A版高中数学选修2-2第一章 1-5定积分的概念教案 精品

1.5 定积分的概念 教学目标: 1、通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ; 2、 借 助 于 几 何 直 观 定 积 分 的 基 本 思 想 , 了 解 定 积 分 的 概 念 , 能 用 定 积 分 法 求 简 单 的定积分. 3、理解掌握定积分的几何意义; 教学重点:定 积 分 的 概 念 、 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义. 教学难点:定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义. 教学过程: 一.创设情景 复习: 1. 回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步骤: 分割→以直代曲→求和→取极限(逼近 2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. 二.新课讲授 1.定积分的概念 一般地,设函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续,用分点 a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? xi ?1 ? xi ? ? xn ? b b?a ) ,在每个小区间 n 将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ?x ( ?x ? ? xi?1 , xi ? 上取一点 ?i ?i ? 1,2, , n? ,作和式: Sn ? ? f (?i )?x ? ? i ?1 n b?a f (?i ) n i ?1 n 如果 ?x 无限接近于 0 (亦即 n ??? )时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分。记为: S ? ? b a f ( x)dx 其中 f ( x) 成为被积函数, x 叫做积分变量, [ a, b] 为积分区间, b 积分上限, a 积分下限。 说明: (1)定积分 ? b a f ( x)dx 是一个常数,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ??? 时)称为 ? b a f ( x)dx ,而不是 Sn . (2)用定义求定积分的一般方法是:①分割: n 等分区间 ?a , b? ;②近似代替:取点 ?i ?? xi ?1 , xi ? ;③求和: ? i ?1 n n b b?a b?a f (?i ) ;④取极限: ? f ( x)dx ? lim ? f ??i ? a n ?? n n i ?1 (3)曲边图形面积: S ? 变力做功 W ? ? f ? x ?dx ;变速运动路程 S ? ? a b t2 t1 v(t )dt ; ? b a F (r )dr 2.定积分的几何意义 说明:一般情况下,定积分 ? b a f ( x)dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直线 x ? a , x ? b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积去负 号. (可以先不给学生讲) . 分析:一般的,设被积函数 y ? f ( x) ,若 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上可取负值。 考察和式 f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ? 不妨设 f ( xi ), f ( xi ?1 ), 于是和式即为 ? f (xi )?x ? ? f ? xn ? ?x , f ( xn ) ? 0 f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ? b a ? f ( xi?1 )?x ? {[? f ( xi )?x] ? ? [? f ? xn ? ?x]} ? ? f ( x)dx ? 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的面积) 2.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 性质 2 性质 3 ? 1dx ? b ? a a b ? b a b kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (其中 k 是不为 0 的常数) (定积分的线性性质) a b 1 2 a b ? [ f ( x) ? f ( x)]dx ? ? a f1( x)dx ? ? f 2 (x)dx a b (定积分的线性性质) 性质 4 加性) ? a b f ( x)dx ? ? f (x)dx ? ? f (x )dx ( 其中a ? c ? b ) (定积分对积分区间的可 a c c b 说明:①推广: ②推广: ? [ f ( x) ? f ( x ) ? a 1 2 b ? f m ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ? a a b b ? ? f m ( x) a b ? b a f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? a c1 c1 c2 ? ? f ( x)dx ck b ③性质解释: y 性质 4 性质 1 y=1 M O a P y A C B O a b x N b x S曲边梯形AMNB ? S曲边梯形AMPC ? S曲边梯形CPNB 三.典例分析 例 1.计算定积分 ? 2 1 ( x ? 1)dx 5 。 2 y 分析:所求定积分即为如图阴影部分面积,面积为 即: ? 2 1 ( x ? 1)dx ? 5 2 思考:若改为计算定积分 ? 2 ?2 ( x ? 1)dx 呢? 改变了积分上、下限,被积函数在 [?2, 2] 上出现了负值 如何解决呢?(后面解决的问题) o 1 2 x 四.课堂练习 计算下列定积分 1. 2. ? ? 5 0 1 (2 x ? 4)dx x dx ? ? 1 ?1 5 0 (2 x ? 4)dx ? 9 ? 4 ? 5 ?1 1 1 x dx ? ? 1? 1

相关文档

人教版A版高中数学选修2-2第一章+1.5《定积分的概念》【教案】
高中数学 第一章《1.5定积分的概念》教案 新人教A版选修2-2
高中数学人教A版选修2-2第一章1.5《定积分的概念》教案
【精选】高中数学人教A版选修2-2第一章1.5《定积分的概念》教案-数学
高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念教案新人教A版选修2_2
电脑版