广东省实验中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学文试题

2012—2013 学年(下)高二级第二学段模块考试



学(文科)

本试卷共 4 页,满分为 150 分。考试用时 120 分。 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x | 2 ? 1} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ?
x

A. {x | x ? 1}

B. {x | x ? 0}

C. {x | 0 ? x ? 1}

D.

{x | x ? 1}

2. i 是虚数单位,则复数 z =

2i ? 1 在复平面内对应的点在 i
D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 3.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是 A. “若一个数不是负数,则它的平方不是正数” B. “若一个数是负数,则它的平方不是正数” C. “若一个数的平方是正数,则它是负数” D. “若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 4.下列函数中,与函数 y ? A. y ?

3

1 定义域相同的函数为 x
2

1 sin x

B. y ? lg x

C. y ?

ln x x

D. y ? x e

3 x

5.对于直线 m , n 和平面 ? , ? ,使 m ? ? 成立的一个充分条件是 A. m ? n , n ∥ ? C. m ? n , n ? ? , ? ? ? B. m ∥ ? , ? ? ? D. m ? ? , n ? ? , n ? ?

6. 执行如右图所示的程序框图.则输出的所有点 ( x, y ) A. 都在函数 y ? x ? 1 的图象上 B. 都在函数 y ? 2 x 的图象上 C. 都在函数 y ? 2 x 的图象上 D. 都在函数 y ? 2x ?1 的图象上 开始
x ? 1, y ? 2

x?4
是 输出 x, y) (



结束

x ? x ? 1, y ? 2 y

2 7.点 P ? 2, ?1? 为圆 ? x ? 1? ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为 2

A. x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0

8. 多面体 MN-ABCD 的底面 ABCD 为矩形, (主) 其正 视图和侧 (左) 视图如图, 其中正 (主) 视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则 AM 的长 M N 2 2 4
正(主)视图

D A B

C
侧(左)视图

2

A. 3

B. 5

C. 6

D. 2 2

9.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率为 2 a b

5 ,则此双曲线的方程为
A. 5 x ?
2

4 y2 ?1 5

B.

x2 y 2 ? ?1 5 4

C.

y 2 x2 ? ?1 5 4

D. 5 x ?
2

5 y2 ?1 4

10. 已知偶函数 f(x)(x∈R) ,当 x ? (?2,0] 时,f(x)= -x(2+x),当 x ? [2, ??) 时,f(x)=(x-2)(a-x) ( a ? R ).关于偶函数 f(x)的图象 G 和直线 l :y=m( m ? R )的 3 个命题如下: ① 当 a=2,m=0 时,直线 l 与图象 G 恰有 3 个公共点; ② 当 a=3,m=

1 时,直线 l 与图象 G 恰有 6 个公共点; 4

③ ?m ? (1, ??), ?a ? (4, ??) ,使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点,且相邻点之间的距离相 等.其中正确命题的序号是(A) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
11. 命题 A : | x ? 1 |? 3 ,命题 B : ( x ? 2)( x ? a) ? 0 ,若 A 是 B 的充分而不必要条件,则 a 的

取值范围是

. .

12.曲线 f ( x) ? x ln x ? x 在点 x ? 1 处的切线方程为

13. 对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3 32 ? 1 ? 3 ? 5 42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 52 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9

23 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 53 ? 21 ? 23 ? 25 ? 27 ? 29
.

根据上述分解规律,若 m3 (m ? N * ) 的分解中最小的数是 73,则 m 的值为

{x ? 2 ? 2 cos ? 14.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程是 y ? 2 sin ?
O 为极点,x 轴正半轴为极轴,则曲线 C 的极坐标方程是

( ? ?[0,2? ], ? 为参数),若以 .

三、解答题:本大题共 6 大题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 11 分)通过随机询问某校 110 名高中学生在购买食物时是否看营养说明, 得到如下的列联表: 性别与看营养说明列联表 单位: 名 ks5u

看营养说明 不看营养说 明 总计

男 50 10 60

女 30 20 50

总计 80 30 110

(1)从这 50 名女生中按是否看营养说明采取分层抽样,抽取一个容量为 10 的样本,问 样本中看与不看营养说明的女生各有多少名? (2)根据以上列联表,能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为性别与是否看营 养说明之间有关系? 下面的临界值表供参考:
p( K ? k )
2

0.15

0.10

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

]

0.001 10.828

k
(参考公式: K 2 ?

