2-1 数列的概念与简单表示法讲-2017-2018学年高二数学同步课堂 含解析 精品

【教学目标】 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(通项公式、列表、递推公式、图像法) . 2.通过对简单数列的观察与分析归纳,认识数列是反映自然的基本数学模型. 3.能简单地总结数列的规律与表示方法,理解数列与函数的关系. 4、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识. 5、激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 【教学过程】 知识点一 数列及其有关概念 思考 1 数列 1,2,3 与数列 3,2,1 是同一个数列吗? 答案 不是.顺序不一样. 思考 2 数列的记法和集合有些相似,那么数列与集合的区别是什么? 答案 数列中的数讲究顺序,集合中的元素具有无序性;数列中可以出现相同的数,集合中 的元素具有互异性. 梳理 (1)按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列 中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项), 排在第二位的数称为这个数列的第 2 项……排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项.+网 (2) 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}. 知识点二 通项公式 思考 1 数列 1,2,3,4,…的第 100 项是多少?你是如何猜的? 答案 100.由前四项与它们的序号相同,猜第 n 项 an=n,从而第 100 项应为 100. 梳理 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫做 这个数列的通项公式. 思考 2 数列的通项公式 an=f(n)与函数解析式 y=f(x)有什么异同? 答案 如图,数列可以看成以正整数集 N (或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数 an * =f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 不同之处是定义域,数列中的 n 必须是从 1 开始且连续的正整数,函数的定义域可以是任意 非空数集. 知识点三 数列的分类 思考 对数列进行分类,可以用什么样的分类标准? 答案 (1)可以按项数分类;(2)可以按项的大小变化分类. 梳理 (1)按项数分类,项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列. (2)按项的大小变化分类,从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;各项相等的数列叫做常数列;从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列. 类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式 例 1 写出下列数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 1 1 (1)1,- , ,- ; 2 3 4 1 9 25 (2) ,2, ,8, ; 2 2 2 (3)9,99,999,9 999; (4)2,0,2,0. 解 (1)这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负, ?-1? 所以它的一个通项公式为 an= n+1 n ,n∈N . * 1 4 9 16 25 (2)数列的项, 有的是分数, 有的是整数, 可将各项都统一成分数再观察: , , , , , …, 2 2 2 2 2 所以它的一个通项公式为 an= ,n∈N . 2 (3)各项加 1 后,变为 10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为 10 ,可得原数列的一 个通项公式为 an=10 -1,n∈N . (4)这个数列的前 4 项构成一个摆动数列,奇数项是 2,偶数项是 0,所以,它的一个通项公 式为 an=(-1) n+1 n * n2 * n +1,n∈N . * 类型二 数列的通项公式的应用 ?-1? ?n+1? * 例 2 已知数列{an}的通项公式 an= ,n∈N . ?2n-1??2n+1? (1)写出它的第 10 项; 2 (2)判断 是不是该数列中的项. 33 n 知识点四 递推公式 思考 1 (1)已知数列{an}的首项 a1=1,且有 an=3an-1+2(n>1,n∈N ),则 a4=________. (2) 已知数列{an}中,a1=a2=1,且有 an+2=an+an+1(n∈N ),则 a4=________. 答案 (1)53 (2)3 梳理 如果数列{an}的第 1 项或前几项已知, 并且数列{an}的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前 几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.递推公式 也是数列的一种表示方法. 思考 2 我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列, 那么通项公式和递推公式有什么不 同呢? 答案 通项公式和递推公式都是表示数列的方法.已知数列的通项公式,可以直接求出任意 * * 一项;已知递推公式,要求某一项,则必须依次求出该项前面所有的项. 知识点五 数列的表示方法 思考 以数列 2,4,6,8,10,12,…为例,你能用几种方法表示这个数列? 答案 ①通项公式法:an=2n. ? ?a1=2, ? ?an+1=an+2,n∈N . * ②递推公式法:? ③列表法: n an 1 2 2 4 3 6 … … k 2k … … ④图象法: 梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法. 类型三 数列的函数特性 例 1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形,在四个三角形图案中,着色的小三角形的个数 依次构成一个数列的前 4 项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的 图象. 解 如题图,这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为 1,3,9,27.则所求数列的前 4 项都是 3 的指数幂,指数为序号减 1.所以,这个数列的一个通项公式是 an=3 系中的图象为一些孤立的点(如图所示). n -1 .在直角坐标 类型四 数列的递推公式 a1=1, ? ?

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