浙江省金华一中2010届高三9月月考(数学理)

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金华一中 2009 学年第一学期高三数学理 9 月月考试题
一、选择题(每小题 5 分,共 5×10=50 分) 1. 已知集合 P={ 1, Q={x∈R|kx+1=0}, P∪Q=P, 2}, 若 则实数 k 的值构成的集合是 ( A.{1, 2.函数 y = (



1 } 2

B.{ 1 ,

1 } 2

C.{0,1,

1 } 2

D.{0, 1 ,

1 } 2

ln(1 + x) x2 3x + 4

的定义域是

) A. 1,1) (

B. 1,1] (

3. 函数 y=Asin(wx+ φ (w>0, φ |< ) | A. y = 6sin( C. y = 6 sin(

π

π

x+ ) 8 4

π

) 的部分图象如下, 则函数表达式为 y π π 6 B. y = 6sin( x )

π

C. 4, 1) (

D. 4,1) ( ( )

2

x ) 8 4

π

D. y = 6 sin(

π

8

x+ ) 8 4

π

4

-2 O -6

6 x

4 . 函 数 f(x)=cos2x 的 图 象 向 左 平 移 (

π
4

个 长 度 单 位 后 得 到 g(x) 的 图 象 , 则 g(x)=

) C.cos2x D. cos2x A.sin2x B. sin2x 5. △ABC 的内角 A 满足 tanA sinA<0, sinA+cosA>0, 则角 A 的取值范围是 A. (0,





π

4



B. (

π

4



π

2



C. (

π

2

, π)

3 4

D. π , π ) ( ( ) D.既不充分又不必要条

3 4

6. △ABC 中, A≠B” “cos2A≠cos2B” “ 是 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 件

7 . 若 0<a<1 , 且 在 log 2 x1 = log a x2 = log a +1 x3 < 0 , 则 x1,x2,x3 大 小 关 系 是
a



) A.x1<x2<x3 8.已知 cos α =

1 13 π , cos(α β ) = , 且 0 < β < α < ,则 β = 7 14 2
B.

B.x1<x3<x2

C.x3<x2<x1

D.x3<x1<x2



) A.

π
6

π
4

C.

π
3

D.

5π 12
( )

9. 已知函数 f(x)=

x 2 + 4 x( x ≥ 0) 4 x x ( x < 0)
2

, f(2 a2)>f(a), 若 则实数 a 的取值范围是 C. 1,2) (

A. ( ∞, 1) ∪ (2, +∞)

B. (∞, 2) ∪ (1, +∞ )

D. 2,1) (

10.min{a,b,c}表示 a、b、c 这三个数中的最小值,设 f(x)=min{2x,x+2,10 x}(x≥0),则
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f(x)最大值为 ( ) A.4 B.5 C.6 二、填空题(每小题 4 分,共 4×7=28 分) 11.sin420°cos330°-sin(690°)cos( 660°)= 12.曲线 y=ax3 的一条切线方程为 y=x+1,则 a=

D.7

x x x x 3sin 2 2sin cos + cos 2 1 2 2 2 2= 13.已知 sinx+cosx= ,则 5 tan x + cot x 2 14.已知 f(x)=|x 2x t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=
15.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f(x+2)=

1 ,若 f(1)=-5,则 f[f(5)]= f ( x)

16.△ABC 中,AB=2,AC= 2BC ,则△ABC 面积的最大值为 17.实系数的关于 x 的方程 x2+ax+2b=0 一根大于 0 且小于1,另一根大于 1 且小于 2, 则

b2 的取值范围是 a 1
18. (满分14分)已知 f ( x ) =

三、解答题(共72分)

x x x 1 3 sin cos + cos 2 + . 4 4 4 2

(1)求 f(x)的周期及其图象的对称中心; (2)△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,满足(2a c)cosB=bcosC, 求 f(A)的取值范围.

19. (满分14分) f ( x ) =

x 2 + ax + 10 ,且 x=1 是 f(x)的一个极值点. x 3

(1)求 a 的值及 f(x)单调区间; (2) g(x)=x3-3x-m2+4m, 设 A={y | y=g(x),x∈[0,2]}, B={y |y=f(x),x∈[0,2]}. 若 A∩B=B,求实数 m 的取值范围.

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20. (满分14分)如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空间,△ABC 外 的地方种草,△ABC 的内接正方形MNPQ为水池,其余地方种花。若 BC=a,∠ABC= θ , 设△ABC 面积为 S1,正方形MNPQ的面积为 S2. A (1)用 a, θ 表示 S1,S2; P N S1 最小值及此时 θ 值. (2)当 a 固定, θ 变化时,求

S2









21. (满分15分)定义在 R 上的函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足:函数 f(x)的图象关于原点对 称;函数 f(x)的图象过点(3, 6) ;函数 f(x)在点 x1,x2 处取得极值,且|x1 x2|=4. (1)求 f(x)表达式; (2)求函数 f(x)在点 P(3, 6)处切线方程; (3)若 α 、 β ∈R,求证: | f (2 cos α ) f (2 sin β ) |≤

64 . 3

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22. (满分15分)已知 f ( x ) = ln( x 1 + ) .

