河南省驻马店市2016-2017学年高一数学下学期期末试卷 文(含解析)

20162017学年河南省驻马店市高一(下)期末数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的代号为A, B,C,D的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (2015春?驻马店期末)已知角α的终边与圆x2+y2=4相交于点P(1,﹣ ),则s inα的值为()

A.﹣

B.



C.

D.

考点:任意角的三角函数的定义.

专题:函数的性质及应用.

分析:根据三角函数的定义进行求解即可.

解答:

解:角α的终边与圆x2+y2=4相交于点p(1,﹣ ),

则r=|OP|=2,

则sinα=

=﹣ ,

故选:A. 点评:
本题主要考查三角函数值的求解,根据三角函数的定义是解决本题的关键 .

-1-

2. (2013?北京校级模拟)在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图是

()

A.(1)(2)

B.

(1)(3)

C.(2)(4)

D.(2)(3)

考点:散点图.

分析:

仔细观察图象,寻找散点图间的相互关系,主要观察这些散点是否围绕一

条曲线附近排列着,由此能够得到正确答案.

解答:

解:散点图(1)中,所有的散点都在曲线上,所以(1)具有函数关系;

散点图(2)中,所有的散点都分布在一条直线的附近,所以(2)具有相关关系



散点图(3)中,所有的散点都分布在一条曲线的附近,所以(3)具有相关关系



散点图(4)中,所有的散点杂乱无章,没有分布在一条曲线的附近,所以(4)

没有相关关系.

故选D.

点评:本题考查散点图和相关关系,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

3.

(2015春?驻马店期末)某学校高三年级一班共有60名学生,现采用系统抽样的

方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查,为此将学生编号为1、2、…、6

0,选取的这6名学生的编号可能是()

A. 1,2,3,4,5,6

B.6,16,26,36,46,56

-2-

C. 1,2,4,8,16,32 考点:系统抽样方法. 专题:阅读型. 分析:

D.3,9,13,27,36,54

根据系统抽样的定义,从60名学生中抽取6名学生,编号的间隔为 =10,

依次判断可得答案. 解答:
解:根据系统抽样的定义,从60名学生中抽取6名学生,编号的间隔为 =

10,

∴编号组成的数列应是公差为10的等差数列,

故选B.

点评:本题考查了系统抽样方法的特征.

4. (2015?陕西校级模拟)已知x、y取值如表:

x01456

y 1.3 m 3m 5.6 7.4 画散点图分析可知:y与x线性相关,且求得回归方程为 =x+1,则m的值(精确到

0.1)为()

A.1.5

B.

1.6

C.1.7 D.

1.8

考点:线性回归方程.

专题:计算题;概率与统计.

分析:将 解答:

代入回归方程为

可得

,则4m=6.7,即可得出结论.

解:将 ,

代入回归方程为

可得

,则4m=6.7,解得m=1.675

即精确到0.1后m的值为1.7.

-3-

故选:C. 点评:本题考查线性回归方程,考查学生的计算能力,属于基础题. 5. (2014?闸北区三模)执行如图所示的程序框图.若输入x=3,则输出k的值是( )

A.3

B.

4 C.

5 D. 6

考点:程序框图.

专题:算法和程序框图.

分析:

根据框图的流程依次计算程序运行的结果,直到满足条件x>24,跳出循环

体,确定输出k的值.

解答:

解:由程序框图知:当输入x=3时,第一次循环x=3+5=8,k=1;

第二次循环x=8+5=13,k=2;

第三次循环x=13+5=18,k=3;

第四次循环x=18+5=23,k=4;

第五次循环x=23+5=28,k=5.

满足条件x>24,跳出循环体,输出k=5.

故选:C.

-4-

点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算程序运行的结
果是解答此类问题的常用方法. 6.
(2010?福建)将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位.若所得

图象与原图象重合,则ω的值不可能等于()

A.4

B.

6 C.

考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

专题:计算题.

分析:

8 D. 12

由题意将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位.若所得图

象与原图象重合,说明 是函数周期的整数倍,求出ω与k,的关系,然后判断

选项. 解答:

解:因为将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位.

