高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.3组合(1)课堂导学案新人教A版选修2_3

1.2.3 组合(1) 课堂导学 三点剖析 一、有限制条件的组合问题——“在”与“不在”问题 【例 1】一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球. (1)从口袋内取出 3 个球,共有多少不同的取法? (2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,共有多少种取法? (3)从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,共有多少取法? 解析: (1)从口袋内的 8 个球中取出 3 个球,取法种数是 C 83 ? 8? 7? 6 =56 3! 答:从口袋内取出 3 个球,共有 56 种取法. (2)从口袋内取出的 3 个球中有 1 个是黑球,于是还要从 7 个白球中再取出 2 个,取法种 数是 C 7 ? 2 7?6 =21. 2! 答:取出含有 1 个黑球的 3 个球,共有 21 种取法. (3)由于所取出的 3 个球中不含黑球,也就是要从 7 个白球中取出 3 个球,取法种数是 3 C7 ? 7?6?5 =35 3! 答:取出不含黑球的 3 个球,共有 35 种取法. 温馨提示 (1)从 n 个不同的元素中, 每次取出 m 个不同元素的组合, 其中一个必须在内.这类问题的思 考方法是先将这个特定元素置于其内,则只需由余下的 n-1 个元素中每次取出 m-1 个元素, m?1 再汇总原置于内的特定元素,所以符合条件的种数为 Cn ?1 . (2)从 n 个不同的元素中, 每次取出 m 个不同元素的组合, 其中某一元素不能在内.这类问题 有两种思考方法: ①将这个特定元素选出, 而从其余的 n-1 个元素中每次取 m 个不同元素的组合, 这些组合显 m 然必符合条件,为 Cn ?1 种; m m?1 ②以间接法解之,即从不带附加条件的总数中,减去不合本题条件的数,为 C n - Cn ?1 种. 二、有限制条件的组合问题——“至多”“至少”问题 【例 2】 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要有甲型与乙型电视机 各一台,则不同的取法共有( ) A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种 思路分析:取出的 3 台电视机中要求至少有甲型与乙型各一台,它包括两种可能:2 甲 1 乙 或 1 甲 2 乙,所以可用分类计数原理和分步计数原理解决,另外也可以采用间接法. 2 1 解法一 从 4 台甲型电视机中取 2 台且从 5 台乙型电视机中取 1 台,有 C4 种取法;从 ? C5 4 台甲型电视机中取 1 台且从 5 台乙型电视机中取 2 台有 C5 ? C4 种取法,所以取出的 3 台 2 1 2 1 电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有 C4 + C4 ? C5 =70(种). ? C5 1 2 1 3 3 解法二 从所有的 9 台电视机中取 3 台有 C9 种取法, 其中全为甲型的有 C 4 种取法, 全为乙 3 3 3 3 型的有 C5 种取法,则至少有甲型与乙型各一台的取法有 C9 - C4 - C5 =70(种). 答案:C 温馨提示 本题解法一用了直接法,解法二用的是间接法;本题最易出现如下取法错误 1 1 1 =140(种).这样计算就出现了重复. C4 ? C5 ? C7 三、求组合题的原则——“正难则反” 【例 3】 空间中有 8 个点,有且只有 4 个点共面,共可确定多少个平面? 3 解析:利用间接法:不考虑限制条件,从 8 个点中任取 3 个点共有 C8 种取法,由于其中 4 3 个点共面,从这 4 个点中任取 3 个的组合数为 C 4 ,故一共确定的平面数为: 3 +1=53. C83 - C 4 (这里加 1 是因为多减了一个平面). 温馨提示 有些计数问题正面情况太繁杂或直接法难以入手时,往往从问题的反面考虑更易解决. 各个击破 【类题演练 1】 从 7 名男同学和 5 名女同学中, 选出 5 人, 分别求符合下列条件的选法种数. (1)A,B 必须当选; (2)A,B 必不当选; (3)A,B 不全当选; (4)至少有两名女同学当选; (5)选出 3 名男同学和 2 名女同学,分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作,但体 育委员必须男同学担任,文娱委员必须女同学担任. 3 解析: (1)只要从其余的 10 人中再选 3 人即可,有 C10 =120(种). 5 (2)5 个都选自另外 10 人,即有 C10 =252(种). (3)法一:分类如下: 1 4 A,B 中有一人当选:有 C2 种. ? C10 A,B 都不入选:有 C10 种. 所以共有 C2 ? C10 + C10 =672(种). 1 4 5 5 法二: C12 - C10 =672(种) (4)间接法: C12 ? C7 ? C5 ? C7 =596(种) 5 5 1 4 5 3 (5)法一:分三步: 2 1 1 第一步:选一男一女分别担任体育委员、文娱委员的方法有 C7 种; ? C5 2 1 第二步:选出两男一女,补足 5 人的方法有 C6 种; ? C4 3 第三步:为这三人分配职务,有 A5 种; 1 1 2 1 3 由分步计数原理,共有安排方法 C7 · C6 · A5 =12 600(种) ? C5 ? C4 法二:分两步: 3 2 第一步:选出 3 名男同学,2 名女同学,有 C7 种方法; ? C5 1 1 3 第二步:分配职务有 C3 · C2 · A3 种. 根据分步计数原理,共有安排方法 1 3 2 1 3 · C5 · C3 · C 2 · A3 =12 600(种) C7 【变式提升 1】某学习小组 8 名同学,从男生中选出 2 人,从女生中选出 1 人参加数学、物 理、化学三种竞赛,要求每科均有一人参加,共有 180 种不同的选法,那么该小组中男、女 同学各有多少人? 2 解析:设有男同学 x 人,则女同学有 8-x 人,第一步,先从 x 名男同学中任选 2 名,有 C x

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