【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第四章 三角函数、解三角形 第3课


§ 4.3

和角公式、倍角公式与半角公式

1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β (Cα-β)

cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β (Cα+β) sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β tan(α-β)= tan(α+β)= tan α-tan β (Tα-β) 1+tan αtan β tan α+tan β (Tα+β) 1-tan αtan β (Sα-β) (Sα+β)

2. 二倍角公式 sin 2α=2sin_αcos_α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α tan 2α= . 1-tan2α 3. 半角公式 sin tan α =± 2 α =± 2 1-cos α α ;cos =± 2 2 1+cos α ; 2

1-cos α 1-cos α sin α = = . sin α 1+cos α 1+cos α

α 根号前的正负号,由角 所在象限确定. 2 b 4. 函数 f(x)=asin α+bcos α(a,b 为常数),可以化为 f(α)= a2+b2sin(α+φ)(其中 tan φ= ) a a 或 f(α)= a2+b2cos(α-φ)(其中 tan φ= ). b

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的. ( √ )

(2)存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sin α+sin β 成立. (3)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定. (4)公式 tan(α+β)=

( √ ) ( × )

tan α+tan β 可以变形为 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对 1-tan αtan β ( × ) ( √ ) ( √ ) ( )

任意角 α,β 都成立. (5)存在实数 α,使 tan 2α=2tan α. π (6)当 α+β= 时,(1+tan α)(1+tan β)=2. 4 2. (2013· 浙江)已知 α∈R,sin α+2cos α= 4 A. 3 3 3 4 B. C.- D.- 4 4 3 10 ,则 tan 2α 等于 2

答案 C 解析 ∵sin α+2cos α= 10 , 2

5 ∴sin2α+4sin α· cos α+4cos2α= . 2 化简得:4sin 2α=-3cos 2α, sin 2α 3 ∴tan 2α= =- .故选 C. cos 2α 4 sin α+cos α 1 3. (2012· 江西)若 = ,则 tan 2α 等于 sin α-cos α 2 3 A.- 4 答案 B sin α+cos α 1 tan α+1 1 解析 由 = ,等式左边分子、分母同除 cos α 得, = ,解得 tan α sin α-cos α 2 tan α-1 2 2tan α 3 =-3,则 tan 2α= = . 1-tan2α 4 π? 4 π? ? 4. (2012· 江苏)设 α 为锐角,若 cos? ?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为________. 答案 17 2 50 3 4 4 B. C.- D. 4 3 3 ( )

π? 4 ? π? 3 解析 ∵α 为锐角且 cos? ?α+6?=5,∴sin?α+6?=5. π? ? ? π? π? ∴sin? ?2α+12?=sin 2?α+6?-4

?

?

π? π ? π? π =sin 2? ?α+6?cos 4-cos 2?α+6?sin 4

π? ? π? π? ? 2? 2? = 2sin? ?α+6?cos?α+6?- 2 ?2cos ?α+6?-1? 4 3 4 2 = 2× × - ? 2×? ?2-1? ? 5 5 2 ? ?5? = 12 2 7 2 17 2 - = . 25 50 50

π? 1 5. (2013· 课标全国Ⅱ)设 θ 为第二象限角,若 tan? ?θ+4?=2,则 sin θ+cos θ=________. 答案 - 10 5

π? 1 1 解析 ∵tan? ?θ+4?=2,∴tan θ=-3,
? ?3sin θ=-cos θ, 即? 2 2 ?sin θ+cos θ=1, ?

解得 sin θ=

10 3 10 ,cos θ=- . 10 10 10 . 5

∴sin θ+cos θ=-

题型一 三角函数式的化简与给角求值 θ θ ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 (1)化简: (0<θ<π); 2+2cos θ 1+cos 20° 1 (2)求值: -sin 10° ( -tan 5° ). 2sin 20° tan 5° 思维启迪 行约分; (2)切化弦、通分. 解 θ π θ (1)由 θ∈(0,π),得 0< < ,∴cos >0. 2 2 2 θ θ 4cos2 =2cos . 2 2 (1)分母为根式,可以利用二倍角公式去根号,然后寻求分子分母的共同点进