若所得图象与原图象重合,所以 是已知函数周期的整数倍,即k? = (k∈Z
), 解得ω=4k(k∈Z),A,C,D正确. 故选B. 点评:
本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识, 是已知函数周期的整
数倍,是本题解题关键.

-5-

7. (2014?海淀区校级模拟)已知向量 垂直,则x的值为()

A.

B.

C.

,如果向量 D. 2

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系.

专题:计算题.

分析:先求出

向量

的坐标,再由两个向量垂直的坐标等价条件,列出方程求出x的

值.

解答:

解:∵向量



∴ =(3+2x,4﹣x),

∵向量

垂直,

∴﹣2(3+2x)+(4﹣x)=0,

解得x=﹣ ,

故选A.

点评:

本题考查了两个向量垂直的性质应用,两个向量坐标形式的运算,主要利

用数量积为零进行运算.

8.

(2015春?驻马店期末)设扇形的半径长为2cm,面积为4cm2,则扇形的圆心角的

弧度数是()

A.4

B.

3 C.

2 D. 1

考点:弧度制的应用.

专题:三角函数的求值.

分析:

设扇形的弧长为2,根据扇形的半径和面积,利用扇形面积公式列式算出l=

4,再由弧度的定义加以计算,即可得到该扇形的圆心角的弧度数.

-6-

解答:

解:设扇形的圆心角的弧度数是α,弧长为l,

∵扇形的半径长r=2cm,面积S=4cm2,

∴S= lr,即4= ×l×2,解之得l=4,

因此,扇形圆心角的弧度数是α= = =2.

故选:C.

点评:

本题给出扇形的半径和面积,求圆心角的大小.考查了扇形的面积公式和

弧度制的定义等知识,属于基础题.

9.

(2015春?驻马店期末)已知直线l的方程x=a,a∈R,分别交曲线y=πsinx和y=

πcosx不同的两点M,N,则线段|MN|的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

考点:正弦函数的图象;余弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:
由题意可得|MN|=π|sina﹣cosa|= π|sin(a﹣ )|,求得线段|MN|的

最值,可得它的范围.

解答:

解:由题意可得|MN|=π|sina﹣cosa|= π|sin(a﹣ )|,

故线段|MN|的最小值为0,最大值为 π, 故选:B. 点评:本题主要考查两角和差的正弦函数,正弦函数的值域,属于基础题. 10. (2014?银川校级模拟)已知A(xA,yA)是单位圆上(圆心在坐标原点O)任意一
-7-

点,射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB交单位圆于点B(xB,yB),则xA﹣yB的最大 值为()

A.

B.

C.

1 D.

考点:两角和与差的正弦函数.

专题:直线与圆.

分析: 由题意可得:xA=cosθ,

.可得xA﹣yB=cosθ﹣sin(

θ+30°),利用两角和的正弦公式、余弦函数的单调性即可得出.

解答:

解:由题意可得:xA=cosθ,



∴xA﹣yB=cosθ﹣sin(θ+30°)=

=

=

≤1.

∴xA﹣yB的最大值为1. 故选C. 点评:
本题考查了单位圆、两角和的正弦公式、余弦函数的单调性,属于基础题 . 11. (2013?临沂三模)函数y=sin(πx+φ)(φ>0)的部分图象如图所示,设P是 图象的最高点,A,B是图象与x轴的交点,则tan∠APB=()

A.10

B.

8 C.

D.

-8-

考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的正切函数.

专题:计算题.

分析:

由解析式求出函数的周期与最值,做出辅助线过p作PD⊥x轴于D,根据周期

的大小看出直角三角形中直角边的长度,解出∠APD与∠BPD的正切,利用两角和

的正切函数求出tan∠APB.

解答:

解:函数y=sin(πx+φ)

∴T=

,最大值为1,

过p作PD⊥x轴于D,则AD是四分之一个周期,有AD= ,DB= ,DP=1,

在直角三角形中有tan∠APD= 与tan∠BPD= ,

所以tan∠APB=tan(∠APD+∠BPD)=

=8.

