3-5高阶导数748197520101018100931-文档资料_图文

§3.5

高阶导数

高阶导数的定义 几个基本初等函数的n阶导数 莱布尼茨(Leibniz)公式

小结

思考题

作业
1

导数与微分

一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s ? f ( t ), 则瞬时速度为v( t ) ? f ?( t )

? 加速度a是速度v对时间t的变化率
? a( t ) ? v ?( t ) ? [ f ?( t )]? .

定义 如果函数f ( x )的导数f ?( x )在点x处可导, 即 f ?( x ? ? x ) ? f ?( x ) ( f ?( x ))? ? lim ?x ? 0 ?x 存在, 则称( f ?( x ))?为函数f ( x )在点x处的二阶导数.

d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ???( x ), y???, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx

d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ??( x ), y ??, 2 或 2 dx dx

一般地, 函数f ( x )的n ? 1阶导数的导数称为

函数f ( x )的n阶导数, 记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ?( x )称为一阶导数 .

f ( n ) ( x0 )存在的条件是什么?
( n?1 ) ( n?1 ) f ( x ) ? f ( x0 ) ( n) f ( x0 ) ? lim x? x x ? x0
0

即导函数f

( n?1 )

( x )在x0点可导。

二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1
设 f ( x) ? arctan x, 求f ??(0), f ???(0).
f ?( x ) ? 1 1 ? x2
f ??( x ) ? (



? 2x 1 ? ) ? 2 1? x (1 ? x 2 ) 2

2( 3 x ? 1) ? 2x ? ? ? ? f ( x) ? ( ) ? 2 2 (1 ? x ) (1 ? x 2 ) 3
2

? 2x ? ? ? f ( 0) ? (1 ? x 2 ) 2

x?0

2( 3 x 2 ? 1) ? 0; f ???(0) ? (1 ? x 2 ) 3

x?0

? ?2.

例2

设 y ? x ? (? ? R), 求y ( n) .
y?? ? (?x ? ?1 )? ? ?(? ? 1) x ? ? 2 y??? ? (?(? ? 1) x ? ? 2 )? ? ?(? ? 1)(? ? 2) x ? ? 3

解 y? ? ?x ? ?1

??
y ( n) ? ?(? ? 1)?(? ? n ? 1) x ? ? n (n ? 1)

若 ? 为自然数n, 则

y

( n)

? ( x ) ? n! ,
n ( n)

y ( n ?1) ? ( n! )? ? 0.

例3 设 y ? ln(1 ? x ), 求y ( n) . 1 1 y ?? ? ? 解 y? ? 1? x (1 ? x ) 2
2! y??? ? ( ?1) (1 ? x )3
2

y

(4)

3! ? ( ?1) (1 ? x )4
3

?? (n) n ?1 ( n ? 1)! y ? ( ?1) (1 ? x ) n

( n ? 1, 0! ? 1)

例4

设 y ? sin x, 求y ( n) . ? 解 y ? ? cos x ? sin( x ? ) 2 ? ? ? ? y ?? ? cos( x ? ) ? sin( x ? ? ) ? sin( x ? 2 ? ) 2 2 2 2 ? y ??? ? cos( x ? 2 ? ) ? sin( x ? 3 ? ? ) 2 2 ?? ? (n) y ? sin( x ? n ? ) 2 ? (n) 同理可得 (cos x ) ? cos( x ? n ? ) 2

注 求n阶导数时, 关键要寻找规律,

一般求至三阶, 便可看出规律; 另外在
求导过程中不要急于合并, 分析结果

的规律性,写出n 阶导数.

例5 设 y ? e ax sin bx (a, b为常数), 求y ( n ) .

y? ? ae ax sin bx ? be ax cos bx ? e ax (a sin bx ? b cos bx)
b ? e ? a ? b sin(bx ? ? ) (? ? arctan ) a
ax 2 2

y ?? ? a 2 ? b 2 ? [ae ax sin( bx ? ? ) ? be ax cos( bx ? ? )] ? a 2 ? b 2 ? e ax ? a 2 ? b 2 sin( bx ? 2? )

??
y
( n) 2

? (a ? b ) ? e sin(bx ? n? )
ax

n 2 2

b (? ? arctan ) a

2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u ? v )
( n)

?u

( n)

?v

( n)

(2) (Cu)( n) ? Cu( n)

( 3) ( u ? v )

(n)

? u v ? nu
(n)

( n ?1 )

n( n ? 1) ( n? 2 ) v? ? u v ?? 2!

n( n ? 1) ? ( n ? k ? 1) ( n? k ) ( k ) (n) ? u v ? ? ? uv k! ? ?C u
k ?0 k n n ( n? k )

v

(k )

莱布尼兹公式

例6

设 y ? x e , 求y
2 2x

( 20 )

.

