2016年辽宁省大连市2016届高三双基测试数学试卷(文科)(解析版)

2016 年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷(文科)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U={2,4,6,8,10},集合 A={2},B={8,10},则?U(A∪B)=( ) A.{4,6} B.{4} C.{6} D.? 2.已知复数 z=1+i,则 z4=( ) A.﹣4i B.4i C.﹣4 D.4 3.已知函数 f(x)定义域为 R,则命题 p:“函数 f(x)为偶函数”是命题 q:“? x0∈R,f (x0)=f(﹣x0)”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在区间[0,π]上随机地取一个数 x,则事件“snx≤ ”发生的概率为( A. B. C. D. ) )

5.执行如图的程序框图,输出的 C 的值为(

A.3 B.5 C.8 D.13 6. b, β, 已知互不重合的直线 a, 互不重合的平面 α, 给出下列四个命题, 错误的命题是 ( ) A.若 a∥α,a∥β,α∩β=b,则 a∥b B.若 α⊥β,a⊥α,b⊥β 则 a⊥b C.若 α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则 a⊥αD.若 α∥β,a∥α,则 a∥β 7. 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所 得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人 所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得 多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位) .这个问题中,甲所得为( ) A . 钱 B. 钱 C. 钱 D . 钱 8.已知直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、B 两点,且|AB|= A.±1 B.± C.± D.±
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,则实数 m=(



9.已知点(x,y)满足不等式组

,则 z=x﹣2y 的最大值为(



A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.2 10.△ABC 中,AB=2,AC=3,∠B=60°,则 cosC=( A. B. C. D.



11. O 为坐标原点, 若抛物线 y2=4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2, 则△OFP 的面积为 ( A. B.1 C. D.2



12.函数 f(x)是定义在 R 上的单调函数,且对定义域内的任意 x,均有 f(f(x)﹣x3) =2,则 f(2)=( ) A.0 B.8 C.9 D.10 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.双曲线 x2﹣2y2=1 的渐近线方程为______. 14.数列{an}前 n 项和 Sn=2n,则 a3+a4=______. 15.已知向量 、 满足| |=1,| |=1, 与 的夹角为 60°,则| +2 |=______. 16.如图,在小正方形边长为 1 的网格中画出了某多面体的三视图,则该多面体的外接球表 面积为______.

三.解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π)经过点( 在区间( , ) ,上为单调函数. ,﹣2) , ( ,2) ,且

(Ⅰ)求 ω,φ 的值; (Ⅱ)设 an=nf( ) (n∈N*) ,求数列{an}的前 30 项和 S30.

18.2015 年“双十一”当天,甲、乙两大电商进行了打折促销活动,某公司分别调查了当天 在甲、乙电商购物的 1000 名消费者的消费金额,得到了消费金额的频数分布表如下: 甲电商: 消费金额 (单 [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5] 位:千元) 50 200 350 300 100 频数 乙电商:
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消费金额 (单 [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5] 位:千元) 250 300 150 100 200 频数 (Ⅰ) 根据频数分布表, 完成下列频率分布直方图, 并根据频率分布直方图比较消费者在甲、 乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小 (其中方差大小给出判断即可, 不必说明理 由) ;

(Ⅱ)运用分层抽样分别从甲、乙 1000 名消费者中各自抽出 20 人放在一起,在抽出的 40 人中, 从消费金额不小于 4 千元的人中任取 2 人, 求这 2 人恰好是来自不同电商消费者的概 率. 19. PA⊥面 ABCD, 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 3 的菱形, ∠ABC=60°, 且 PA=3.E 为 PD 中点,F 在棱 PA 上,且 AF=1 (Ⅰ)求证:CE∥面 BDF; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣BDF 的体积.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,过

F2 作垂直于 x 轴的直线 l1 交椭圆 C 于 A,B 两点,且满足|AF1|=7|AF2| (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; N 两点. O 为坐标原点, (Ⅱ) 过 F1 作斜率为 1 的直线 l2 交 C 于 M, 若△OMN 的面积为 求椭圆 C 的方程. 21.设函数 f(x)=﹣lnx+ax2+(1﹣2a)x+a﹣1, (x∈(0,+∞) ,实数 a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 f(x)>0 在 x∈(0,1)恒成立,求实数 a 的取值范围. [选修 4-1:几何证明选(共 1 小题,满分 10 分) 22.如图,AB 是⊙O 的直径,DA⊥AB,CB⊥AB,DO⊥CO (Ⅰ)求证:CD 是⊙O 的切线;
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(Ⅱ)设 CD 与⊙O 的公共点为 E,点 E 到 AB 的距离为 2,求

+

的值.