例1

因此 2+2cos θ=

θ θ 又(1+sin θ+cos θ)(sin -cos ) 2 2 θ θ θ θ θ =(2sin cos +2cos2 )(sin -cos ) 2 2 2 2 2 θ θ θ =2cos (sin2 -cos2 ) 2 2 2

θ =-2cos cos θ. 2 θ -2cos cos θ 2 故原式= =-cos θ. θ 2cos 2 2cos210° cos 5° sin 5° (2)原式= -sin 10° ( - ) sin 5° cos 5° 2×2sin 10° cos 10° = = cos25° -sin25° cos 10° -sin 10° · 2sin 10° sin 5° cos 5° cos 10° cos 10° -sin 10° · 2sin 10° 1 sin 10° 2 cos 10° -2sin 20° cos 10° -2cos 10° = 2sin 10° 2sin 10° cos 10° -2sin?30° -10° ? 2sin 10°

= =

1 3 cos 10° -2? cos 10° - sin 10° ? 2 2 = 2sin 10° = 3sin 10° 3 = . 2sin 10° 2 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构

思维升华 与特征.

(2)对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有: ①化为特殊角的三角函数值; ②化为正、负相消的项,消去求值; ③化分子、分母出现公约数进行约分求值. (1)在△ABC 中,已知三个内角 A,B,C 成等差数列,则 tan tan A C tan 的值为________. 2 2 ( ) A C +tan + 3 2 2

2cos 10° -sin 20° (2) 的值是 sin 70° 1 A. 2 答案 解析 B. 3 C. 3 D. 2 2

(1) 3 (2)C 2π A+C (1)因为三个内角 A,B,C 成等差数列,且 A+B+C=π,所以 A+C= , 3 2

A+C π = ,tan = 3, 3 2

所以 tan

A C A C +tan + 3tan tan 2 2 2 2

A C?? A C? A C =tan? ? 2 + 2 ??1-tan 2 tan 2 ?+ 3tan 2 tan 2 A C? A C = 3? ?1-tan 2 tan 2 ?+ 3tan 2 tan 2 = 3. 2cos?30° -20° ?-sin 20° (2)原式= sin 70° = = 2?cos 30° · cos 20° +sin 30° · sin 20° ?-sin 20° sin 70° 3cos 20° = 3. cos 20°

题型二 三角函数的给值求值、给值求角 例2 β α π 1 2 α- ?=- ,sin? -β?= ,求 cos(α+β)的值; (1)已知 0<β< <α<π,且 cos? 2 2 ? ? ? ? 3 2 9 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α-β 的值. 2 7 思维启迪 α+β ? β ?α ? (1)拆分角: =?α-2? ?-?2-β?,利用平方关系分别求各角的正弦、余弦. 2

(2)2α-β=α+(α-β);α=(α-β)+β. 解 π (1)∵0<β< <α<π, 2

π α π π β ∴- < -β< , <α- <π, 4 2 2 4 2 α ? ∴cos? ?2-β?= β? sin? ?α-2?= ∴cos α ? 5 -β = , 1-sin2? ?2 ? 3 β? 4 5 1-cos2? ?α-2?= 9 ,

α+β ?α-β?-?α-β?? =cos? ?? 2? ?2 ?? 2

β α β α α- ?cos? -β?+sin?α- ?sin? -β? =cos? ? 2? ?2 ? ? 2? ?2 ? 1? 5 4 5 2 7 5 =? ?-9?× 3 + 9 ×3= 27 , ∴cos(α+β)=2cos2 α+β 49×5 239 -1=2× -1=- . 2 729 729 tan?α-β?+tan β 1-tan?α-β?tan β

(2)∵tan α=tan[(α-β)+β]=

1 1 - 2 7 1 π = = >0,∴0<α< , 1 1 3 2 1+ × 2 7

1 2× 3 2tan α 3 又∵tan 2α= = = >0, 1 1-tan2α ?2 4 1-? ?3? π ∴0<2α< , 2 3 1 + 4 7 tan 2α-tan β ∴tan(2α-β)= = =1. 3 1 1+tan 2αtan β 1- × 4 7 1 ∵tan β=- <0, 7 π 3π ∴ <β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=- . 2 4 思维升华 α+β β α (1)解题中注意变角,如本题中 =(α- )-( -β); 2 2 2

