? 9即k ? ?16 当 时 , 2

g (t )在1 ? t ? 2上单调递减? h(t ) ? g (t ) min ? g (2) ? 8k ? 64 ;


3?2

1? k ? 9即 ? 16 ? k ? ?4 2





g (t )在1 ? t ? 2上







? h(t ) ? g (t ) min ? -

k2 4
1 4
x

x x 22 、 ( 1 ) 由 题 意 , x ? (1,2), a ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 , 即 a ? ( ) ? ( ) , 令 t ? ( ) , 则
x x

1 2

1 2

1 1 3 3 ? t ? , a ? t 2 ? t ,? a ? ? , a 的取值范围为 [ ? ,?? ) . 4 2 16 16
(2)令 h( x) ? a ? 4 ? 2 ? 1 ,由题意, h( x) 的值域包含 (0,??)
x x x 1, a ? 0 时, h( x) ? 2 ? 1 ,值域为 (?1,??) ,满足条件;
x x x 2 x 2 , a ? 0 时 , h( x) ? a ? 4 ? 2 ? 1 ? a(2 ) ? 2 ? 1. 令 t ? 2 , 易 知 h( x) 的 值 域 为

1 ) ,不满足条件 4a 综上, a ? 0 (?? ,?1 ?
( 3 ) x ? 0 时 , g ( x) ? 2 x , 若 x ? 0,? x ? 0, g (? x) ? 2 ? x , 又 ? g ( x) 为 奇 函 数 ,

?2 x , x ? 0 ? ? g ( x) ? ?2 ? x ,综上, g ( x) ? ?0, x ? 0 ?? 2 ? x , x ? 0 ?

g 3 ( x) ? g (2 x),且 x ? 0 , g ( x 2 ? tx) ? g (2x) ,易知, g ( x) 为单调递增函数, | g ( x) |

? x 2 ? tx ? 2x, t ? [?1,1]

?x 2 ? x ? 2x ? 0 ? 2 当且仅当 ? x ? x ? 2 x ? 0 ,? x ? (??,0) ? [3,??) ?x ? 0 ?

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