[选修 4-4:坐标系与参数方程](共 1 小题,满分 0 分) 23.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: C2: (φ 为参数,实数 a>0) ,曲线

(φ 为参数,实数 b>0) .在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐 )与 C1 交于 O、A 两点,与 C2 交于 O、B 两点.当

标系中,射线 l:θ=α(ρ≥0,0≤α≤ α=0 时,|OA|=1;当 α=

时,|OB|=2.

(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值. [选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 24.设函数 f(x)=|2x+a|+|x﹣ |(x∈R,实数 a<0) . (Ⅰ)若 f(0)> ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求证:f(x)≥ .

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2016 年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U={2,4,6,8,10},集合 A={2},B={8,10},则?U(A∪B)=( ) A.{4,6} B.{4} C.{6} D.? 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】根据并集与补集的定义,进行运算即可. 【解答】解:∵U={2,4,6,8,10},集合 A={2},B={8,10}, ∴A∪B={2,8,10}, ∴?U(A∪B)={4,6}. 故选:A. 2.已知复数 z=1+i,则 z4=( ) A.﹣4i B.4i C.﹣4 D.4 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:∵z=1+i,∴z2=(1+i)2=2i, 则 z4=(2i)2=﹣4. 故选:C. 3.已知函数 f(x)定义域为 R,则命题 p:“函数 f(x)为偶函数”是命题 q:“? x0∈R,f (x0)=f(﹣x0)”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据函数奇偶性的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:若函数 f(x)为偶函数,则? x∈R,f(﹣x)=f(x) ,则? x0∈R,f(x0)=f (﹣x0)成立,则充分性成立, 若 f(x)=x2,﹣1≤x≤2,满足 f(﹣1)=f(1) ,但函数 f(x)不是偶函数,故必要性不 成立, 即 p 是 q 的充分不必要条件, 故选:A.

4.在区间[0,π]上随机地取一个数 x,则事件“snx≤ ”发生的概率为( A. B. C. D.



【考点】几何概型. 【分析】根据几何概型的概率公式进行求解即可. 【解答】解:∵0≤x≤π,
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∴由 snx≤ 得 0≤x≤



≤x≤π,

则事件“snx≤ ”发生的概率 P= 故选:D. 5.执行如图的程序框图,输出的 C 的值为(

=





A.3

B.5

C.8

D.13

【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算变量 C 的值并输出,模拟程序的运行,对程序运行过程中各变量的值进 行分析,不难得到输出结果. 【解答】解:模拟执行程序,可得 A=1,B=1,k=3 满足条件 k≤5,C=2,A=1,B=2,k=4 满足条件 k≤5,C=3,A=2,B=3,k=5 满足条件 k≤5,C=5,A=3,B=5,k=6 不满足条件 k≤5,退出循环,输出 C 的值为 5. 故选:B. 6. b, β, 已知互不重合的直线 a, 互不重合的平面 α, 给出下列四个命题, 错误的命题是 ( ) A.若 a∥α,a∥β,α∩β=b,则 a∥b B.若 α⊥β,a⊥α,b⊥β 则 a⊥b C.若 α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则 a⊥αD.若 α∥β,a∥α,则 a∥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】由线线平行的性质定理能判断 A 的正误;由面面垂直和线面垂直的性质定理能判 断 B 的正误;由线面垂直的判定定理能判断 C 的正误;在 D 中,a∥β 或 a? β. 【解答】解:由互不重合的直线 a,b,互不重合的平面 α,β,知: 在 A 中,由于 α∩β=b,a∥α,a∥β, 过直线 a 作与 α、β 都相交的平面 γ, 记 α∩γ=d,β∩γ=c,
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则 a∥d 且 a∥c,∴d∥c. 又 d? α,α∩β=b, ∴d∥b.∴a∥b.故 A 正确; 在 B 中,若 α⊥β,a⊥α,b⊥β,则由面面垂直和线面垂直的性质得 a⊥b,故 B 正确; 在 C 中,若 α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则由线面垂直的判定定理得 a⊥α,故 C 正确; 在 D 中,若 α∥β,a∥α,则 a∥β 或 a? β,故 D 错误. 故选:D.