解 设u ? e 2 x , v ? x 2 , 则由莱布尼兹公式知

y ( 20 ) ? (e 2 x )( 20 ) ? x 2 ? 20(e 2 x )(19 ) ? ( x 2 )? 20( 20 ? 1) 2 x (18 ) ? (e ) ? ( x 2 )?? ? 0 2! 20 2 x 2 19 2 x ? 2 e ? x ? 20 ? 2 e ? 2 x 20 ? 19 18 2 x ? 2 e ?2 2! ? 220 e 2 x ( x 2 ? 20 x ? 95)

3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式

(1) (a )

x ( n)

? a ? ln a (a ? 0)
x n

( e x )( n ) ? e x
(sin x )
(n)

( 2) (sin kx )

(n)

n? ? k sin( kx ? ) 2
n

( 3) (cos kx )

( n)

? ? k cos(kx ? n ? ) 2
n
n ?1

n? ? sin( x ? ) 2

(4) ( x ? )( n) ? ?(? ? 1)?(? ? n ? 1) x ? ? n ( ) ( n ) ? ( ?1) n

(5) (ln x )

(n)

? ( ?1)

( n ? 1)! n x

1 x

n! x n?1

1 (5) , 求y . 2 x ?1 1 1 1 1 解?y? 2 ? ( ? ) x ?1 2 x ?1 x ?1
例7 设 y ?

1 (n) n n! ( ) ? ( ?1) n ? 1 x x

?y

(5)

1 ? 5! ? 5! ? [ ? ] 6 6 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 1 1 ? 60[ ? ] 6 6 ( x ? 1) ( x ? 1)

1 y? 2 , 求y ( n ) . x ? 3x ? 2

1 (n) n n! ( ) ? ( ?1) n ? 1 x x


1 1 1 y? 2 ? ? x ? 3x ? 2 x ? 2 x ?1

y

( n)

n! n! n ? ( ?1) n?1 ? ( ?1) ( x ? 2) ( x ? 1)n?1
n

? ? 1 1 ? (?1) n! ? ? n?1 n?1 ? ( x ? 2 ) ( x ? 1 ) ? ?
n

例8

2 3 2 3 解 y ? (sin x ) ? (cos x ) 2 2 4

sin 2 x cos x 如何求 ( n) 设 y ? sin x ? cos x, 求y . 的 n 阶导数?
6 6
2 2 4

2

3

? (sin x ? cos x )(sin x ? sin x cos x ? cos x ) ? (sin2 x ? cos2 x )2 ? 3 sin2 x cos2 x
3 2 3 1 ? cos 4 x ? 1 ? sin 2 x? 1 ? ? 4 4 2 5 3 ? ? cos 4 x 8 8 3 n ? ( n) ? y ? ? 4 ? cos(4 x ? n ? ). 8 2

例 设y ? ( x ? 2)( 2 x ? 3)2 (3 x ? 4)3 , 求y( 6) . 分析 此函数是6次多项式, 又是求6阶导数,

故不需将函数因式全乘出来.
解 因为

y ? x( 2 x ) ( 3 x ) ? p5 ( x )
2 3

? 108 x 6 ? p5 ( x )
其中 p5 ( x ) 为x的6次多项式, 故

y( 6) ? 108 ? 6!.

1? x 1 x3 求下列函数 y ? ln 、y ? 、y ? 2 1? x 1? x 1? x 的 n阶 导 数 .

提示 y ? ln 1 ? x ? ln(1 ? x ) ? ln(1 ? x ) 1? x 1? 1 1 ? 1 1 ? ? ? y? ? 2 ? (1 ? x )(1 ? x ) 2 ? 1 ? x 1 ? x ? 1? x 3 1 x 2 ? x ? x ?1? y? 1? x 1? x 经上面这样变形后再求n阶导数,就方便多了.

dx 1 例:试从 ? ,导出: dy y ? d2x y ?? d 3 x 3( y?? ) 2 ? y?y??? 1、 2 ? ? ;2、 3 ? . 5 3 dy ( y? ) dy ( y ?)
dx 1 提示:注意 ? 是 x 的表达式, dy y ?
d2x 而 dy 2
dx 是求 dy

