广东省新会一中高三上学期第三次测验数学文试题

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新会一中 2013 届高三级第一学期理科第四次数学测验试题

本试卷共 4 页,共 20 题,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 试卷类型:A
注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡 上,并用 2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂试卷类型. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

第一部分 选择题(共 40 分)

一﹑选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.

1.| x |? 2是 | x ? 1 |? 1成立的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既非充分又非必要条

2.已知函数数 f(x)=???2xx+,1x,>0x,≤0. 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于(

)

A.-3 B.-1 C.1 D.3

3.等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,a3+a8>0, S9<0, 则 S1, S2, S3, ……,Sn 中最小的是( ) A.S9 B.S8 C.S5 D.S4 4.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;

②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;

③垂直于同一直线的两条直线相互平行;

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂

直.其中,为真命题的是( )

A.①和②

B.②和③

C.③和④

D.②和④

5.若 1 ? 1 ? 0 ,则下列不等式 ab
中,正确的不等式有

① a ? b ? ab ;②| a |?| b |; ③ a ? b ;④ b ? a ? 2 ab
()

A.0个



D.3个

B.1个

C.2

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6.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是△GHI 三边的中点)得到几

何体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

HAG

A

B I

C

侧视 B

C

B

B

B

B

E

D

F 图

E

D

F 图

E A


E B


E

E

C

D





7.平1面? 内有∠BOC=6002,OA 是? 的斜线,OA 与∠BOC 两边所成的角都是 450,且

OA=1,则直线 OA 与平面? 所成的角的正弦值是 ( )

A. 3
9

B. 3 C. 3 D. 3

7

3

8.数列{na+b}中,a, b 为常数, a>0,该数列前 n 项和为 Sn,那么当 n≥2 时有( )

A.Sn≥n(a+b)

B.Sn≤an2+bn

C.an2+bn<Sn<n(a+b) D.n(a+b)<Sn<an2+bn

第二部分 非选择题(共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.

9.函数 y= 6-1x-x2的定义域是________. 10.若平面向量 α,β 满足|α|=1,|β|≤1,且以向量 α,β 为邻边的平行四边形的 面积为12,则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是________.

11.已知 x=11,则 1 ?

1

? ?? ?

1



.

x2 ? x x2 ? 3x ? 2

x2 ? 21x ? 110

12.若数列{an}满足

a1=5,

an+1=

(an?1 ) 2an

2

?

an 2

(n∈N),则其前

10

项和是_____.

13.已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,-3),动点 P(x,y) 满足不等式 0 ≤O→P·O→M ≤1,0≤O→P·O→N ≤1,则 z=O→Q·O→P的最大值为____________.

14.已知集合 A={x|x2 -5x+4 ? 0} 与 B={x|x2 -2ax+a+2 ? 0} ,若 B ? A ,则 a 的范
围是_______

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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算

步骤.

15.(本题满分

12

分)已知函数

f(x)=2cosxsin(x+π3)-

3 2.

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期 T;(Ⅱ)若△ABC 的三边 a,b,c 满足 b2=ac,且边 b

所对角为 B,试求 cosB 的取值范围,并确定此时 f(B)的最大值.

16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC ,已知 2AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC2 ,求角 A,
B,C 的大小.

17. (本题满分 14 分)某单位建造一间地面面积为 12m2 的背面靠墙的矩形小房,由 于地理位置的限制,房子侧面的长度 x 不得超过 a 米,房屋正面的造价为 400 元/m2,房屋 侧面的造价为 150 元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5800 元,如果墙高为 3m,且不 计房屋背面的费用.
(Ⅰ)把房屋总造价 y 表示成 x 的函数,并写出该函数的定义域.
(Ⅱ)当侧面的长度为多少时,总造价最底?最低总造价是多少?

