2019-2020学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.1指数与指数幂的运算学案新人教A版必修.doc

2019-2020 学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.1 指数与指数幂的运 算学案新人教 A 版必修
一、学习目标: 1.理解分数指数幂的概念 ; 3.会对根式、分数指数幂进行互化; 二、学法指导: 1.本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂,并给出了有理指数幂的运算性质在分数指数 幂概念之后,课本也注明“若 a>0, p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数” 2.在利用根式的运算性质对根式的化简过程,注意发现并归纳其变形特点,进而由特殊情形归纳出 一般规律. 3. 在掌握了有理指数幂的运算性质后,进一步将其推广到实数范围内,但无须进行严格的推证,由 此让体会发现规律,并由特殊推广到一般的研究方法.
p

2. 掌握有理指数幂的运算性质; 4.能够应用联系观点看问题

三、知识要点 1.规定: (1)正数的正分数指数幂的意义是 a n ? n am a ? 0, ; m, n ? N ? , n ? 1 (2)正数的负分数指数幂的意义是 a ? n ?
m

m

?

?
?

1 a
m n

?

1
n

a

m

? a=? 0, m, n ? N
? 2? ? ar ?
s

.? 1? ,n

2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用

?1? ar as ? ar ?s ? a ? 0, r, s ?Q?
? 3?? ab ?
r

? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ?

? a r b r ? a ? 0, b ? 0, r ? Q ?

四、教学过程: (一)复习: (提问)

a m ? a n ? a m? n (m, n ? Z )
1.整数指数幂的运算性质:

(a m ) n ? a mn (m, n ? Z ) (ab) n ? a n ? b n (n ? Z )

2.根式的运算性质:①当 n 为任意正整数时,( n a ) =a. ②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ? (二)新课讲解: 1.分数指数幂:
5

n

?a(a ? 0) . ?? a(a ? 0)

a10 ? a 2 ? a 5 ? a ? 0?

10

3

a12 ? a 4 ? a 3 ? a ? 0?

12

即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式; 如果幂的运算性质(2) a
3

? ?

k n

? a kn 对分数指数幂也适用,
4
4 4

2 2 5 ?3 ?4 ? 2? ? 5? 2 5 3 2 例如:若 a ? 0 ,则 ? a 3 ? ? a 3 ? a , ? a 4 ? ? a 4 ? a , ∴ a ? a 3 ? ? ? ?

a5 ? a 5 .

即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定: (1)正数的正分数指数幂的意义是 a n ? n am a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1 ; (2)正数的负分数指数幂的意义是 a
m ?n

m

?

?

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

? a ? 0, m, n ? N

?

, n ? 1? .

2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即

?1? ar as ? ar ?s ? a ? 0, r, s ?Q?
r

? 2? ? ar ?

s

? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ?

? 3?? ab ?

? a r b r ? a ? 0, b ? 0, r ? Q ?

说明: (1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用; (2)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没意义。

(三)例题分析:

例 1.求值:

8 ,

2 3

100 ,

?

1 2

?1? ? ? , ?4?

?3

? 16 ? 4 ? ? . ? 81 ?

?

3

例 2. 用分数指数幂的形式表示下列各式 ? a ? o ? :

a2 ? a ,
2
2 1 2

a3 ? 3 a2 ,
2? 1 2

a a.

解: a ? a = a ? a ? a
3 3 2
3 2 3 11 3

?a ;

5 2

a ? a =a ?a ? a ;
1 2 3 ? ? ? 3 ?2 a a = ? a ? a2 ? ? ? a2 ? ? a4 . ? ? ? ? 1 1

例 3.计算下列各式的值(式中字母都是正数) .
1 5 1 1 ? 2 1 ?? ? ? ? (1) ? 2a 3 b 2 ?? ?6a 2 b 3 ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ; ? ?? ? ? ?

? 1 ?3 ? (2) ? m 4 n 8 ? ; ? ?

8

分析: (1)题可以仿照单项式乘除法进行,首先是系数相乘除,然后是同底数幂相乘除,并且要注 意符号(2)题按积的乘方计算,而按幂的乘方计算,等熟练后可简化计算步骤

1 5 1 1 1 2 1 1 1 1 5 ? ? ? ? ? 2 ?? ? ? ? 3 2 6 6 2 3 3 2 6 2 3 6 = 4ab 0 ? 4a ; 解(1) ? 2a b ?? ?6a b ? ? ? ?3a b ? = ? 2 ? ? 6 ? ? 3 a b ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
3 3 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?8 m2 2 ?3 8 4 4 (2) ? m n ? = ? m ? ? n ? = m n ? 3 . n ? ? ? ? ? ? 8 8 8

例 4.计算下列各式: (1)

?

3

5 ? 125 ? 4 5

?

(2)

a2 a 3 a2

? a ? 0? .

分析: (1)题把根式化成分数指数幂的形式,再计算

(2)题先把根式化成分数指数幂的最简形式,然后计算 解: (1)

?

3

2 1 3 1 5 5 3 ? 2 ? 1 3 4 2 4 12 3 2 4 5 ? 125 ? 5 = ? 5 ? 5 ? ? 5 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 5 ? 5 4 = 12 55 ? 5 4 5 ; ? ?

?

4

(2)

a2 a a
3 2

=

a2 a a
1 2 2 3

? a ? 6 a5 .

5 6

五、课堂小练 课本 P76 练习 1.用根式的形式表示下列各式(a>0)
1 3

a5 ,a4 ,a 5 ,a

?

3

?

2 3

2.用分数指数幂表示下列各式: (1) 3 x 2
2 (3) 3 ( m ? n ) 3 (2) 4 ( a ? b) (a+b>0) 4 (4) ( m ? n ) (m>n)

(5)

p 6 ? q 5 (p>0)

(6)

m3 m

六、课堂小结: 1.学习了分数指数幂的概念和运算性质; 2.会熟练的利用有理数指数幂的运算性质进行分数指数幂和根式的运算。


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