山东省临沂市重点中学2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题理

山东省临沂市重点中学 2016-2017 学年高二数学上学期期末考试试题 理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选 择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和 2B 铅笔 分别涂写在答题卡上; 2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交,只交答题卡. 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知命题 p : ?a ? R ,且 a ? 0, a ? 断正确的是 A. p 是假命题 B. q 是真命题 C. p ? (?q) 是真命题 D. (?p) ? q 是真命题

1 ? 2 ,命题 q : ?x0 ? R , sin x0 ? cos x0 ? 3 ,则下列判 a

2.设 △ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,若 b ? c ? 2a , 3sin A ? 5sin B ,则角 C 等 于 A.

? 3

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

5? 6

3.在 △ ABC 中 a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边, f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? 1 ,且 f ( A) ? 2 , b ? 1 ,

△ ABC 的面积为

a 3 ,则 的值为 sin A 2
B.2 C. 2 7 D. 4

A. 2 3

4.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项的和 a1 ? 1 , A.

S2017 S2015 ? ?1 2017 2015

, 则数列 ?

?1? ? 的前 2017 项和为 ? Sn ?

2017 2017 1 1 B. C. D. 1009 2018 2017 2018 2 2 ? P 到x轴 5. 已知 F1 , F2 为双曲线 C : x ? y ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, ?F 1PF 2 ? 60 ,则
的距离为 A.

3 2

B.

6 2

C. 3

D. 6

2 2 2 6.已知二次不等式 ax ? 2 x ? b ? 0 解集为 {x | x ? ? } ,则 a ? b ? a ? b 的最小值为

1 a

A.0

B.1

C.2

D.4

1

7.已知直线 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) 与抛物线 C : y 2 ? 8x 相交于 A、B 两点, F 为抛物线 C 的焦点, 若 |FA|=2|FB| ,则 k ? A.

1 2

B.

2 2
?

C.

2 3

D.

2 2 3

8.直三棱柱 A1B1C1 ? ABC ,?BAC ? 90 , 点 D1 ,F 1 分别是 A 1B 1 ,AC 1 1 的中点,BC ? CA ? CC1 , 则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是 A.

1 2

B.

30 10

C.

30 15

D.

15 10

9.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 ? ?10, a3 ? a7 ? ?8 ,当 Sn 取得最小值时, n 的值为 A.5 B.6 C.7 D.6 或 7

10.四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底 面是平行四边形,

??? ? ? ???? ? M 是 AC 与 BD 的交点.若 AB ? a , AD ? b , ???? ? ????? AA1 ? c ,则 C1M 可以表示为
1? 1? 1? ? c B. ? a ? b ? c 2 2 2 ? ? ? ? 1 1 1 1? ? a? b?c C. ? a ? b ? c D. 2 2 2 2 11.已知对任意的 a ?[?1,1] ,函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值总大于 0,则 x 的取值范围是
A. a ? b ? A. x ? 2 或 x ? 3 B. 1 ? x ? 3 C. 1 ? x ? 2 D. x ? 1 或 x ? 3

?

?

?x ? 1 ? 12.已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ? x ? 1 ,目标函数 z ? x ? y ,则当 z ? 3 时, x 2 ? y 2 的取值范 ?x ? y ? 4 ?
围是 A. [

3 2 , 5] 2

B. [

3 2 ,5] 2

C. [ ,5]

9 2

D. [ 5, ]

9 2

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题纸给定的横线上. 13.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn , S 4 ? ?a4 ,则 ? 为 .

14.已知 △ ABC 中, AB ? 3 , BC ? 1 , sin C ? 3 cos C ,则 △ ABC 的面积为_____ . 15.如图所示,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC ,

2

AB ? BC ? AA1 , ?ABC ? 90? ,点 E , F 分别是棱 AB , BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成
角的大小是 16.已知椭圆 C : .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,椭圆 C 与过原点的直线相交于 A, B 两点, a 2 b2
?

连接 AF , BF ,若 | AB |? 10 , | AF |? 6 , ?AFB ? 90 ,则 C 的离心率 e =________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文 字说明、证明过程 17. (本小题满分 12 分)
2 2 设命题 p : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q : 实数 x 满足

2 ? ? x ? x ? 6 ? 0, ? 2 ? ? x ? 2 x ? 8 ? 0.