故选B. 点评:
本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用,本题解 题的关键是看出函数的周期,把要求正弦的角放到直角三角形中,利用三角函数 的定义得到结果,本题是一个中档题目. 12. (2015春?驻马店期末)已知定义在R上的函数y=f(x),其周期为2,且x∈(﹣

1,1)时f(x)=1+x2,函数g(x)=

,则函数h(x)=f(x)

﹣g(x)在区间上的零点个数为()

A.11

B.

10 C.

考点:函数零点的判定定理.

-9-

9 D. 8

专题:函数的性质及应用.

分析:分别研究:f(x)=g(x)在区间上,有6个交点,即可得出结论.

解答:

解:①x<0时,由题意,f(x)=g(x),

画出函数f(x),g(x)在上,由图象可得有6个交点,零点有6个,

故选:D.

点评:

键是把函数有零点的问题,转化成两函数在某区间内有交点的问题,属中

档题.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中横线上.

13. (2015春?驻马店期末)计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为 .

考点:两角和与差的正弦函数. 专题:计算题. 分析:两角差的正弦公式逆用,得特殊角的正弦值,可求. 解答:
解:sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin(43°﹣13°)=sin30°= ,

故答案为 .
点评:本题考查两角和与差的正弦函数,此公式不仅要会正用,也要会逆用. 14. (2015春?驻马店期末)已知向量 =(2,3), =(﹣4,1),则向量 在向量 方向上的投影为﹣ .

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用.
- 10 -

分析: 根据投影的计算公式,所求投影为

,从而根据数量

积的坐标运算及根据坐标求向量长度的公式即可求出答案.

解答:

解:向量 在向量 方向上的投影为:

=



故答案为:



点评: 考查一个向量在另一个向量方向上投影的定义,及其计算公式,向量夹角
的余弦公式,数量积的坐标运算. 15. (2015春?驻马店期末)如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听 力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数 为16.8,则x,y的值分别为5、8.

考点:茎叶图.

专题:计算题;概率与统计.

分析:根据中位数与平均数的计算公式,结合图中数据,即可求出x,y的值.

解答:

解:根据茎叶图知,

甲的中位数是

10+x=15,

解得x=5;

- 11 -

乙的平均数为

=16.8,

解得y=8; ∴x,y的值分别为5、8. 故答案为:5、8. 点评:本题考查了中位数与平均数的计算问题,是基础题目.

16. (2015春?驻马店期末)已知函数g(x)=x+sinx,当x∈R时,函数g(x)单调递 增,定点M(﹣1,2),动点P(x,y)满足不等式g(y2﹣2y+3)+g(x2﹣4x+1) ≤0恒成立,则|PM|的取值范围.

考点:奇偶性与单调性的综合.

专题:函数的性质及应用.

分析:

判断函数f(x)的奇偶性和单调性,将不等式进行转化,利用点和圆的位

置关系,进行求解即可.

解答:

解:∵f(x)=x+sinx(x∈R),

∴f(﹣x)=﹣x﹣sinx=﹣(x+sinx)=﹣f(x),

即f(x)=x+sinx(x∈R)是奇函数,

∵g(y2﹣2y+3)+g(x2﹣4x+1)≤0,

∴g(y2﹣2y+3)≤﹣g(x2﹣4x+1)=g,

∵函数g(x)单调递增.

∴y2﹣2y+3≤﹣(x2﹣4x+1),

即(y2﹣2y+3)+(x2﹣4x+1)≤0,

∴(y﹣1)2+(x﹣2)2≤1,

∴不等式对应的平面区域为圆心为C(2,1),半径为1的圆及其内部.

- 12 -

则|CM|=

= =,

则|PM|的最大值为 +1,最小值为 ﹣1,

即 ﹣1≤|PM|≤ +1,

即|PM|的取值范围是.

故答案为:.

点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断以及两点间的距离的取值范围,
综合性较强,运算量较大,利用数形结合是解决本题的基本思想. 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 17.(2015春?驻马店期末)已知非零向量 、 满足|a|=1,且


(1)求| |;

(2)当

时,求向量

的夹角θ的值.