(2)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数 π 0, ?, 值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是? ? 2? π π? 选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为? ?-2,2?,选正弦 较好. π π π 1 π β 3 β (1)若 0<α< , - <β<0, cos( +α)= , cos( - )= , 则 cos(α+ )等于( 2 2 4 3 4 2 3 2 A. 3 3 B.- 3 3 5 3 6 C. D.- 9 9 ( ) )

(2)已知 sin α=

5 10 ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 等于 5 10

5π π π π A. B. C. D. 12 3 4 6 答案 解析 (1)C (2)C β π π β (1)cos(α+ )=cos[( +α)-( - )] 2 4 4 2

π π β π π β =cos( +α)cos( - )+sin( +α)sin( - ), 4 4 2 4 4 2 π ∵0<α< , 2 π π 3π π 2 2 则 < +α< ,∴sin( +α)= . 4 4 4 4 3 π π π β π 又- <β<0,则 < - < , 2 4 4 2 2 π β 6 则 sin( - )= . 4 2 3

β π π β 故 cos(α+ )=cos[ +α-( - )] 2 4 4 2 π π β π π β =cos( +α)cos( - )+sin( +α)sin( - ) 4 4 2 4 4 2 1 3 2 2 6 5 3 = × + × = ,故选 C. 3 3 3 3 9 π π (2)∵α、β 均为锐角,∴- <α-β< . 2 2 又 sin(α-β)=- 又 sin α= 10 3 10 ,∴cos(α-β)= . 10 10

5 2 5 ,∴cos α= , 5 5

∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) = 5 3 10 2 5 10 2 × - ×(- )= . 5 10 5 10 2

π ∴β= . 4 题型三 三角变换的简单应用 例3 7π? ? 3π? 已知函数 f(x)=sin? ?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β-α)= ,cos(β+α)=- ,0<α<β≤ ,求证:[f(β)]2-2=0. 5 5 2 思维启迪 (1)可将 f(x)化成 y=Asin(ωx+φ)的形式;

(2)据已知条件确定 β,再代入 f(x)求值. (1)解 7π π π x+ -2π?+cos?x- - ? ∵f(x)=sin? ? 4 ? ? 4 2?

π π π x- ?+sin?x- ?=2sin?x- ?, =sin? ? 4? ? 4? ? 4? ∴T=2π,f(x)的最小值为-2. 4 (2)证明 由已知得 cos βcos α+sin βsin α= , 5 4 cos βcos α-sin βsin α=- , 5 两式相加得 2cos βcos α=0, π π π ∵0<α<β≤ ,∴β= ,∴[f(β)]2-2=4sin2 -2=0. 2 2 4 思维升华 三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点,解题时要注意观察角、 式子间的联系,利用整体思想解题. π (1)函数 f(x)= 3sin x+cos( +x)的最大值为 3 ( )

A.2 B. 3

1 C.1 D. 2

π (2)函数 f(x)=sin(2x- )-2 2sin2x 的最小正周期是________. 4 答案 解析 (1)C (2)π π π (1)f(x)= 3sin x+cos · cos x-sin · sin x 3 3

1 3 π = cos x+ sin x=sin(x+ ).∴f(x)max=1. 2 2 6 (2)f(x)= = 2 2 sin 2x- cos 2x- 2(1-cos 2x) 2 2

2 2 π sin 2x+ cos 2x- 2=sin(2x+ )- 2, 2 2 4

2π ∴T= =π. 2

高考中的三角变换问题 θ 2cos2 -sin θ-1 2 典例:(20 分)(1)若 tan 2θ=-2 2,π<2θ<2π,则 =________. π 2sin?θ+ ? 4 (2)已知锐角 α,β 满足 sin α= 3π A. 4 π C. 4 5 3 10 ,cos β= ,则 α+β 等于 5 10 π 3π B. 或 4 4 π D.2kπ+ (k∈Z) 4 3 ,则 cos 2α 等于( 3 ) ( )

(3)(2012· 大纲全国)已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- 5 3 B.- 5 9 C. 5 5 D. 9 3

sin 47° -sin 17° cos 30° (4)(2012· 重庆) 等于 cos 17° A.- 3 2 1 B.- 2 1 3 C. D. 2 2

(

)

思维启迪 (1)注意和差公式的逆用及变形;(2)可求 α+β 的某一三角函数值, 结合 α+β 的范 围求角.(3)可以利用 sin2α+cos2α=1 寻求 sin α± cos α 与 sin αcos α 的联系;(4)利用和角 公式将已知式子中的角向特殊角转化.