2.072 2.706

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
?

16. (本小题共 13 分) 如图, BCD 是等边三角形, AB ? AD ,?BAD ? 90 ,M ,N , △

G 分 别 是 BD , BC , AB 的 中 点 , 将 △ BCD 沿 BD 折 叠 到 ?BC ?D 的 位 置 , 使 得

AD ? C ?B .
(1)求证:平面 GNM // 平面 ADC? ; (2)求证: C ?A ? 平面 ABD .
B G

A

C/

M

D

N A
N

G B
C

D M

2 2 17. 本题满分 14 分) ( 已知圆 O : x ? y ? 4 ,直线 l1 : 3x ? y ? 2 3 ? 0 与圆 O 相交于 A, B

两点,且 A 点在第一象限. (1)求 AB ; (2)设 P( x0 , y 0 ) ( x 0 ? ?1 )是圆 O 上的一个动点,点 P 关于原点的对称点为 P1 ,点 P 关 于 x 轴的对称点为 P2 ,如果直线 AP , AP2 与 y 轴分别交于 ? 0, m ? 和 ? 0, n ? .问 m ? n 是 1 否为定值?若是,求出定值,若不是,说明理由.

18.(本题满分 14 分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表 明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度 v (单位:千克 /年)是养殖密度 x (单位:尾/立方米)的函数.当 x 不超过 4(尾/立方米)时, v 的值为 ;当 2 (千克/年) 4 ? x ? 20 时, v 是 x 的一次函数;当 x 达到 20 (尾/立方米)时,因缺 氧等原因, v 的值为 0 (千克/年) . (1)当 0 ? x ? 20 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米) f ( x) ? x ? v( x) 可以达 到最大,并求出最大值.

19.(本小题满分 14 分)已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,
2

直线 m 垂直于 x 轴,垂足为 T,与抛物线交于不同的两点 P、Q 且 F1 P ? F2Q ? ?5 . (1)求点 T 的横坐标 x0 ; (2)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ? 1, ①求椭圆 C 的标准方程;ks5u ②过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求 TA ? TB 的取值范围. 20. (本小题满分 14 分)已知 x1, x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax ? bx ? a x(a ? 0) 的两个 ?
3 2 2

???? ???? ?

? ? ?

2? ?. 2 ? ?

极值点. (1)若 x1 ? ?1 , x2 ? 2 ,求函数 f (x) 的解析式; (2)若 | x1 | ? | x 2 |? 2 2 ,求实数 b 的最大值; (3)设函数 g ( x) ? f ?( x) ? a( x ? x1 ) ,若 x1 ? x2 ,且 x2 ? a ,求函数 g (x) 在 ( x1, x2 ) 内的最 小值.(用 a 表示)

2012—2013 学年(下)高二级第二学段模块考试


一、选择题:

学(文科)解答及评分标准
4 B 5 D 6 C 7 D 8 C 9 0 D 1 A

1 C
二、填空题:

2 A

3 C

11. (??, ?4) ; 12. y ? 2 x ? 1 ;13.9 ;14. ? ? 4 cos? 15. (11 分) (1)根据分层抽样可得:样本中看营养说明的女生有 不看营养说明的女生有

10 ? 30 ? 6 名,样本中 50

10 ? 20 ? 4 名;??????????4 分 50

2 (2) 假 设 H 0 : 该校 高中学生 性别 与在 购买食 物时 看 营养 说明 无关, 则 K 应该 很

小. ??????????5 分 根据题中的列联表得 k ?

110 ? (50 ? 20 ? 30 ?10) 2 539 ? ? 7.486 80 ? 30 ? 60 ? 50 72

???9 分

由P( K 2 ? 6.635) ? 0.010可知 ks5u
在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为性别与是否看营养说明之间有关系?11 分 16. 13 分)证明: ( (1)因为 M , N 分别是 BD , BC 的中点, 所以 MN // DC? .因为 MN ? 平面 ADC? , DC? ? 平面 ADC? , 所以 MN // 平面 ADC? . ???2 分 ks5u 同理 NG // 平面 ADC? .???4 分 又因为 MN ? NG ? N ,???5 分 ks5u 所以平面 GNM // 平面 ADC? . ???6 分 (2)因为 ?BAD ? 90 ,所以 AD ? AB .
? '

C/

N A G M B D

又因为 AD ? C B ,且 AB ? C B ? B ,
'
'

所以 AD ? 平面 C AB .
'

???8 分

因为 C A ? 平面 C AB ,
' '

所以 AD ? C A .
'

???9 分

因为△ BCD 是等边三角形, AB ? AD , 不防设 AB ? 1,则 BC ? CD ? BD ?

