2019-2020学年高中数学 第二章 第15课时 指数函数(3)教案 苏教版必修1.doc

2019-2020 学年高中数学 第二章 第 15 课时 指数函数(3)教案 苏 教版必修 1
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………………………… 经过 x 年,剩留量 y ? 0.84x ( x ? 0) 点评:先考虑特殊情况,然后抽象到一般结论.

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剩留量问题 例 2:某种储蓄按复利计算利息,若本金 为 a 元,每期利率为 r ,设存期是 x , 本利和(本金加上利息)为 y 元. (1)写出本利和 y 随存期 x 变化的函数 关系式; (2) 如果存入本金 1000 元, 每期利率为 2.25%, 试计算 5 期后的本利和. 分析: 复利要把本利和作为本金来计算下一年的 利息. 【解】 (1)已知本金为 a 元,利率为 r 则: 1 期 后 的 本 利 和 为

指 数 函 数 应 用

复利问题 增长(降低)率问题 选用函数模拟数据

学习要求
1.熟练掌握指数函数的图象和性质; 2.能运用指数函数的图象和性质解决一些 实际问题,体会指数函数是一类重要的函 数模型; 3.培养学生从特殊到一般的抽象、归纳的 能力以及分析问题、解决问题的能力. 【课堂互动】

y ? a ? a ? r ? a(1 ? r )
2 期 后 的 本 利 和 为

自学评价
1.在实际问题中,常常遇到有关平均增长 率的问题,如果原来产值的基础数为 N , 平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值

y ? a(1 ? r ) ? a(1 ? r )r ? a(1 ? r )2
…………………………… x 期 后 的 本 利 和 为

y ,可以用公式 y?
表示.

N ?1 ? p ?

x

y ? a(1 ? r ) x , x ? N ?
(2)将 a ? 1000, r ? 2.25%, x ? 5 代入上

【精典范例】 例 1:某种放射性物质不断变化为其 他物质,每经过一年,这种物质剩 留的质量是原来的 84%.写出这种 物质的剩留量关于时间的函数关 系式. 【解】 设该物质的质量是 1,经过 x 年后剩 留量是 y . 经 过 1 年 , 剩 留 量

式得

y ? 1117.68 (元).
答:5 期后的本利和为 1117.68 元 点评:审清题意是求函数关系式的关键;同时要 能从具体的、特殊的结论出发,归纳、总结出一 般结论.

y ? 1 ? 0 . 8? 4

例 3: 2000 2002 年,我国国内生产总 值年平均增长 7.8%左右.按照这个增 长速度,画出从 2000 年开始我国年国 经 过 2 年 , 剩 留 量 内生产总值随时间变化的图象, 并通过 2 y?0 . 8 ? 4 0? . 8 4 0 . 8 4 图象观察到 2010 年我国国内生产总值

0 . 8 4

约为 2000 年的多少倍(结果取整 数) . 【解】设 2000 年我国的年生产总值 为 a ,则年生产总值 y 随时间

子元件的单件成本 y 随年数 x 变化的函数关系 式是

y ? a(1 ? p%) x ( x ? m, x ? N * ) .

x (年)的函数关系可
表示为

y ? a ? (1 ? 0.078) x ? a ?1.078x , x ? N ?
图象为

2. 2000 年 10 月 18 日,美国某城市的日报以醒 目标题刊登了一条消息:”市政委员会今天宣布: 本市垃圾的体积达到 50000m ”,副标题是:” 垃圾的体积每三年增加一倍”.如果把三年作为 垃圾体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾体 积 V (m3 ) 与垃圾体积的加倍的周期( 3 年)数 n 的关系的表格,并回答下列问题: 周期数 n
3 体积 V m

3

? ?

由图象可见经过 10 年国内生产总值约 2 倍. 或当 x ? 10 时

0
1
2


50000 ? 20
50000 ? 21 50000 ? 22


y ? a ?1.07810 ? 2a ,
答 :2010 年我国国内生产总值约 为 2000 年的 2 倍. 点评:建立函数关系是解决实际问题的重要 方法,同时利用函数图象求方程的近似解是 常用方法.

n

50000 ? 2n

(1) 设想城市垃圾的体积每三年继续加倍 , 问 24 年后该市垃圾的体积是多少? (2) 根据报纸所述的信息,你估计 3 年前垃圾的 体积是多少? (3) 如果 n ? ?2 ,这时的 n,V 表示什么信息?