解析

cos θ-sin θ 1-tan θ (1)原式= = , sin θ+cos θ 1+tan θ

2tan θ 又 tan 2θ= =-2 2,即 2tan2θ-tan θ- 2=0, 1-tan2θ 解得 tan θ=- 1 π 或 tan θ= 2.∵π<2θ<2π,∴ <θ<π. 2 2

1 1+ 2 1 ∴tan θ=- ,故所求= =3+2 2. 1 2 1- 2 (2)由 sin α= 5 3 10 2 5 10 ,cos β= 且 α,β 为锐角,可知 cos α= ,sin β= ,故 cos(α 5 10 5 10

2 5 3 10 5 10 2 π +β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × = ,又 0<α+β<π,故 α+β= . 5 10 5 10 2 4 解析 (3)由 sin α+cos α= 3 1 2 两边平方得 1+2sin αcos α= ,∴2sin αcos α=- .∵α 为 3 3 3

第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α= ?sin α-cos α?2= 1-2sin αcos α= 15 . 3

?sin α+cos α= 33, 由? 15 ?sin α-cos α= 3 ,
∴cos 2α=2cos2α-1=-

? ?sin α= 得? ? ?cos α=
5 . 3

3+ 15 , 6 3- 15 . 6

(4)利用两角和的正弦公式化简. sin?30° +17° ?-sin 17° cos 30° 原式= cos 17° = = sin 30° cos 17° +cos 30° sin 17° -sin 17° cos 30° cos 17° sin 30° cos 17° 1 =sin 30° = . cos 17° 2 (1)3+2 2 (2)C (3)A (4)C

答案

温馨提醒 三角变换中的求值问题要注意利用式子的特征,灵活应用公式;对于求角问题, 一定要结合角的范围求解.

方法与技巧

1. 巧用公式变形: 和差角公式变形:tan x± tan y=tan(x± y)· (1?tan x· tan y);倍角公式变形:降幂公式 cos2α= 1+cos 2α 1-cos 2α ,sin2α= , 2 2 α α α α sin ± cos ?2,1+cos α=2cos2 ,1-cos α=2sin2 . 配方变形:1± sin α=? 2? ? 2 2 2 2. 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.由 y=asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ)(其中 b tan φ= )有 a2+b2≥|y|. a 3. 重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要 尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般 要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察 角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等 变形. 失误与防范 1. 运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、 降次的灵活运用,要注意“1”的各种变通. 2. 在(0,π)范围内,sin(α+β)= 2 所对应的角 α+β 不是唯一的. 2

3. 在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 π π 3 7 1. 若 θ∈[ , ],sin 2θ= ,则 sin θ 等于 4 2 8 3 A. 5 4 7 3 B. C. D. 5 4 4 ( )

答案 D 3 解析 由 sin 2θ= 7和 sin2θ+cos2θ=1 得 8 3+ 7 2 3 7 (sin θ+cos θ)2= +1=( ), 8 4 3+ 7 π π 又 θ∈[ , ],∴sin θ+cos θ= . 4 2 4

3- 7 3 同理,sin θ-cos θ= ,∴sin θ= . 4 4 π 1 π 2 β- ?= ,那么 tan?α+ ?等于 2. 已知 tan(α+β)= ,tan? ? 4? 4 ? 4? 5 13 A. 18 13 B. 22 3 1 C. D. 22 6 ( )

答案 C π π 解析 因为 α+ +β- =α+β, 4 4 π π β- ? , 所以 α+ =(α+β)-? ? 4? 4 π? ? ? π?? 所以 tan? ?α+4?=tan??α+β?-?β-4?? 3 = . π 22 ? 1+tan?α+β?tan? ?β-4? ( ) π β- ? tan?α+β?-tan? ? 4?



