高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4


三 简单曲线的极坐标方程 1.了解极坐标方程的意义. 2.掌握直线和圆的极坐标方程. 3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题. [知识链接] 1.曲线的极坐标方程是否唯一? 提示 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,所以曲 线上的点的极坐标有多种表示,曲线的极坐标方程不唯一. 2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化,若已知一曲线 的极坐标方程是ρ=2cos θ,那么该曲线对应怎样的几何图形? 提示 由ρ=2cos θ得ρ2=2ρcos θ,即x2+y2=2x,即标准方程 为(x-1)2+y2=1,曲线为以(1,0)为圆心,半径为1的圆. [预习导引] 1.曲线与方程的关系 在平面直角坐标系中,平面曲线 C 可以用方程 f(x , y) = 0 表 示,曲线与方程满足如下关系: (1)曲线C上 点的坐标 都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为 坐标的点 都在曲线C上. 2.曲线的极坐标方程 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极 坐标中至少有一个满足方程 f(ρ,θ)=0 , 并 且 坐 标 适 合方程 f(ρ,θ)=0 的点都在曲线C上,那么方程 f(ρ,θ) = 0叫做曲线C的极坐标方程. 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点,半径 为 r 的圆 图形 极坐标方程 ρ=r (0≤θ<2π ) 圆心为(r,0), 半径 为 r 的圆 ρ=2rcos θ ? π ? ?- 2 ? π? ? ≤θ ≤ 2 ? ? ? π ? 圆心为?r, 2 ? ? ? ?,半 ? ρ=2rsin θ (0≤θ<π ) 径为 r 的圆 过极点,倾斜角为 α 的直线 θ=α或θ=α+π pcos θ=a ? π ? ?- 2 ? 过点(a,0),与极轴 垂直的直线 π? ? <θ < 2 ? ? ? π ? 过点?a, 2 ? ? ? 与极轴 ?, ? psin θ=a (0<θ<π ) 平行的直线 要点一 圆的极坐标方程 ? 3π ? ? ? 例 1 求圆心在 C?2, 处并且过极点的圆的极坐标方程,并 ? 2 ? ? ? 5π ? ? ? 判断点?-2,sin ?是否在这个圆上. 6 ? ? 解 如图,由题意知,圆经过极点 O,OA 为其 一条直径,设 M(ρ,θ )为圆上除点 O,A 以外 的任意一点, 则|OA|=2r, 连接 AM, 则 OM⊥MA. 在 Rt△OAM 中,|OM|=|OA|cos∠AOM,即 ρ= ?3π ? ? ? 2rcos? ∴ρ =-4sin θ , 经验证, 点(0, - θ ?, ? 2 ? ? 3π ? ? ? 0),A?4, 的坐标满足上式.∴满足条件的圆 2 ? ? ? 的极坐标方程为 ρ=-4sin θ . 5π 1 5π ∵sin 6 =2,∴ρ =-4sin θ =-4sin 6 =-2, ? 5π ? ? ? ∴点?-2,sin ?在此圆上. 6 ? ? 规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤:(1)建 立适当的极坐标系(本题无需建);(2)在曲线上任取一点M(ρ, θ);(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式;(4)用极坐标(ρ, θ)表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方程;(5)证明所得的 方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可). 2.求曲线的极坐标方程,关键是找出曲线上的点满足的几何条 件,并进行坐标表示. 跟踪演练 1 曲线 C的直

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