2,

可得 C?A ? 1 .???11 分 由勾股定理的逆定理,可得 AB ? C A .???12 分
'

所以 C A ? 平面 ABD .????????????????13 分
'

17.(14 分)解: (1)圆心 O(0,
2

0) 到直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 的距离 d ? 3 .
2

圆的半径 r ? 2 ,? AB ? 2 r ? d ? 2 .??????4 分
y {x 3? ? y? 4 (2)解方程组 x ?2
2 2

3 ? 0 ,得 A(1, 3 ) ,??????6 分

P( x 0 ,

2 2 y 0 ) ( x 0 ? ?1 ),则 P1 (? x0 , ? y 0 ) , P2 ( x0 , ? y 0 ) , x0 ? y 0 ? 4 , .??8 分

AP : y ? 3 ? 1 AP2 : y ? 3 ?
?m?n ?

3 ? y0 3x0 ? y 0 ( x ? 1) ,令 x ? 0, 得 m ? . 1 ? x0 1 ? x0 3 ? y0 ? 3x0 ? y 0 ( x ? 1) ,令 x ? 0 ,得 n ? .????12 分 1 ? x0 1 ? x0

2 3 x 0 ? y 0 ? 3 x 0 ? y 0 ? 4( x 0 ? 1) ? ? ? 4 ??????14 分 2 1 ? x0 1 ? x0 1 ? x0

18.(14 分) (1)由题意:当 0 ? x ? 4 时, v ? x ? ? 2 ;

?????????2 分

当 4 ? x ? 20 时,设 v?x ? ? ax ? b ,显然 v?x ? ? ax ? b 在 [4, 20] 是减函数,

1 ? a?? ? ?20a ? b ? 0 ? 8 由已知得 ? ,解得 ? 4a ? b ? 2 ? ?b ? 5 ? ? 2
故函数

??????????4 分

?2, ? v?x ? = ? 1 5 ?? x ? , 2 ? 8

0 ? x ? 4, x ? N * 4 ? x ? 20, x ? N *
??????????6 分

? 2 x, 0 ? x ? 4, x ? N * ? (2)依题意并由(1)可得 f ?x ? ? ? 1 2 5 4 ? x ? 20, x ? N * . ? ? x ? x, 2 ? 8
当 0 ? x ? 4 时, f ? x ? 为增函数,故 f max ? x ? ? f (4) ? 4 ? 2 ? 8 ; 当 4 ? x ? 20 时, f ? x ? ? ?

??8 分

?????10 分
2

1 2 5 1 1 100 , x ? x ? ? ( x 2 ? 20 x) ? ? ( x ? 10) 2 ? 8 2 8 8 8

f max ? x ? ? f (10) ? 12.5 .
所以,当 0 ? x ? 20 时, f ? x ? 的最大值为 12.5 . ?????13 分 当养殖密度为 10 尾/立方米时, 鱼的年生长量可以达到最大, 最大值约为 12.5 千克/立方米. ???????????14 分 19.(本小题满分 14 分) 解: (1)由题意得 F2 (1,0) , F1 (?1,0) ,设 P( x0 , y0 ) , Q( x0 ,? y0 ) 则 F1P ? ( x0 ? 1, y0 ) , F2Q ? ( x0 ? 1,? y0 ) . 由 F1P ? F2Q ? ?5 , 得 x0 ? 1 ? y0 ? ?5 即 x0 ? y0 ? ?4 ,①
2 2 2 2

?ks5u??????2 分

又 P( x0 , y0 ) 在抛物线上,则 y0 ? 4x0 ,②
2

联立①、②易得 x0 ? 2 (2)①设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 ,

????????4 分

x2 y 2 设椭圆 C 的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b 1 1 则 2 ? 2 ?1 ③ , ④ ???????5 分 a 2 ? b2 ? 1 a b2 1 2 2 将④代入③,解得 b ? 1 或 b ? ? (舍去) 2 2 2 所以 a ? b ? 1 ? 2 ????????6 分 2 x ? y2 ? 1 故椭圆 C 的标准方程为 ????????7 分 2 2 2 ) , B(1,? ), ②. (i)当直线 l 的斜率不存在时, A(1, 2 2 ??? ??? 2 2 ) ? ( ?1, ? ) ?2 又 T (2,0) ,所以 TA ? TB ? ( ?1, ????8 分 2 2
(ii)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , (k ? R)

?y ? kx? k ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则由根与系数的关系,

4k 2 2k 2 ? 2 可得: x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
??? ??? ??? ???