3. (2013· 重庆)4cos 50° -tan 40° 等于 A. 2 B. 2+ 3 2 C. 3 D.2 2-1

答案 C 解析 4cos 50° -tan 40° = = = 4sin 40° cos 40° -sin 40° cos 40°

2sin 80° -sin 40° 2sin?50° +30° ?-sin 40° = cos 40° cos 40° 3sin 50° +cos 50° -sin 40° 3sin 50° = = 3. cos 40° cos 40° 1 10 π π π = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值为 tan α 3 4 2 4 B. 2 10 3 2 7 2 C. D. 10 10 ( )

4. 若 tan α+ A.- 2 10

答案 A 1 10 sin α cos α 10 解析 由 tan α+ = 得 + = , tan α 3 cos α sin α 3 ∴ 1 10 3 = ,∴sin 2α= . sin αcos α 3 5

π π π 4 ∵α∈( , ),∴2α∈( ,π),∴cos 2α=- . 4 2 2 5 π π π ∴sin(2α+ )=sin 2αcos +cos 2αsin 4 4 4 = 2 3 4 2 ×( - )=- . 2 5 5 10

5. 在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan A· tan B,则 C 等于 π 2π π π A. B. C. D. 3 3 6 4 答案 A 解析 由已知可得 tan A+tan B= 3(tan A· tan B-1), tan A+tan B ∴tan(A+B)= =- 3, 1-tan Atan B 2 π 又 0<A+B<π,∴A+B= π,∴C= . 3 3 二、填空题 π 3 6. 若 sin( +θ)= ,则 cos 2θ=________. 2 5 7 答案 - 25 π 3 解析 ∵sin( +θ)=cos θ= , 2 5 3 7 ∴cos 2θ=2cos2θ-1=2×( )2-1=- . 5 25 7. 若 α=20° ,β=25° ,则(1+tan α)(1+tan β)的值为________. 答案 2 tan α+tan β 解析 由 tan(α+β)= =tan 45° =1 可得 1-tan αtan β tan α+tan β+tan αtan β=1, 所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=2. 8. 3tan 12° -3 =________. ?4cos 12° -2?sin 12°
2

(

)

答案 -4 3 3sin 12° -3 cos 12° 解析 原式= 2?2cos212° -1?sin 12° 1 3 ? 2 3? sin 12° - cos 12° 2 ?2 ? cos 12° = 2cos 24° sin 12° = = 2 3sin?-48° ? -2 3sin 48° = 2cos 24° sin 12° cos 12° sin 24° cos 24° -2 3sin 48° =-4 3. 1 sin 48° 2

三、解答题

1 5 π π 9. 已知 tan α=- ,cos β= ,α∈( ,π),β∈(0, ),求 tan(α+β)的值,并求出 α+β 的值. 3 5 2 2 解 由 cos β= 5 π ,β∈(0, ), 5 2

2 5 得 sin β= ,tan β=2. 5 1 - +2 3 tan α+tan β ∴tan(α+β)= = =1. 2 1-tan αtan β 1+ 3 π π π 3π ∵α∈( ,π),β∈(0, ),∴ <α+β< , 2 2 2 2 5π ∴α+β= . 4 π ? α α 6 10.已知 α∈? ?2,π?,且 sin 2+cos 2= 2 . (1)求 cos α 的值; π ? 3 ,π (2)若 sin(α-β)=- ,β∈? 2 ?,求 cos β 的值. ? 5 解 (1)因为 sin α α 6 +cos = , 2 2 2

1 两边同时平方,得 sin α= . 2 π 3 又 <α<π,所以 cos α=- . 2 2 π π (2)因为 <α<π, <β<π, 2 2 π π π 所以-π<-β<- ,故- <α-β< . 2 2 2 3 4 又 sin(α-β)=- ,得 cos(α-β)= . 5 5 cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =- 4 3+3 3 4 1 ? 3? × + ×?-5?=- . 2 5 2 10 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 2sin2α+sin 2α π 1 π 1. 已知 tan(α+ )= ,且- <α<0,则 等于 4 2 2 π cos?α- ? 4 2 5 A.- 5 3 5 B.- 10 3 10 2 5 C.- D. 10 5 ( )

答案 A π tan α+1 1 1 解析 由 tan(α+ )= = ,得 tan α=- . 4 1-tan α 2 3 π 10 又- <α<0,所以 sin α=- . 2 10 故 2sin2α+sin 2α 2sin α?sin α+cos α? 2 5 = =2 2sin α=- . π 5 2 cos?α- ? ?sin α+cos α? 4 2

2. 定义运算?