追踪训练一 1.(1) 一电子元件厂去年生产某种规格的 电子元件 a 个,计划从今年开始的 m 年内, 每年生产此种规格电子元件的产量比上一 年增长 p% , 则此种规格电子元件的年产 量 y 随年数 x 变化的函数关系式为

(4) 写出 n 与 V 的函数关系式,并画出函数图象 (横轴取 n 轴); (5) 曲线可能与横轴相交吗?为什么? 解:(1)由于垃圾的体积每 3 年增加 1 倍, 24 年后 即 8 个周期后, 该城市垃圾的体积是

y ? a(1 ? p%) x ( x ? m, x ? N * )

.

50000 ? 28 ? 12800000(m3 ) .
(2) 根据报纸所述的信息,估计 3 年前垃圾的体

(2)一电子元件厂去年生产某种规格的电 子元件的成本是 a 元/个, 计划从今年开始 的 m 年内 , 每年生产此种规格电子元件的 单件成本比上一年下降 p% ,则此种规格电

积是 50000 ? 2

?1

? 25000(m3 ) .

(3) 如果 n ? ?2 , 这时的 n 表示 6 年前 , V 表示 6 年前的垃圾. (4) n 与 V 的函数关系式是 V ? 50000 ? 2 ,
n

图象如图

(2)若选用 y ? a ? b x ? c

?a ? b ? c ? 1 ? 2 ?a ? b ? c ? 1.2 ?a ? b3 ? c ? 1.3 ?

? a ? ?0.8 ? 解得 ?b ? 0.5 ?c ? 1.4 ?

1 ? y ? ?0.8 ? ( ) x ? 1.4 2
当 x ? 4 时, y ? 1.35 (万件) (5)对任意整数 n ,有 2 ? 0 ,所以
n

由(1)(2)可得选用 y ? a ? b x ? c 较好.

V ? 50000 ? n2 ? ,曲线不可能与横轴相 0
交. 【选修延伸】 一、指数函数与二次函数的选择 例 4: 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生 产某种产品的数量分别是 1 万件、 1.2 万件、1.3 万件,为了估测以后 每个月的产量,以这三个月的产品 数量为依据.用一个函数模拟该产 品的月产量 y 与月份的关系,模拟 函数可以选用二次函数或 追踪训练二 1.某人承包了一片荒山,承包期限为 10 年, 准备栽种 5 年可成材的树木。该树木从树苗 到成材期间每年的木材增长率为 18% ,以后 每年的木材增长率为 10% ,树木成材后,既 可出售树木,重栽新树苗,也可让其继续生 长至承包期满。问:哪一种方案可获得较多 的成材木材量?(参考数据: 1.1 ? 1.61 ) .
5

解:设新树苗的木材量为 Q , ①若连续生长 10 年,木材量为

y ? a ? b x ? c ( 其 中 a, b, c 为 常
数) .已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件, 请问用哪个函数作为模 拟函数较好并说明理由. 【解】 (1) 若 选 用 二 次 函 数 , 则 可 设 为

N ? Q(1 ? 18%)5 (1 ? 10%)5 ,
②生长 5 年重栽新树苗,木材量为

M ? 2Q(1 ? 18%)5 ,


y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
由条件可得:

M 2Q(1 ? 18%)5 ? N Q(1 ? 18%)5 (1 ? 10%)5


?a ? b ? c ? 1 ? ? 4a ? 2b ? c ? 1.2 ?9a ? 3b ? c ? 1.3 ? ?a ? ?0.05 ? 得: ?b ? 0.35 ?c ? 0.7 ?

?

2 2 ? ?1. 5 1.1 1.61

∴M ? N , 生长 5 年重栽新树苗可获得较大的木材量.

? y ? ?0.05x2 ? 0.35x ? 0.7
当 x ? 4 时, y ? 1.3 (万件)

学生质疑

教师释疑


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