高中数学专题3.1 不等关系与不等式-学易试题君之K三关2017-2018学年高二数学人教版

第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 1.不等关系 不等关系主要有以下几种类型: (1)表示常量与常量之间的不等关系; (2)表示变量与常量之间的不等 关系; (3)表示函数与函数之间的不等关系; (4)表示一组变量之间的不等关系. 2.不等式的定义 ?、 ?、 ?、 ?) 表示不等关系的式子叫____________,如 a ? b , f ( x) ? g ( x) 等. 用不等号 (? 、 用“ ? ”或“ ? ”连接的不等式叫严格不等式,用“ ? ”或“ ? ”连接的不等式叫非严格不等式. 3.不等式的分类 绝对不等式 按成立 [来源:学§科§网] 无论用什么实数代替不等式中的字母都成立,如 x2 ? ?1 只有用某些实数代替不等式中的字母才能成立,如 x ? 1 [来源:学科网 ZXXK] 条件分 源:Zxxk.Com][来源:学§科§网 ] [来 条件不等式 矛盾不等式 按不等 号开口 同向不等式 无论用什么实数代替不等式中的字母都不能成立,如 | x |? 0 在两个不等式中,每一个不等式的左边都大于右边,或每一个 不等式的左边都小于右边,如 a ? b ? 1 与 m ? 2 n 在两个不等式中,一个不等式的左边大于右边,而另一个不等 方向分 异向不等式 式的左边小于右边,如 a ? b ? 1 与 m ? 2 n 4.a≤b 和 a≥b 的含义 不等式 a≤b a≥b 等价于 a 不大于 b a 不小于 b 读法 a 小于或等于 b a 大于或等于 b 含义 a<b 和 a=b 中有一个成立即可 a>b 和 a= b 中有一个成立即可 5.实数大小比较的依据 实数的特征: (1)任意实数的平方不小于 0; (2)任意两个实数都可以比较大小,反之,可以比较大小 的数一定是实数. 在数轴上,不同的点 A 与点 B 分别表示两个不同的实数 a 与 b,右边的点表示的数比左边的点表示的数 大,则点 A,B 在数轴上的表示如图所示: 由图可以看出 a,b 之间具有以下性质:如果 a-b 是正数,那么 a>b;如果 a-b 等于零,那么 a=b; 如果 a-b 是负数,那么 a<b.反过来也对. 这可以表示为 a-b>0 ? ____________;a-b=0 ? ____________;a-b<0 ? ____________. 注:“ ? ”的左边反映的是实数运算性质,右边反映的则是实数 a,b 的大小关系,合起来就是实数的 大小与实数运算之间的关系. 6.不等式的性质 性质 性质 1 (对称性)如果 a>b,那么 b<a;如果 b<a,那么 a>b .即 a>b ? b<a (传递性)如果 a>b,b>c,那么 a>c.即 a>b,b>c ? a>c 性质 2 如果 c<b,b<a,那么 c<a.即 c<b,b<a ? c<a (可加性)如果 a>b,那么 a+c>b+c.即 a>b ? a+c>b+c 性质 3 (推论:移项法则)如果 a+b>c,那么 a>c-b.即 a+b>c ? a>c-b (可乘性)如果 a>b,c>0,那么 ac>bc;如果 a>b,c<0,那么 ac<bc (同向可加性)如果 a>b,c>d,那么 a+c>b+d (同向同正可乘性)如果 a>b>0,c>d>0,那么 ac>____________ (可乘方性)如果 a ? b ? 0 ,那么____________(n ? N,n ? 1) (可开方性)如果 a ? b ? 0 ,那么____________(n ? N,n ? 2) 性质 4 性质 5 性质 6 性质 7 性质 8 K 知识参考答案: 2.不等式 5.a>b a=b a<b 6.bd a n ? bn n a? b n K—重点 K—难点 K—易错 用不等式(组)表示不等关系、比较两个代数式的大小、不等式的性质 不等式性质的应用(判断命题的真假、证明不等式、求代数式的取值范围) 忽略不等式性质成立的条件、对不等式的性质理解不够深刻 用不等式(组)表示不等关系 (1)常见的文字语言与数学符号之间的对应关系如下: 文字语言 数学符号 大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不小于 不大于 ? ? ? ? ? ? ? ? (2)用不等式(组)表示不等关系的解题思路:先弄清题意,分清是常量与常量、变量与变量、变量与常 量、还是函数与函数之间的不等关系;然后类比等式的建立找到不等关系,选准不等号,将量与量之间用 不等号连接. 某铁矿车队有 5 辆载重为 10 t 的 A 型卡车和 8 辆载重为 6 t 的 B 型卡车, 且有 11 名驾驶员, 此车 B 型卡车每辆每天可往返 9 次. 队每天至少要运 450 t 矿石至冶炼厂. 已知 A 型卡车每辆每天可往返 6 次, 假 设每天派出 A 型卡车 x 辆,B 型卡车 y 辆,试写出满足上述所有不等关系的不等式组. 【答案】见解析. 【名师点睛】不等式是不等关系的符号表示,在用不等式表示不等关系时,应特别注意能否取等号,像本 题中“至少”包含相等的情况,应该取等号.将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中 关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系,同 时要保证不重、不漏,尤其要检验实际问题中变量的取 值范围.学科 &网 从下列实际问题中提炼出相应的不等式: (1)向一杯糖水里加点糖,糖水变甜; (2)把 A 糖水(淡)与 B 糖水(浓)混合到一起,得到的 C 糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】(1)设糖水 b 克,含糖 a 克,易知浓度为 提炼出的不等式:若 b>a>0,m>0,则 a a?m ,加入 m 克糖后的浓度为 . b b?m a a?m < . b b?m (2)设淡糖水 b1 克,含糖 a1 克,易

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