?a b?=ad-bc,若 cos α=1,?sin α sin β ?=3 3,0<β<α<π,则 β 等于 ? ? 7 ? 2 ?c d ? ?cos α cos β? 14
( )

π A. 12

π π π B. C. D. 6 4 3

答案 D 3 3 解析 依题意有 sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)= , 14 π π 又 0<β<α< ,∴0<α-β< , 2 2 13 故 cos(α-β)= 1-sin2?α-β?= , 14 1 4 3 而 cos α= ,∴sin α= , 7 7 于是 sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) = 4 3 13 1 3 3 3 × - × = , 7 14 7 14 2

π 故 β= ,选 D. 3 π? 2sin x+1 3. 设 x∈? ?0,2?,则函数 y= sin 2x 的最小值为________. 答案 3
2

2sin2x+1 2-cos 2x 解析 方法一 因为 y= = , sin 2x sin 2x 2-cos 2x π? 所以令 k= .又 x∈? ?0,2?, sin 2x 所以 k 就是单位圆 x2+y2=1 的左半圆上的动点 P(-sin 2x,cos 2x)与定点 Q(0,2)所成直 2sin2x+1 线的斜率.又 kmin=tan 60° = 3,所以函数 y= 的最小值为 3. sin 2x 2sin2x+1 3sin2x+cos2x 方法二 y= = sin 2x 2sin xcos x



3tan2x+1 3 1 = tan x+ . 2tan x 2 2tan x

π ∵x∈(0, ),∴tan x>0. 2 3 1 ∴ tan x+ ≥2 2 2tan x (当 tan x= 3 1 tan x· = 3. 2 2tan x

3 π ,即 x= 时取等号) 3 6

即函数的最小值为 3. π sin 2? -α?+4cos2α 2 1 4. 已知 tan(π+α)=- ,tan(α+β)= . 3 10cos2α-sin 2α (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 tan β 的值. 解 1 1 (1)∵tan(π+α)=- ,∴tan α=- . 3 3

π sin 2? -α?+4cos2α 2 ∵tan(α+β)= 10cos2α-sin 2α = = sin 2α+4cos2α 2sin αcos α+4cos2α = 10cos2α-sin 2α 10cos2α-2sin αcos α 2cos α?sin α+2cos α? sin α+2cos α tan α+2 = = 2cos α?5cos α-sin α? 5cos α-sin α 5-tan α

1 - +2 3 5 = = . 1 16 5-?- ? 3 tan?α+β?-tan α (2)tan β=tan[(α+β)-α]= 1+tan?α+β?tan α 5 1 + 16 3 31 = = . 5 1 43 1- × 16 3 π ωx+ ?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π. 5. 已知函数 f(x)=2cos? 6? ? (1)求 ω 的值; π 5 5 6 0, ?,f?5α+ π?=- ,f?5β- π? (2)设 α,β∈? 3 ? 6 ? ? 2? ? 5 ? = 解 16 ,求 cos(α+β)的值. 17 2π 1 (1)由 T= =10π 得 ω= . ω 5

? ?f? ?5α+3π?=-5, (2)由? 5 ? 16 ?f? ?5β-6π?=17 ?5α+ π?+ ?=-6, ?2cos? 3 ? 6? ?5? 5 得? 5 1? π 16 5β- π?+ ?= , ?2cos? 6 ? ? 6? 17 ?5
1 5 π

5

6

?sin α=5, 整理得? 8 ?cos β=17.

3

π? ∵α,β∈? ?0,2?,

4 15 ∴cos α= 1-sin2α= ,sin β= 1-cos2β= . 5 17 ∴cos(α+β)=cos αcos β -sin αsin β 4 8 3 15 13 = × - × =- . 5 17 5 17 85


相关文档

【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第3课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第四章 三角函数、解三角形 第4课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第四章 三角函数、解三角形 第6课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第四章 三角函数、解三角形 第5课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第四章 三角函数、解三角形 第1课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第6课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第5课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第4课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第2课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第四章 三角函数、解三角形 第2课
电脑版