(1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c 且 1 ? (1)求角 A ; (2)若 a ? 3 ,试判断 bc 取得最大值时 △ ABC 的形状. 19.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? (?1)
n ?1

tan A 2c ? . tan B b

4n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an?1
P

20.(本题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 中底面四边形 ABCD 是正方形, 各侧面都是边长为 2 的正三角形, M 是棱 PC 的中点.建 立空间直角坐标系,利用空间向量方法解答以下问题:
D

M

(1)求证: PA // 平面BMD ; (2)求二面角 M ? BD ? C 的平面角的大小. 21. (本小题满分 12 分)
A B

C

3

学校食堂定期从某粮店以每吨 1500 元的价格买大米, 每次购进大米需支付运输劳务费 100 元, 已知食堂每天需要大米 1 吨,贮存大米的费用为每吨每天 2 元,假定食堂每次均在用完大米的当 天购买. (1)该食堂每多少天购买一次大米,能使平均每天所支付的费用最少? (2)粮店提出价格优惠条件:一次购买量不少于 20 吨时,大米价格可享受九五折优惠(即 是原价的 95%),问食堂可否接受此优惠条件?请说明理由. 22(本小题满分 10 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2
D

y

的离心率为

2 ,短轴端点与椭圆的两个焦点所构成 2

的三角形面积为 1,过点 D(0, 2) 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点. (1)求椭圆 C 的方程 ; (2)是否存在定点 E (0,
F O

A

x B l

??? ? ??? ? 11 ) ,使 AE ? BE 4

恒为定值.若存在求出这个定值; 若不存在, 说明理由.

高二理科数学试题答案 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

CBBAB ADBDC DC
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.

15 8

14.

3 2

15. 60

?

16.

5 7

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.解: (1)由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,
2 2 2 2 ∵ a ? 0 ,故不等式 x ? 4ax ? 3a ? 0 的解为 a ? x ? 3a .……… ……1 分

当 a ? 1 时, 1 ? x ? 3 ,即 p 为真时,实数 x 的取 值范围是 1 ? x ? 3 ;……2 分

4

? x 2 ? x ? 6 ? 0, ? 由? 2 解得 2 ? x ? 3 ,…………………………………………3 分 ? ? x ? 2 x ? 8 ? 0.
即 q 为真时,实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 .………………………………4 分 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,因此,实数 x 的取值范围 是 2 ? x ? 3 .…6 分 (2)由 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,得 q 是 p 的充分不必要条件.……8 分 ∴ (2,3]

?a ? 2, 解得 1 ? a ? 2 . (a,3a) ,则有 ? ?3a ? 3,
tan A 2c ? ,∴ sin B cos A ? sin A cos B ? 2sin C cos A ……2 分 tan B b

因此实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 .……………………………………………12 分 18.解: (1)∵ 1 ?

∴ sin( A ? B) ? 2sin C cos A ,∴ cos A ?
?

1 ,……………………………………4 分 2

∴ A ? 60 .………………………………………………………………………6 分

1 b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,即 b2 ? c2 ? 3 ? bc ,…………8 分 (2)∵ cos A ? ,∴ 2 2bc 2
∴ b ? c ? bc ? 3 ? 2bc ,
2 2

∴ bc ? 3 (当且仅当 b ? c 时取等号).………………………………………10 分 ∴当 bc 取得最大值时, b ? c ,而 A ? 60 ,
?

∴ △ ABC 为正三角形.…………………………………………………………12 分 19.解: (1)由题意知 d ? 2, S1 ? a1 ,故 S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d , ∵ S1 , S2 , S4 成等比数列,∴ S22 ? S1S4 ,解得 a1 ? 1 , ∴ an ? 2n ? 1.………………………………………………………………………6 分 (2)由 an ? 2n ? 1代入得 bn ? (?1)
n ?1

1 1 4n n ?1 ? ) ,…8 分 = (?1) ( 2n ? 1 2n ? 1 an an?1 1 5 1 7 1 1 1 1 ? )?( ? ) 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

当 n 为偶数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( =

1 3

1 1 3 5

2n .………………………………………………………………………10 分 2n ? 1

当 n 为奇数时,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
=1 ?