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18.(本小题满分 14 分)
如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC, PA ? AB, ?ABC ? 60?, ?BCA ? 90? , 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由.
19. (本题满分 14 分)已知 f (x)=a1x+a2x2+a3x3+……+anxn,且 a1, a2, a3,……,an 组成等差数列(n 为正偶数),又 f (1)=n2, f (-1)=n,(Ⅰ) 求数列的通项公式 an; (Ⅱ) 试 比较 f ( 1 )与 3 的大小,并说明理由.
2
20.(本题满分 14)已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b+axlnx,f(e) =2(e=2.71828…是自然对数的底数)
(Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M),使得对每一个 t∈[m,M],直线 y =t 与曲线 y=f(x)???x∈???1e,e??????都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 M;若不存在,说明理由.
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2013 届高三级第一学期理科第四次数学测验答案

一、 选择题:BACD CACD 二、填空题:

9.{x|-3<x<2}

10. ???π6,56π???

11. 1 22

12. 50

13. 2 14. (?1,18] 7

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算

步骤.

15.(本题满分

12

分)解:(1)f(x)=2cosx·sin(x+π3)-

3 2

=2cosx(sinxcosπ3+cosxsinπ3)-

3 2

=2cosx(12sinx+

23cosx)-

3 2

=sinxcosx+

3·cos2x-

3 2

=12sin2x+

1+cos2x 3· 2 -

3 2

=12sin2x+ 23cos2x

=sin(2x+π3) ……………………………5 分 ∴T=|2ωπ|=22π=π……………………….6 分

a2+c2-b2

a2+c2-ac

(2)由余弦定理 cosB= 2ac 得,cosB= 2ac

=a22+acc2-12≥22aacc-12=21,∴21≤cosB<1,………………………9 分

而 0<B<π,∴0<B≤π3.函数 f(B)=sin(2B+π3),……………….10 分

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∵π3<2B+π3≤π,当 2B+π3=π2, 即 B=1π2时,f(B)max=1………………………………………………12 分

16. (本小题满分 12 分) 解:设 BC ? a, AC ? b, AB ? c

由 2AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ? 3 2
又 A? (0,? ), 因此 A ? ? ……………………3 分 6
由 3 AB ? AC ? 3BC2 得 bc ? 3a2 ,于是 sin C ?sin B ? 3 sin2 A ? 3 4

所以 sin C ?sin(5? ? C) ? 3 , sin C ? (1 cos C ? 3 sin C) ? 3 ,

6

4

2

2

4

因此 2sin C ? cos C ? 2 3 sin2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,

既 sin(2C ? ? ) ? 0 ………………………..9 分 3

由 A= ? 知 0 ? C ? 5? ,所以 ? ? , 2C ? ? ? 4? ,从而

6

6

3

33

2C ? ? ? 0, 或 2C ? ? ? ? , ,既 C ? ? , 或 C ? 2? , 故

3

3

6

3

A ? ? , B ? 2? ,C ? ? , 或 A ? ? , B ? ? ,C ? 2? ………………………12 分

6

3

6

66

3

17. (本题满分 14 分) (1)由题意可得,

y ? 3(2x ?150 ? 12 ? 400) ? 5800 ? 900(x ? 16) ? 5800(0 ? x ? a) ….4 分

x

x

(2) y ? 900(x ? 16) ? 5800 ? 900 ? 2 x ? 16 ? 5800 =13000

x

x

当且仅当 x ? 16 即 x ? 4 时取等号。……………..7 分 x

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若 a ? 4 , x ? 4 时,有最小值 13000……………..9 分

若 a ? 4 任取 x1, x2 ? (0, a)且x1 ? x2

y1

?

y2

?

900( x1

?

16 x1

)

?

5800

?

900(

x2

?

16 ) ? 5800 x2

?

900???x1
?

?

x2 ? ? 16????

1 x1

?

1 x2

???????

? 900?x1 ? x2 ??x1x2 ?16?
x1 x2

? x1 ? x2 ? a,? x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? a 2 ? 16

?

y1

?

y2

?

0?

y

?

900?? x ?

? 16 ?? x?

?

5800 在 ?0, a?上是减函数………….13



?当x ? a时, y有最小值900(a ? 16) ? 5800 .………………………….14 分 a
18. (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC.

