高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4_图文

三 简单曲线的极坐标方程 1.了解极坐标方程的意义. 2.掌握直线和圆的极坐标方程. 3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题. [知识链接] 1.曲线的极坐标方程是否唯一? 提示 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,所以曲 线上的点的极坐标有多种表示,曲线的极坐标方程不唯一. 2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化,若已知一曲线 的极坐标方程是ρ=2cos θ,那么该曲线对应怎样的几何图形? 提示 由ρ=2cos θ得ρ2=2ρcos θ,即x2+y2=2x,即标准方程 为(x-1)2+y2=1,曲线为以(1,0)为圆心,半径为1的圆. [预习导引] 1.曲线与方程的关系 在平面直角坐标系中,平面曲线 C 可以用方程 f(x , y) = 0 表 示,曲线与方程满足如下关系: (1)曲线C上 点的坐标 都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为 坐标的点 都在曲线C上. 2.曲线的极坐标方程 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极 坐标中至少有一个满足方程 f(ρ,θ)=0 , 并 且 坐 标 适 合方程 f(ρ,θ)=0 的点都在曲线C上,那么方程 f(ρ,θ) = 0叫做曲线C的极坐标方程. 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点,半径 为 r 的圆 图形 极坐标方程 ρ=r (0≤θ<2π ) 圆心为(r,0), 半径 为 r 的圆 ρ=2rcos θ ? π ? ?- 2 ? π? ? ≤θ ≤ 2 ? ? ? π ? 圆心为?r, 2 ? ? ? ?,半 ? ρ=2rsin θ (0≤θ<π ) 径为 r 的圆 过极点,倾斜角为 α 的直线 θ=α或θ=α+π pcos θ=a ? π ? ?- 2 ? 过点(a,0),与极轴 垂直的直线 π? ? <θ < 2 ? ? ? π ? 过点?a, 2 ? ? ? 与极轴 ?, ? psin θ=a (0<θ<π ) 平行的直线 要点一 圆的极坐标方程 ? 3π ? ? ? 例 1 求圆心在 C?2, 处并且过极点的圆的极坐标方程,并 ? 2 ? ? ? 5π ? ? ? 判断点?-2,sin ?是否在这个圆上. 6 ? ? 解 如图,由题意知,圆经过极点 O,OA 为其 一条直径,设 M(ρ,θ )为圆上除点 O,A 以外 的任意一点, 则|OA|=2r, 连接 AM, 则 OM⊥MA. 在 Rt△OAM 中,|OM|=|OA|cos∠AOM,即 ρ= ?3π ? ? ? 2rcos? ∴ρ =-4sin θ , 经验证, 点(0, - θ ?, ? 2 ? ? 3π ? ? ? 0),A?4, 的坐标满足上式.∴满足条件的圆 2 ? ? ? 的极坐标方程为 ρ=-4sin θ . 5π 1 5π ∵sin 6 =2,∴ρ =-4sin θ =-4sin 6 =-2, ? 5π ? ? ? ∴点?-2,sin ?在此圆上. 6 ? ? 规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤:(1)建 立适当的极坐标系(本题无需建);(2)在曲线上任取一点M(ρ, θ);(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式;(4)用极坐标(ρ, θ)表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方程;(5)证明所得的 方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可). 2.求曲线的极坐标方程,关键是找出曲线上的点满足的几何条 件,并进行坐标表示. 跟踪演练 1 曲线 C的直角坐标方程为 x2 + y2 +2x = 0,以原点为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标 方程为________. 解析 直角坐标方程x2+y2-2x=0可化为x2+y2=2x,将ρ2= x2+y2,x=ρcos θ代入整理得ρ=2cos θ. 答案 ρ=2cos θ 要点二 射线或直线的极坐标方程 例2 如图,在极坐标系中,直线 l 过 ? π ? M?3, 2 ? ? ? ?且该直 ? π 线与极轴的正方向成 ,求此直线 l 的极坐标方程. 4 设直线上任意一点为 P(ρ,θ ),在△OMP 中 π π 3 π ∠OMP = + = π ,∠MPO =θ- .根据正弦定理得 2 4 4 4 ? ρ π? 3 ? ? 3 2 = ? θ - ?= 2 . ?,即 ρsin? 4? 3π π ? ? ? sin?θ - ? sin 4 4? ? 解 法一 法二 设直线上任意一点为 P(ρ,θ ),点 M 的直角坐标为(0,3), π 直线 MP 的倾斜角为 4 ,∴直线 l 为 y=x+3,化直角坐标方程为 ? π? ? ? 3 2 极坐标方程为 ρsin θ =ρcos θ +3,∴ρ sin?θ - ?= 2 . 4? ? 规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所 满足的等式,从而集中条件建立了以ρ,θ为未知数的方程; 法二先求出直线的直角坐标方程,然后通过直角坐标向极 坐标的转化公式间接得解,过渡自然,视角新颖,不仅优 化了思维方式,而且简化了解题过程. π 跟踪演练 2 求以 A(1, 0)为端点, 倾斜角为 4 且在极轴上方的射 线的极坐标方程. 解 ρ 由题意,设 M(ρ,θ )为射线上任意一点,根据例题可知, ?π sin? ?4 ? ? ? -θ?= ? 2 ,化简得 ρ(cos θ -sin θ )=1. 2 经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程. 因此,以 A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为 ρ (cos θ -sin θ ? )=1? ?其中ρ≥0,0≤θ ? π? ? < 4 ?. ? 要点三 极坐标方程与直角坐标方程的互化 例3 若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点, 极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系. (1)求曲线 C 的直

相关文档

高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4
高中数学第一讲坐标系3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4
高中数学第一讲坐标系1.3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_
高中数学第一章坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4
2018版高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4
高中数学第一章坐标系3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4
新人教A版选修4高中数学第1章坐标系三简单曲线的极坐标方程课件
电脑版