【精选】高二数学下学期期末模拟试题文

2018-2019 学年第二学期高二年级期末联考考试

数学(文)试题

分值:150 分;时间:120 分钟

一、 选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

(1) 已知集合 A={x|x2-x-6≤0},B={x|x>1},则 A∩B=( )

A、(1,2]

B、(1,3]

C、(1,2]∪ [3,+∞)

(2) 设复数 z 满足(1+i)z=2i(其中 i 为虚数单位),则|z|=( )

D、R∷∷∷∵∵∵

A. 2 B、 2 C、2 D、4 2
(3) 若双曲线 x2-y2=3 的两条渐近线斜率分别为 k1, k2,则 k1k2=( )

A、-1 B、- 3 C、-3 D、-9

?3x ? y ? 3 ? 0

(4)若

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y ?1? 0

则 z=2x+y 的最大值为(



??x ? y ?1 ? 0

A、1 B、2 C、7 D、8

(5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )

A、8 B、4 C. 8 3

D. 4 3

(6) 已知命题 p:f (x)=x3-ax 的图像关于原点对称;命题 q:g (x)=

xcos x 的图像关于 y 轴对称.则下列命题为真命题的是( )∷∷∷∵∵∵

A、 p B、q C、p∧q D、p

q)

(7)《算法统宗》 中有一图形称为“方五斜七图”,注曰:方五斜七者此乃言其大略矣,

内方五尺外方七尺有奇. 实际上,这是一种开平方的近似计算,即用 7 近似表示 5 2 ,当

内方的边长为 5 时, 外方的边长为 5 2 , 略大于 7.如图所示,在外方内
随机取一点,则此点取自内方的概率为( )∷∷∷∵∵∵

A. 1 2

B. 2 2

C. 5 7

D. 25 49

-1-

(8) 为计算 T=

,设计了右侧的程

序框图,则在空白框中应填入( )

A、W=W×i

B、W=W× (i+1)

C、W=W× (i+2) D、W=W× (i+3)

(9) 在△ABC 中, 角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2, b=3,c=4,设 AB 边上的高为 h,则 h=( )∷∷∷∵∵∵

A. 15 B. 11 C. 3 15

2

2

4

D. 3 15 8

(10) 已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的所有棱长相等,∠ABC=60°,则直线 BC1 与平面

ABB1A1 所成角的余弦值等于( )∷∷∷∵∵∵

A. 6 B. 10

4

4

C. 2 D. 3

2

2

(11)如图, 直线 2x+2y-3=0 经过函数 f (x)=sin(ω x

+φ )(ω >0,|φ |<π ) 图象的最高点 M 和最低点 N,则



)∷∷∷∵∵∵

A、ω = ? , φ = ?

2

4

C、ω = ? , φ =- ?

2

4

B、ω =π , φ =0
D、ω =π , φ = ? 2

(12)设函数 f (x)=aex-2sin x,x∈ [0,π ]有且仅有一个零点,则实数 a 的值为( )

∷∷∷∵ ∵∵

A、

?
2e 4

B、

??
2e 4

C、

?
2e 2

D、

??
2e 2

二、 填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.

(13)

已知向量

?
a

=(1,

-3),

?
b

=(m,

6),若

?
a



?
b

,则

m=_____.

-2-

?10x?1, x ? 1

(14) 若函数 f (x)= ?

, 则 f (f (10))=_____.

?lg x, x ? 1

(15)已知圆锥的顶点和底面圆周都在半径为 2 的球面上,且圆锥的母线长为 2,则该圆锥

的侧面积为_____.∷∷∷∵∵∵

(16) 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,经过点 M(-2,0)的直线交 C 于 A, B 两点,

若 OA∥BF(O 为坐标原点),则|AB|= _____.∷∷∷∵∵∵

三、 解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(10 分)

已知数列{an}满足: a1=1,an+1=2an+n-1,记 bn=an+n, (1)求 b1, b2, b3;

(2)判断{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的前 n 项和 Sn.