????????9 分

因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,

? 4(1 ? k 2 ) ,y+y=k(x+x)-2k 1 2 1 2 1 ? 2k 2 2 16(1 ? k 2 ) 2 4k 2 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 故 (1 ? 2k 2 ) 2 (1 ? 2k 2 ) 2
又 x1 ? x2 ? 4 ?

4(1 ? 2k 2 ) 2 ? 10(1 ? 2k 2 ) ? 2 10 2 ???????11 分 ? 4? ? 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k (1 ? 2k 2 ) 2 1 1 令t ? ,因为 0 ? ? 1 ,即 t ? ?0,1? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ??? ??? 2 5 17 所以 TA ? TB ? 2t 2 ? 10t ? 4 ? 2(t ? ) 2 ? ? (4,16]. 2 2 ?
所以 TA ? TB ? ?2,4? ????????13 分 ????????14 分 综上所述: TA ? TB ? ?[2,4? . 20. f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0) .
2 2

(1)因为 x1 ? ?1 , x2 ? 2 是函数 f (x) 的两个极值点, 所以 f ?(?1) ? 0 , f ?(2) ? 0 . ????????2 分 所以 3a ? 2b ? a ? 0 , 12 a ? 4b ? a ? 0 ,解得 a ? 6 , b ? ?9 .
2 2

所以 f ( x) ? 6 x ? 9 x ? 36 x . ????????4 分
3 2

(2)因为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax ? bx ? a x(a ? 0) 的两个极值点, ?
3 2 2

所以 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0 , 所以 x1 , x2 是方程 3ax ? 2bx ? a ? 0(a ? 0) 的两根,????????5 分
2 2

因为 ? ? 4b ? 12a ,所以 ? ? 0 对一切 a ? 0 , b? R 恒成立,
2 3

而 x1 ? x2 ? ?

2b a , x1 x2 ? ? ,又 a ? 0 ,所以 x1 x2 ? 0 , 3a 3
2

所以 | x1 | ? | x2 |?| x1 ? x2 | ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ?

(?

2b 2 a 4b 2 4 ) ? 4( ? ) ? ? a, 3a 3 9a 2 3

4b 2 4 ? a ? 2 2 ,所以 b2 ? 3a 2 (6 ? a ) .????6 分 由 | x1 | ? | x2 |? 2 2 ,得 2 9a 3
2 因为 b ? 0 ,所以 3a (6 ? a) ? 0 ,即 0 ? a ? 6 . ????7 分

2

令 h(a) ? 3a (6 ? a) ,则 h?(a) ? ?9a ? 36a .
2
2

当 0 ? a ? 4 时, h?(a) ? 0 ,所以 h(a ) 在(0,4)上是增函数; 当 4 ? a ? 6 时, h?(a) ? 0 ,所以 h(a ) 在(4,6)上是减函数.

所以当 a ? 4 时, h(a ) 有极大值为 96,所以 h(a ) 在 (0,6] 上的最大值是 96, 所以 b 的最大值是 4 6 .????9 分 ks5u (3)因为 x1 , x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两根,且 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0) ,
2 2

a 1 ,又 x2 ? a , x1 ? ? ,????10 分 ks5u 3 3 1 所以 f ?( x) ? 3a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 3a( x ? )( x ? a) , 3 1 1 1 1 所以 g ( x) ? f ?( x) ? a( x ? x1 ) ? 3a( x ? )( x ? a) ? a( x ? ) ? 3a( x ? )( x ? a ? ) , 3 3 3 3
所以 x1 x2 ? ? ????12 分 其对称轴为 x ?

a a a 1 ,因为 a ? 0 ,所以 ? (? , a) ,即 ? ( x1 , x2 ) , 2 3 2 2
ks5u ? ? ? ? 13

分 所以在 ( x1, x2 ) 内函数 g (x) 的最小值

g ( x) min

a 1 2 a(3a ? 2)2 a a 1 a 1 .????14 分 ? g ( ) ? 3a( ? )( ? a ? ) ? ?3a( ? ) = ? 2 3 12 2 2 3 2 3


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