关于 y 的导数,

所以可以将 x 看作中间变量,用复合函数的求导法则 d2x d 1 d 1 dx ? ( ) ? ( )? 2 dy dy y? dx y? dy

d2x d 1 ? ( ) 2 dy dy y?
1 ? (? )? 2 ( y? )

dx d 1 ? ( ) ? dx y? dy

1 y?? y?? ? ?? y? ( y ? )3

y?? d (? ) 3 3 dx d y?? d x ( y? ) ? (? ) ? 同理可证: 3 ? 3 dy dy dy dx ( y? )

y??? ? ( y?)3 ? y?? ? 3( y?)2 ? y?? 1 3( y?? ) 2 ? y?y??? ? ? ?? 6 ( y? )5 y? ( y? )

取自2003考研数一

练习: 函数 y ? y( x ) 在 (??, ??) 内具有二阶导数,且
y? ? 0, x ? x( y ) 是 y ? y( x ) 的反函数。 试将 x ? x( y) 所满足

d2x dx 3 的微分方程 dy 2 ? ( y ? sin x )( dy ) ? 0 变换为 y ? y( x ) 满足

的微分方程。

d2x y?? 3 2 ? ? ? ? d x 3 ( y ) ? y?y??? 2 3 提示:利用 dy . ( y? ) , 3 ? 5 ?
dy (y )

三、小结
高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法:
1.直接法; 2.间接法.(常用公式)

思考题
2 ? g ( x ) f ( x ) ? ( x ? a ) g( x ) , 设 连续,且

求 f ??(a ) .

思考题解答
? g( x ) 可导
? f ?( x ) ? 2( x ? a ) g ( x ) ? ( x ? a )2 g?( x )

? g??( x ) 不一定存在

故用定义求 f ??(a )

?( x ) ? f ?(a ) f f ??(a ) ? lim f ?( a ) ? 0 x ?a x?a f ?( x ) ? lim ?( x )] ? 2 g(a ) ? lim [ 2 g ( x ) ? ( x ? a ) g x ?a x ? a x ?a

练 习 题
一、填空题: sin t 1 、设 y ? t 则y ?? =_________. e 2 、设 y ? tan x ,则y ?? =_________. y ?? =________. 3 、设 y ? (1 ? x 2 ) arctan x ,则 x2 4 、设 y ? xe ,则y ?? =_________. 2 y ?? =_________. 5 、设 y ? f ( x ) , f ??( x ) 存在,则 6 6 、设 f ( x ) ? ( x ? 10) ,则 f ???( 2) =_________. n n ?1 n? 2 7 、设 x ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n ?1 x ? a n (n) (a 1 , a 2 , ? , a n 都是常数),则y =___________. f ( x ) ? x ( x ? 1)( x ? 2 ) ? ( x ? n ) 8、设 , ( n?1) ( x ) =____________. 则f

二、求下列函数的二阶导数: 2x3 ? x ? 4 1、 y ? ; x 2 2、 y ? cos x ln x ; 3、 y ? ln( x ? 1 ? x 2 ) . dx 1 三、试从 ? ,导出: dy y ? d2x y ?? 1、 2 ? ? 3 ; ? dy (y ) d 3 x 3( y?? ) 2 ? y?y??? 2、 3 ? . 5 dy ( y? )
c1 四、验证函数 y ? c1 e ?x ? c 2 e ? ?x ? ( , 满足关系式 y ?? ? ? 2 y ? 0 .

,c 2 是常数)

五、下列函数的 n 阶导数: 1 、 y ? e x cos x ; 1? x 2、 y ? ; 1? x x3 3、 y ? 2 ; x ? 3x ? 2 4、 y ? sin x sin 2 x sin 3 x .

练习题答案
一、1、? 2e ? t cos t ; 2、2 sec 2 x tan x ;
2x x2 2 2 xe ( 3 ? 2 x ); 3、2 arctan x ? ; 4 、 2 1? x 5、2 f ?( x 2 ) ? 4 x 2 f ??( x 2 ) ; 6、207360; 7、n ! ; 8、( n ? 1)! . 5 3 ?2 ?3 4 ? x ? 8 x 二、1、 ; 4 2 sin 2 x cos 2 x ? 2、 ? 2 cos 2 x ? ln x ? ; 2 x x x 3、 3 . (1 ? x 2 ) 2

五、1 、 ( 2 ) e cos( x ? n ) ; 4 2 ? n! n 2 、 ( ?1) ; n?1 (1 ? x ) 8 1 n ? ], ( n ? 2) ; 3 、 ( ?1) n![ n?1 n?1 ( x ? 2) ( x ? 1) 1 n n? ) 4 、 [2 sin( 2 x ? 4 2 n? n? n n ) ? 6 sin( 6 x ? )] . + 4 sin( 4 x ? 2 2
n x

?


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