(18)(12 分)

如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,





AC=7. (Ⅰ)求 sin∠CAD 的值; (Ⅱ)若 BD=10,求 AD 的长及△ABD 的面积.∷∷∷∵∵∵

(19)(12 分) 如图, △ABC 中, AB=BC=4, ∠ABC=90°, E, F 分别为 AB, AC 边的中点,以 EF 为 折痕把△AEF 折起,使点 A 到达点 P 的位置,且 PB=BE.∷∷∷∵∵∵ (1) 证明:BC⊥平面 PBE;
-3-

(2) 求点 F 到平面 PEC 的距离.

(20)(12 分)

设椭圆

C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点分别为

F1,

F2,其离心率为

2 ,过 2

F2

的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,且△AF1B 的周长为 4 2 .∷∷∷∵∵∵ (1)求椭圆 C 的方程; (2) 设椭圆 C 的上顶点为 P,证明:当 l 的斜率为 1 时,点 P 在以 AB 为直径的圆上.
3

(21)(12 分)

为了保障全国第四次经济普查顺利进行,国家统计局从东部选择江苏,从中部选择河北、

湖北,从西部选择宁夏, 从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区,然后再逐级确定普查

区域,直到基层的普查小区.∷∷∷∵∵∵

在普查过程中首先要进行宣传培训,然后确定对象,最后入户登记. 由于种种情况可能

会导致入户登记不够顺利,如有些对象对普查有误解,配合不够主动;参与普查工作的技术

人员对全新的操作平台运用还不够熟练等,这为正式普查提供了宝贵的试点经验. 在某普查

小区,共有 50 家企事业单位, 150 家个体经营户,普查情况如下表所示:∷∷∷∵∵∵

普查对象类别

顺利

不顺利 合计

企事业单位

40

50

-4-

个体经营户

50

150

合计

(1) 写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法;

(2) 补全上述列联表(在答题卡填写),并根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普

查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”;∷∷∷∵∵∵

(3) 根据该试点普查小区的情况,为保障第四次经济普查的顺利进行,请你从统计的角度



出一条建议.

附:

(22)(12 分)
已知函数 f (x)=ax- ln x -a, a∈R. x
(1) 若 x=1 是 f (x)的极值点, 求 a 并讨论 f (x)的单调性;
(2) 若 1<x<e 时, f (x)≤0,求 a 的取值范围.

-5-

参考答案

一.选择题:

A 卷:BBACD DACDB

AB

二.填空题: (13)-2

(14)1

(15)2 3π

(16) 17∷∷∷∵∵∵

三.解答题:

(17)解:

(1)因为 a1=1,所以 a2=2a1+0=2,a3=2a2+2-1=5,

从而 b1=2,b2=a2+2=4,b3=a3+3=8,

(2){bn}是等比数列.

因为 an+1=2an+n-1,

所以 an+1+n+1=2(an+n),

an+1+(n+1)

bn+1

所以

an+n

=2,即 b =2,∷∷∷∵∵∵ n

所以{bn}是等比数列,且首项 b1=2,公比为 2.

(3)由(2)知 bn=2n,

故 an=bn-n=2n-n.

所以 Sn=(21+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)

n2+n =2n+1-2- 2 .

(18)解:

解:(Ⅰ)因为



所以

,………………………(1 分)

所以

…………………(2 分)

又因为



,…………………(3 分)

所以 sin∠DAC=sin(∠ADC+∠ACD) =sin∠ADC?cos∠ACD+cos∠ADC?sin∠ACD

=



…………(6 分)

(Ⅱ)在△ACD 中,由

,…………(7 分)

…3 分 …6 分 …10 分
-6-



.…………(9 分)

所以

.…………(12 分)

∷∷∷∵ ∵∵

(19)解:

(1)因为 E,F 分别为 AB,AC 边的中点,

所以 EF∥BC,

因为∠ABC=90°,

所以 EF⊥BE,EF⊥PE,

又因为 BE∩PE=E, 所以 EF⊥平面 PBE,

A P

所以 BC⊥平面 PBE.