又 ?BCA ? 90? ,∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面 PAC………….4 分
(Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC, ∴ DE ? 1 BC , 2 又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB,又 PA=AB,
∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD ? 1 AB , 2
∴在 Rt△ABC 中, ?ABC ? 60? ,∴ BC ? 1 AB . 2
∴在 Rt△ADE 中, sin ?DAE ? DE ? BC ? 2 , AD 2AD 4

∴ AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值为. 2 …………9 分 4
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC,

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又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? DE ? P 的平面角,
∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC,∴ ?PAC ? 90? .

∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC,这时 ?AEP ? 90? ,

故存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 是直二面角…………..14 分

【解法 2】如图,以 A 为原煤点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

设 PA ? a ,由已知可得

A ? 0,

0,

0?

,

B

? ???

?

1 2

a,

3 2

a,

0

? ???

,

C

? ???

0,

3 2

a,

0

? ???

,

P

?0,

0,

a

?

.

(Ⅰ)∵

AP

?

?0,

0,

a

?

,

BC

?

? ??

1 2

a,

0,

0

? ??



∴ BC ? AP ? 0 ,∴BC⊥AP.

又∵ ?BCA ? 90? ,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC.

(Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC,∴E 为 PC 的中点,



D

? ???

?

1 4

a,

3 4

a,

1 2

a

? ???

,

E

? ???

0,

3 4

a,

1 2

a

? ???



∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角,



AD

?

? ???

?

1 4

a,

3 4

a,

1 2

a

? ???

,

AE

?

? ???

0,

3 4

a,

1 2

a

? ???



∴ cos ?DAE ? AD ? AE ? 14 . AD ? AE 4

∴ AD 与平面 PAC 所成的角的大小 arccos 14 . 4
(Ⅲ)同解法 1.

19. (本题满分 14 分)

(1) 设数列{an}的公差为 d,

f

(1)=a1+a2+a3+……+an=

n(a1

? 2

an

)

=n2,………2



∴ a1+an=2n, …….3 分

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又 f (-1)= -a1+a2-a3+……-an-1+an=n,

1 nd=n, d=2,………….5 分 2

∴ a1=1, an=2n-1,…………………….7 分

(2) f ( 1 )= 1 +3( 1 )2+5( 1 )3+……+(2n-1) ( 1 )n………………………………①…….8 分

22 2

2

2

①× 1 得 1 f ( 1 )=( 1 )2+3( 1 )3+5( 1 )4+……+(2n-1) ( 1 )n+1…………………②

2 22 2

2

2

2

①-②得 1 f ( 1 )= 1 +2[( 1 )2+( 1 )3+……+( 1 )n]-(2n-1)( 1 )n+1, ………..11 分

22 2 2 2

2

2

∴f

(

1

)=1+4·

(

1 2

)

2

[1

?

(

1 2

)

n?1

]

-(2n-1)(

1

)n+1=3-

1

-(2n-1)( 1 )n+1<3…….14

2

1? 1

2

2n?2

2

2



20【解答】 (1)由 f(e)=2 得 b=2…………..2 分
(2)由(1)可得 f(x)=-ax+2+axlnx. 从而 f′(x)=alnx……………………….3 分 因为 a≠0,故: ①当 a>0 时,由 f′(x)>0 得 x>1,由 f′(x)<0 得 0<x<1; ②当 a<0 时,由 f′(x)>0 得 0<x<1,由 f′(x)<0 得 x>1……………………………….5
分 综上,当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); 当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+
∞).…………..7 分
(3)当 a=1 时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx……………….8 分 由(2)可得,当 x 在区间???1e,e???内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

1 e

???1e,1???

1

(1,e)

e

f′(x )



0



f(x)

2 2-e

单调递减

极小 值1

单调递增

2

又 2-2e<2,所以函数 f(x)(x∈???1e,e???)的值域为[1,2].…………………11 分

据此可得,若???mM==12, 相对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 与曲线 y=

f(x)???x∈???1e,e??????都有公共点;

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并且对每一个 t∈(-∞,m)∪(M,+∞),直线 y=t 与曲线 y=f(x)???x∈???1e,e??????都 没有公共点.
综上,当 a=1 时,存在最小的实数 m=1,最大的实数 M=2,使得对每一个 t∈[m, M],直线 y=t 与曲线 y=f(x)???x∈???1e,e??????都有公共点.………………….14 分
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