考点:数量积表示两个向量的夹角;向量的模;平面向量数量积的运算. 专题:计算题.

分析:

(1)由题意可得

= ,故



- 13 -

(2)利用两个向量夹角公式可得饿cosθ=

θ 的值.

解答:

解:(1)因为

= ,又0≤θ<180°,求得

,即

=,

所以

,故



(2)因为cosθ=

= ,又0≤θ<180°,故θ=45°

点评: 本题考查两个向量的数量积的定义,向量的模的定义,求向量的模的方法
,两个向量夹角公式的应用,求出| |的 值,是解题的关键. 18.
(2015春?驻马店期末)已知函数f(x)=2sin2( ﹣x)+2 sin(π﹣x)cosx

(1)求函数f(x)在上的单调递减区间. (2)在△ABC中,C> ,若f(c)=1+ ,2sinB=cos(A﹣C)﹣cos(A+C),

求A.

考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析:
利用诱导公式,倍角公式及辅助角公式,可将函数f(x)的解析式化为2s in(2x+ )+1,
(1)根据正弦函数的单调性及x∈,可得函数f(x)在上的单调递减区间. - 14 -

(2)由△ABC中,C> ,若f(c)=1+ ,2sinB=cos(A﹣C)﹣cos(A+C),

先求出C,进而可求出A.

解答:

解:∵函数f(x)=2sin2( ﹣x)+2 sin(π﹣x)cosx

=2cos2x+2 sinxcosx =cos2x+ sin2x+1 =2sin(2x+ )+1,

(1)由2x+ ∈,(k∈Z)得:
2x∈,(k∈Z), 即x∈,(k∈Z): 又由x∈得, 函数f(x)在上的单调递减区间为和 (2)由(1)知f(C)=2sin(2C+ )+1=1+ ,

则sin(2C+ )= ,

又由C> ,故2C+ = ,解得:C=
又∵2sinB=cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=2sinAsinC, ∴sinB=sinAsinC, 即sin( ﹣A)=sinAsin ,

即 sinA﹣ cosA= sinA,

- 15 -

即cosA=0,则A= . 点评:
本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质 ,解三角形,难度中档. 19. (2015春?驻马店期末)某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了 这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正 整数,满分为100分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的 频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
(Ⅰ)写出a,b,x,y的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2 名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的2名同学来自同一组的 概率. 考点:频率分布直方图;频率分布表;古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计.
- 16 -

分析: (I)利用频率=

×100%,及 表示频率分布直方图的纵坐标即

可求出a,b,x,y; (II)由(I)可知第四组的人数,已知第五组的人数是2,利用组合的计算公式 即可求出从这6人中任选2人的种数,再分两类分别求出所选的两人来自同一组的 情况,利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出.

解答:

解:(Ⅰ)由题意可知,样本容量= =50,∴b= =0.04,

第四组的频数=50×0.08=4, ∴a=50﹣8﹣20﹣2﹣4=16. y= =0.004,x= × =0.032.

∴a=16,b=0.04,x=0.032,y=0.004. …(8分) (Ⅱ)由题意可知,第4组有4人,第5组有2人,共6人.…(9分) 从竞赛成绩是8(0分)以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有C =15种情 况. …(10分) 记事件A:随机抽取的2名同学来自同一组,则

P(A)=

= .…(13分)

所以,随机抽取的2名同学来自同一组的概率是 . …

点评: 熟练掌握频率=

×100%,及 表示频率分布直方图的纵坐标、频

率之和等于1、互斥事件的概率、组合的计算公式及古典概型的计算公式是解题 的关键.

- 17 -

20. (2015春?驻马店期末)已知向量 =(cos ,sin ), =(cos ,﹣sin

),且x∈
(1)求| + |的取值范围; (2)若f(x)= ? ﹣| + |,试求f(x)的最小值,并求出此时x的值.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:
(1)先求向量 的坐标,从而写出其长度|

|=2|sinx|,由x∈

便知﹣1≤sinx≤1,这样便可得出

的取值范围;

(2)求出

,从而得出f(x)=cos2x﹣2|sinx|=

,显然可知|sinx|=1时,f(x)取到最小值﹣3.