…5

E

F



(2)取 BE 的中点 O,连接 PO, 由(1)知 BC⊥平面 PBE,BC 平面 BCFE,

O

B

C

所以平面 PBE⊥平面 BCFE,

因为 PB=BE=PE,

所以 PO⊥BE,

又因为 PO 平面 PBE,平面 PBE∩平面 BCFE=BE,

所以 PO⊥平面 BCFE,

…7 分

在 Rt△POC 中:PC= PO2+OC2=2 5,

在 Rt△EBC 中:EC= EB2+BC2=2 5,

在△PEC 中,PC=EC=2 5,PE=2,

所以 S△PEC= 19,

又 S△ECF=2,设点 F 到平面 PEC 的距离为 d,



V V = 得 F-PEC

P-ECF

S△PEC×d=S△ECF×PO,

19×d=2× 3,

2 57 所以 d= 19 ,

2 57 即点 F 到平面 PEC 的距离为 19 .

…12 分

-7-

(20)解: (1)△AF1B 的周长等于|AF1|+|AB|+|BF1|

=|AF1|+|AF2|+|BF2|+|BF1|=4a, 所以 4a=4 2,从而 a= 2.

c2

因为 e=

a



2

,所以

c=1,即

b =a -c =1, 2

2

2

∷∷∷∵∵∵

x2 故 C 的方程为 2 +y2=1.

…3 分 …5 分

(2)由(1)得 P(0,1),F2(1,0).

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

依题意,l 的方程为 x=3y+1,

将 l 的方程代入 C 并整理,可得 11y2+6y-1=0,

6

1

所以 y1+y2=-11,y1y2=-11.

→PA·→PB=x1x2+(y1-1)(y2-1)∷∷∷∵∵∵

=(3y1+1)(3y2+1)+(y1-1)(y2-1)

=10y1y2+2(y1+y2)+2

=0,

所以 PA⊥PB,

综上,点 P 在以 AB 为直径的圆上. (21)解:
(1)分层抽样,简单随机抽样(抽签亦可). (2)完成列联表

…8 分∷∷∷∵∵∵
…12 分 …2 分

普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 40 10 50

个体经营户 100 50 150

合计

140 60 200

…5 分

将列联表中的数据代入公式计算得

n(ad-bc)2

200(40×50-100×10)2 200

K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)= 140×60×50×150 = 63 ≈3.175>2.706,∷∷∷∵∵∵

所以,有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”.

-8-

…10 分

(3)(意思相近即可得分)

建议:加大宣传力度,消除误解因素,尤其要做好个体经营户的思想工作.

…12 分

(22)解:

1-lnx ax2+lnx-1

(1)f (x)=a- x2 =

x2

,x>0.∷∷∷∵∵∵

因为 x=1 是 f(x)的极值点, 所以 f (1)=0,可得 a=1.

…2 分

lnx

x2+lnx-1

所以 f(x)=x- x -1,f (x)=

x2

.∷∷∷∵∵∵

因为 y=x2+lnx-1 在(0,+∞)上单调递增,且 x=1 时,y=0,

所以 0<x<1 时,x2+lnx-1<0,f (x)<0,f(x)单调递减;

x>1 时,x2+lnx-1>0,f (x)>0,f(x)单调递增.

故 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.

…6 分

lnx (2)由 f(x)≤0 得 a(x-1)- x ≤0,

lnx 因为 1<x<e,所以 a≤x(x-1).
lnx 设 g(x)=x(x-1),
x-1-(2x-1)lnx 则 g (x)= x2(x-1)2 .

令 h(x)=x-1-(2x-1)lnx,

1

1

则 h (x)=1-(2x-1)· x -2lnx= x -2lnx-1,∷∷∷∵∵∵

显然 h (x)在(0,+∞)上单调递减,且 h (1)=0,

所以 1<x<e 时,h (x)<0,h(x)单调递减,
1 从而 a≤h(e)=e(e-1).
1 综上,a≤e(e-1).

…8 分∷∷∷∵∵∵ …12

-9-


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