高中数学北师大版必修四 平面向量数量积的坐标表示 课件(35张)

第二章 平面向量 第二章 §6 平面向量数量积的坐标表示 课前自主预习 数字化是当前社会的最大特色,任何一件事物都被数字化 了,当然这里的数字化强调的是数码,向量的数量积的几何运 算为我们展示的是一幅美丽的画卷,它解决了几何中与度量相 关的角度、长度(距离)等问题,向量的坐标运算又是如何展示 这些问题的呢? 1.平面向量数量积的坐标运算 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则 (1)a· b=x ____________ ; 1x2+y1y2 2 2 x 1+y1 (2)|a|=________; x1x2+y1y2=0 ; (3)若a⊥b,则____________ x1x2+y1y2 (4)cosθ=________. 2 2 2 x2 1+y1· x2+y2 2.直线的方向向量 给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线,我 们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量. 1 .已知平面向量 a = (3,1) , b = (x ,- 3) ,且a⊥b ,则 x 等 于( ) A.3 C.-1 [答案] B [ 解析 ] 1.故选B. ∵a⊥b , ∴a·b = 0 ,即3x + 1×( -3) = 0. 解得x = B.1 D.-3 2.已知向量a=(1,-1),b=(2,x).若a· b=1,则x= ( ) A.-1 1 C.2 [答案] D [ 解析 ] 由 a·b = 1 ,得 1×2 - 1×x = 1 ,解得 x = 1 ,故选 1 B.-2 D.1 D. 3.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则向a与b的夹角为 ( ) π A.6 π B.4 π π C.3 D.2 [答案] B [解析] 设a,b的夹角为θ, 3×1+?-1?×?-2? 2 则cosθ= 2 2 2 2= 2 , 3 +?-1? × 1 +?-2? π ∵0° ≤θ≤180° ,∴θ=4. 4.已知向量a与b的夹角为60° ,且a=(-2,-6),|b|= 10,则a· b=________. [答案] 10 [解析] ∵a=(-2,-6),∴|a|= 4+36=2 10, ∴a· b=2 10× 10×cos60° =10. 5 .已知 a = (2,3) , b = ( - 1,4) , c = (5,6) ,那么 (a·b)·c = ________,a·(b·c)=________. [答案] (50,60) (38,57) [解析] ∵a·b=(2,3)·(-1,4)=-2+12=10, ∴(a·b)·c=10(5,6)=(50,60). ∵b·c=(-1,4)·(5,6)=-5+24=19, ∴a·(b·c)=(2,3)·19=(38,57). 课堂典例讲练 平面向量数量积的坐标运算 已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10,求: (1)向量a的坐标; (2)若c=(2,-1),求(a·c)·b. [思路分析] 根据a与b共线设出a的坐标,再利用数量坐标 运算公式构建方程求得a的坐标,进而求(a·c)·b. [规范解答] (1)∵a与b同向,且b=(1,2), ∴a=λb=(λ,2λ)(λ>0). 又∵a·b=10, ∴λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4). (2)∵a·c=2×2+(-1)×4=0, ∴(a·c)·b=0·b=0. [规律总结] 向量问题的处理有两种思路,一种是纯向量 式,另一种是坐标式,两者互相补充,通过向量的坐标运算可 实现向量问题的代数化,在解题中应注意与方程、函数等知识 联系. (1) 已知向量 a = (1 , k) , b = (2,2) ,且 a + b 与 a 共线,那么 a·b的值为( A.1 C.3 A.23 C.63 [答案] (1)D (2)D ) B.2 D.4 ) B.57 D.83 (2)a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4a·b等于( [解析] (1)∵a+b与a共线, ∴a+b=λa,即(1+2,k+2)=λ(1,k). ? ?3=λ, 由? ? ?k+2=kλ, ? ?λ=3, 解得? ? ?k=1. 故a=(1,1),则a· b=1×2+1×2=4. (2)|a|=5,a· b=-20+18=-2, ∴3|a|2-4a· b=3×25-4×(-2)=83. 利用数量积的坐标表示求模与夹角 如图所示,在平面直角坐标系中,已知点 A(16,12),B(-5,15).求: → → (1)|OA|,|AB|; (2)∠OAB. [思路分析] (1)①设a=(x,y),则|a|= x2+y2 ,即向量 的模等于它的坐标平方和的算术平方根. → ②若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1), → → 2 2 所以| AB |= ?x2-x1? +?y2-y1? .所以| AB |的实质是A,B两 点间的距离,即线段AB的长度,这是向量模的几何意义. (2)求角的问题,可转化为利用向量的夹角运算公式求 解. [规范解答] → (1)由OA=(16,12), → AB=(-5-16,15-12)=(-21,3)得 → |OA|= 162+122=20, → |AB|= ?-21?2+32=15 2. → → (2)设AO与AB所成角为θ, → → AO· AB 则cos∠OAB=cosθ= . → → |AO||AB| → → → → 其中AO· AB =-OA· AB=-(16,12)· (-21,3)=-[16×(-21) +12×3]=300. 300 2 故cos∠OAB= =2, 20×15 2 所以∠OAB=45° . [规律总结] 求向量a与b的夹角θ的步骤: ①计算a·b,|a|,|b|; ②利用夹角公式计算cosθ; ③根据范围[0,π]确定

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