18年高中数学黄金100题系列第72题与圆有关的最值问题理

内部文件,版权追溯 第 72 题 I.题源探究·黄金母题 【 例 与圆有关的最值问题 精彩解读 1 】 已 知 圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 25 , 直 线 2 2 【试题来源】人教 A 版必修 2P144B 组 T6. 【母题评析】本题考查圆的有关最值问题,考 查考生的分析问题、解决问题的能力. 【思路方法】结合圆的有关几何性质解题. l : ? 2m ?1? x ? ? m ?1? y ? 7m ? 4 ? 0 , m 为任意实数. (1)求证:直线 l 恒过定点; (2)判断直线 l 被圆截 C 得的弦何时最长、何时最短?并求截 得的弦长最短时 m 的值以及最短长度. 【答案】 (1) ?3 ,1? ; (2) ? 3 ,4 5. 4 【 解 析 】( 1 ) 直 线 l 的 方 程 经 过 整 理 得 ? 2x ? y ? 7? m ? ? x ? y ? 4? ? 0 .由于 m 的任意性,于是有 ?2 x ? y ? 7 , ?x ? 3 , 解此方程组,得 ? ,即直线 l 恒过定点 ? ?x ? y ? 4 . ?y ?1 D ?3 ,1? . (2) 因为直线 l 恒过圆 C 内一点 D , 所以当直线 l 经过圆心 C 时 被截得的弦最长,它是圆的直径;当直线 l 垂直于 CD 时被截得 的 弦 长 最 短 . 由 C ?1, 2? , D ?3 ,1? , 可 知 直 线 CD 的 斜 率 为 1 kCD ? ? ,故当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时,直线 l 的斜率 2 2m ? 1 3 ? 2 ,解得 m ? ? ,此时直线 l 的方程为 为 2,于是有 ? m ?1 4 y ?1 ? 2 ? x ? 3? ,即 2 x ? y ? 5 ? 0 。 又 CD ? ?1 ? 3? ? ? 2 ?1? 2 2 最短弦长为 2 25 ? 5 ? 4 5 。 直线 ? 5, 4 l 被圆 C 截得的弦最短时 m 的值为 ? 3 ,最短长度是 4 5 。 II.考场精彩·真题回放 【例 2】 【2017 高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中,点 【命题意图】本类题主要考查点与圆、直线与 圆、 圆与圆位置关系, 以及考查逻辑思维能力、 A? ?12,0? , B ? 0,6? ,点 P 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 50 上.若 1 PA ? PB? 20 ,则点 P 的横坐标的取值范围是 ? 【答案】 ? ? ?5 2,1? 【解析】不妨设 P ? x0 , y0 ? ,则 x0 ? y0 ? 50 ,且易知 2 2 . 运算求解能力、数形结合的能力、方程思想的 应用. 【考试方向】这类试题考查根据给定直线、圆 方程判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关 系,同时考查通过数形结合思想、充分利用圆 的几何性质解决圆的切线、圆的弦长等问 题.在考查形式上,主要要以选择题、填空题 为主,也有时会出现在解答题中,中档题. 【难点中心】 1.直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离 d 与半径 长 r 的大小关系来判断. ? x0 ? ? ? ?5 2,5 2 ? . 因为 PA ? PB ? AP ? BP ? ? x0 ? 12, y0 ? ? ? x0 , y0 ? 6? ? 2 2 x0 ? 12x0 ? y0 ? 6 y0 ? 50 ? 12 x0 ? 6 y0? 20 ,故 2 x0 ? y0 ? 5? 0 . y B(1,7) 若 d ? r ,则直线与圆相离; 若 d ? r ,则直线与圆相切; 5 2 x O A(-5,-5) 若 d ? r ,则直线与圆相交. (2)代数法 2x-y+5=0 所以点 P ? x0 , y0 ? 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 50 上,且在直线 2.点与圆、圆与圆位置关系的判断方法,类 似的也有几何法和代数法两种; 3.比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的 大小关系,特别是遇到参数问题时,如何建立 等式或不等式是一个难点. ? x 2 ? y 2 ? 50 2 x ? y ? 5 ? 0 的左上方(含直线) .联立 ? ,得 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ? x1 ? ?5 , x2 ? 1 ,如图所示,结合图形知 x0 ? ? ? ?5 2,1? . ? 故填 ? ? ?5 2,1? . 【例 3【 】2015 高考江苏卷】 在平面直角坐标系 xOy 中, 以点 ?1,0? 为圆心且与直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0 ? m ? R ? 相切的所有圆中, 半径最大的圆的标准方程为 2 【答案】 ? x ? 1? ? y ? 2 2 . 【解析】解法一(几何意义) :动直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0 整理 得 m ? x ? 2? ? ? y ? 1? ? 0 ,则 l 经过定点 M ? 2, ?1? ,故满足题 意 的 圆 与 l 切 于 M 时 , 半 径 最 大 , 从 而 2 r? ? 2 ?1? ? ? ?1 ? 0? 2 2 2 ? 2 , 故 标 准 方 程 为 ? x ? 1? ? y2 ? 2 . 解法二(代数法——基本不等式) : 由题意 r ? d ? ?m ? 1 m2 ? 1 ? ? m 2 ? 2m ? 1 2m ? 1? 2 2 m ?1 m ?1 ? 1? 2 1 m? m 1? 2 1 2 m m 2 ? 2 ,当且仅当 m ? 1 时,取 2 “?” .故标准方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 . 解 法 三 ( 代 数 法 —— ? 判 别 式 ) : 由 题 意 2 2 m ? 2m ? 1 m ? 2 m ? 1 r?d ? ,设 t ? ,则 ? 2 2 m ?1 m ?1 m2 ? 1

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