1 a

a ,其中 a>0.求 F(x)的单调区间; x x (2)当 a=1 时,若对于任意正实数 b,关于 x 不等式 bf(x)> + m ,在[1,e]上恒成 2
(1)设 F(x)=f(x) m+ 立,求实数 m 的取值范围.

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金华一中 2009 学年第一学期高三 9 月月考试题 数学理参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 5×10=50 分) 1 C 2 A 3 A 4 B 5 C 6 C 7 B 8 C 9 D 10 C

二、填空题(每小题 4 分,共 4×7=28 分) 11. 1 12.

4 27

13.



108 125

14.

1

15.



1 5

16.

2 2

17.

1 ( ,1) 4

三、解答题(共72分) 18. (1)f(x)=sin( T= 4π 对称中心( 2kπ

x π + )+1 2 6
,1 )

π
3

(2) (2sinA sinC)cosB=sinBcosC 2sinBcosB=sin(B+C)=sinA 2sinA>0 ∴cosB=

又 0<B< π ∴B=

1 2
又 0<A+B< π

π

3 2 3

∴0<A< π 而 f(A)=sin( ∴

A π + ) +1 2 6

3 < f ( A) < 2 2

19.解: (1)f/(x)=

x 2 6 x 3a 10 ( x 3) 2
∴a= 5

f/(1)=

3a 15 =0 4

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令 f/(x)=

x2 6 x + 5 >0 ( x 3) 2

∴x<1 或 x>5 ∴f(x)的增区间 (∞,1), (5, +∞ ) ;减区间(1,3)(3,5) , (2)B={y| 4≤y≤ 3} g/(x)=3x2 3>0 x< 1 或 x>1 ∴g(x)在[0,1]↓,[1,2]↑ ∴A={y| m2+4m 2≤y≤ m2+4m+2} 又 B≤A ∴

m 2 + 4m 2 ≤ 4
2 m + 4 m + 2 ≥ 3

解得 1 ≤ m ≤ 2 6 或 2 + 6 ≤ m ≤ 5

20. (1)AB=acos θ ,AC=asin θ 则 AP=xcos θ ,BP=(a x)cos θ

∴S1=

Rt△BPQ 中 (a x)cos θ sin θ =x A P N

1 2 a sin 2θ 4

设 PQ=x

1 2 2 a sin 2θ ∴x= 4 1 (1 + sin 2θ ) 2 2
(2)

1 S1 1 = sin 2θ + +1 S2 4 sin 2θ

θ ∈(0,

π
2











令 sin 2θ = t , t ∈ (0,1] ∴t=1 时,ymin=

1 1 y = t + + 1 在(0,1]↓ 4 t


9 π ,此时 θ = 4 4

S1 9 最小值为 S2 4

21. (1)图象关于原点对称,∴d=0,b=0 又过(3, 6), ∴9a+c= 2 f/(x)=3ax2+2bx+c=0 两根为 x1,x2,且|x1 x2|=4

V= 4b 2 12ac > 0 ac < 0 2b ∴ x1 + x2 = x1 + x2 = 0 3a c c x1 x2 = = 4 3a x1 x2 = 3a
又|x1 x2|2=

4b 2 4c = 16 ,c= 12a 9a 2 3a

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2 a = 3 ∴ b = 0 c = 8 d = 0
/ 2

∴f(x)=

2 3 x 8x 3

(2)f (x)=2x 8 f/(3)=10 ∴切线方程 10x y 36=0 (3)f(x)在[ 2,2]↓

32 32 32 32 ≤ f (2) ≤ f (2 cos α ) ≤ f (2) = ,同理 ≤ f (2sin β ) ≤ 3 3 3 3 64 ∴ | f (2coxα ) f (2sin β ) |≤ 3
22. (1)F(x)= ln( x 1 + ) +

1 a

a m x

F/(x)=

x 2 ax + a 1 1 x2 ( x 1 + ) a 1 ,1)(a 1,+ ∞ ) , ,减区间(1,a 1) a

当 a>2 时,F(x)增区间(1 当 a=2 时,F(x)增区间(

1 , +∞ ) 2 1 当 1<a<2 时,F(x)增区间 (1 , a 1), (1, +∞) ,减区间(a 1,1) a
当 a=1 时,F(x)增区间( 1, +∞ ) ,减区间(0,1) 当 0<a<1 时,F(x)增区间( 1 (2) b ln x >

1 , a 1 )(1,+ ∞ ) , ,减区间(a 1,0)(0,1) , a

x +m 2 1 当 x=1 时, m + < 0 2
当 1<x≤e 时,0<lnx≤1

∴m <

1 2

x +m ∴2 < b 对 b > 0 成立 ln x x +m x ∴2 ≤0 ∴ +m≤0 ln x 2 x ∴ m ≤ x ∈ (1, e] 成立 2

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∴m ≤

e 2 e 2

综上所述, m ≤

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