1 2n ? 2 ? , 2n ? 1 2 n ? 1
5

? 2n , n为偶数, ? ? 2n ? 1 故 Tn ? ? ……………………………………………………12 分 2 n +2 ? , n为奇数. ? ? 2n +1
20. 解:连结 AC 、 BD 交于点 O ,连结 OP .………………………………1 分 ∵四边形 ABCD 是正方形,∴ AC ? BD ∵ PA ? PC ,∴ OP ? AC , 同理 OP ? BD ,……………………………………………………………………2 分 以 O 为原点, OA 、 OB、 OP 分别为 x, y, z 轴的正方向, 建立空间直角坐标系 O ? xyz , (1) P(0,0, 2 ), A( 2 ,0,0), B(0, 2 ,0), M (?

??? ? ??? ? ??? ?

2 2 ,0, ) ,………………3 分 2 2 2 2 ,0, ) ,………………4 分 2 2

PA ? ( 2 ,0,? 2 ), OB ? (0, 2 ,0), OM ? (?
平面 BMD 的法向量为 n ? (1,0,1)

??? ? ? PA ? n ? 0 PA ? n ,……………………5 分
∴ PA ∥平面 BMD .………………… 6 分 (2)平面 ABCD 的法向量为 a ? (0,0,1) ……………7 分 平面 MBD 的法向量为 b ? ( x, y,1) ,

? 2y ? 0 ?y ? 0 ? 则? 即 ,………………… ………………………………8 分 ? 2 2 x? ? 0 ?x ? 1 ?? 2 ? 2
∴ b ? (1,0,1) ………………… ………………………………………………………9 分 二面角 M ? BD ? C 的平面角为 ? , 则 cos? ?

1 2 ? , ? ? 45 ,………………… ……………………………11 分 ? 2 2

? ∴二面角 M ? BD ? C 的平面角 45 .……………………………………………12 分

21.解:(1)设该食堂每 x 天购买一次大米,则每次购买 x 吨, 设平均每天所支付的费用为 y 元,………………………………………………………………………………1 分

6

1 100 [1500 x ? 100 ? 2(1 ? 2 ? ? ? x)] = x ? ? 1501 ? 1521 ,………………4 分 x x 100 当且仅当 x ? ,即 x ? 10 时取等号.……………………………………………5 分 x
则y? 故该食堂每 10 天购买一次大米,能使平均每天支付的费用最少.…………………6 分 (2) y ? =x?

1 [1500 x ? 0.95 ? 100 ? 2(1 ? 2 ? ? ? x)] x

100 ? 1426( x ? 20) .…………………………………………………………10 分 x 100 ? 1426 ? 1451 ,而 1451 ? 1521 , 函数 y 在 [20, ??) 上为增函数,所以 y ? 20 ? 20
故食堂可接受粮店的优惠条件.……………………………………………………… 12 分

22.解:(1)根据

c 2 ? , bc ? 1 ,……………………………………………1 分 a 2

解得 a ? 2, b ? c ? 1 ,………………………………………………………3 分

x2 ? y 2 ? 1 .…………………………………………………4 分 椭圆 C 的方程为 2

? x2 ? ? y2 ? 1 (2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , ? 2 , (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 , ? y ? kx ? 2 ?
则 x1 ? x2 ? ?

8k 6 , x1 x2 ? .………………… …………6 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2

2k 2 ? 4 又 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? ? , 2k 2 ? 1
y1 ? y2 ? (kx1 ? 2) ? (kx2 ? 2) ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? ??? ? ? 11 ??? 11 EA ? ( x1 , y1 ? ), EB ? ( x2 , ? y2 ) , 4 4 4 2k ? 1
2

.……………8 分

??? ? ??? ? 6 121 11 4 2k 2 ? 4 121 11 EA ? EB ? x1 x2 ? ? ( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 16 4 2k ? 1 16 4 2k ? 1 2k ? 1

?

105(2k 2 ? 1) 105 . ? 16(2k 2 ? 1) 16
??? ? ??? ?

故 AE ? BE 恒为定值

105 . ………………………10 分 16

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