解答:

解:(1)





=

=







∴﹣1≤sinx≤1;

∴0≤|sinx|≤1;



的取值范围为;

(2)



∴f(x)=cos2x﹣2|sinx|=﹣2|sinx|2﹣2|sinx|+1=



- 18 -

∴|sinx|=1时,f(x)取最小值﹣3. 点评:
考查向量坐标的加法运算,根据向量的坐标求向量长度的公式,以及两角 差的余弦公式,二倍角的余弦公式,配方求二次函数最值的方法,要熟悉正弦函 数的图象. 21. (2015春?驻马店期末)设函数f(x)=x2+2ax﹣b2+4 (1)若a是从0,1,2三个数中任取的一个数,b是从﹣2,﹣1,0,1,2五个数 中任取的一个数,求函数f(x)有零点的概率; (2)若a是从区间上任取的一个数,b是从区间上任取的一个数,求函数g(x)= f(x)+5无零点的概率. 考点:几何概型;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析:
(Ⅰ)问题等价于a2+b2≥4,列举可得基本事件共有15个,事件A包含6个基 本事件,可得概率;(Ⅱ)作出图形,由几何概型的概率公式可得. 解答:
解:(Ⅰ)函数f(x)=x2+2ax﹣b2+4有零点等价于方程x2+2ax﹣b2+4=0有 实根, 可得△=(2a)2﹣4(﹣b2+4)≥0,可得a2+b2≥4 记事件A为函数f(x)=x2+2ax﹣b2+4有零点, 总的基本事件共有15个:(0,﹣2,),(2,﹣1),(2,﹣2),(0,﹣1) , (1,﹣1),(1,﹣2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1 ), (1,2),(2,0),(2,1),(2,2),事件A包含9个基本事件,
∴P(A)=
(Ⅱ)如图,试验的全部结果所构成的区域为(矩形区域) - 19 -

函数g(x)=f(x)+5无零点表示事件A,所构成的区域为A={(a,b)|a2+b2<9 且(a,b)∈Ω}即图中的阴影部分.

∴P(A)=



点评:

本题考查古典概型和几何概型,关键是首先明确概率模型,然后根据根式

解答;属基础题

22.

(2007?海南)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q,过

点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B.

(Ⅰ)求k的取值范围;

(Ⅱ)是否存在常数k,使得向量

与 共线?如果存在,求k值;如果不存

在,请说明理由.

考点:直线和圆的方程的应用;向量的共线定理.

专题:计算题;压轴题.

分析:

(Ⅰ)先把圆的方程整理成标准方程,进而求得圆心,设出直线方程代入

圆方程整理后,根据判别式大于0求得k 的范围,

(Ⅱ)A(x1,y1),B(x2,y2),根据(1)中的方程和韦达定理可求得x1+x2的

表达式,根据直线方程可求得y1+y2的表达式,进而根据以

与 共线可推知

(x1+x2)=﹣3(y1+y2),进而求得k,根据(1)k的范围可知,k不符合题意.

- 20 -

解答: 解:(Ⅰ)圆的方程可写成(x﹣6)2+y2=4,所以圆心为Q(6,0),过P
(0,2) 且斜率为k的直线方程为y=kx+2. 代入圆方程得x2+(kx+2)2﹣12x+32=0, 整理得(1+k2)x2+4(k﹣3)x+36=0. ① 直线与圆交于两个不同的点A,B等价于△=﹣4×36(1+k2)=42(﹣8k2﹣6k)>0 ,

解得

,即k的取值范围为



(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),则



由方程①,



又y1+y2=k(x1+x2)+4. ③





所以

与 共线等价于(x1+x2)=﹣3(y1+y2),

将②③代入上式,解得



由(Ⅰ)知

,故没有符合题意的常数k.

点评: 本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用.常需要把直线方程与圆的方
程联立,利用韦达定理和判别式求得问题的解.

- 21 -


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