7. 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所 得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人 所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得 多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位) .这个问题中,甲所得为( ) A . 钱 B. 钱 C. 钱 D . 钱 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d,由题意 求得 a=﹣6d,结合 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5 求得 a=1,则答案可求. 【解答】解:依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d, 则由题意可知,a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d,即 a=﹣6d, 又 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1, 则 a﹣2d=a﹣2× 故选:B. 8.已知直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、B 两点,且|AB|= A.±1 B.± C.± D.± ,则实数 m=( ) = .

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】求出圆的圆心(0,0) ,半径 r=1 和圆心(0,0)到直线 y=x+m 的距离,根据直线 2 2 y=x+m 和圆 x +y =1 交于 A、B 两点,且|AB|= ,利用勾股定理能求出实数 m. 【解答】解:圆 x2+y2=1 的圆心(0,0) ,半径 r=1, 圆心(0,0)到直线 y=x+m 的距离 d= , ,

∵直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、B 两点,且|AB|= ∴由勾股定理得: ,
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即 1= 解得 m=

+ , .

故选:C.

9.已知点(x,y)满足不等式组

,则 z=x﹣2y 的最大值为(



A.﹣7 B.﹣1 C.1

D.2

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,利用数形结合即可得到结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=x﹣2y,得 y= 平移直线 y= 最小, 此时 z 最大, 由 ,解得 , , ,由图象可知当直线 y= 经过点 B 时,直线 y= 的截距

即 B(5,2) , 此时 zmax=5﹣2×2=1. 故选:C.

10.△ABC 中,AB=2,AC=3,∠B=60°,则 cosC=( A. B. C. D.



【考点】正弦定理. 【分析】由已知及正弦定理可得 sinC= = ,又 AB<AC,利用大边对大角可得 C

为锐角,根据同角三角函数基本关系式即可求得 cosC 得值.
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【解答】解:∵AB=2,AC=3,∠B=60°, ∴由正弦定理可得:sinC= 又∵AB<AC,C 为锐角, ∴cosC= 故选:D. 11. O 为坐标原点, 若抛物线 y2=4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2, 则△OFP 的面积为 ( A. B.1 C. D.2 ) = . = = ,

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】利用抛物线的定义,求出 P 的坐标,然后求出三角形的面积. 【解答】解:由抛物线定义,|PF|=xP+1=2,所以 xP=1,|yP|=2, 所以,△PFO 的面积 S= 故选:B 12.函数 f(x)是定义在 R 上的单调函数,且对定义域内的任意 x,均有 f(f(x)﹣x3) =2,则 f(2)=( ) A.0 B.8 C.9 D.10 【考点】函数的值. 【分析】由题意得 f(x)﹣x3 是定值,令 f(x)﹣x3=t,得到 t3+t=2,求出 t 的值,从而求 出 f(x)的表达式,求出 f(2)即可. 【解答】解:∵函数 f(x)对定义域内的任意 x, 均有 f(f(x)﹣x3)=2, 则 f(x)﹣x3 是定值, 不妨令 f(x)﹣x3=t, 则 f(t)=t3+t=2,解得:t=1, ∴f(x)=x3+1, ∴f(2)=23+1=9, 故选:C. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.双曲线 x2﹣2y2=1 的渐近线方程为 y=± 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】将双曲线的方程化为标准方程,求得 a,b,由渐近线方程为 y=± x,即可得到所 求方程. 【解答】解:双曲线 x2﹣2y2=1 即为 x . |yP|= =1.

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x2﹣

=1,

可得 a=1,b=



渐近线方程为 y=± x, 即为 y=± x. x.

故答案为:y=±

14.数列{an}前 n 项和 Sn=2n,则 a3+a4= 12 . 【考点】数列递推式. 【分析】利用递推公式即可得出. 【解答】解:∵数列{an}前 n 项和 Sn=2n, ∴a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1. 则 a3+a4=22+23=12. 故答案为:12. 15.已知向量 、 满足| |=1,| |=1, 与 的夹角为 60°,则| +2 |= 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据条件进行数量积的计算便可得出 即可求出 的值. ; ; . . ,从而便可求出 .

,这样

【解答】解:根据条件, ∴ ∴ 故答案为:

16.如图,在小正方形边长为 1 的网格中画出了某多面体的三视图,则该多面体的外接球表 面积为 6π .

【考点】球的体积和表面积.

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【分析】由三视图知,该几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥,画出直观图,求出三棱锥 外接球的球心与半径,从而求出外接球的表面积. 【解答】解:由已知,可得该几何体是有一个侧面 PAC 垂直于底面,高为 2, 底面是一个等腰直角三角形的三棱锥,如图. 则这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上, ∵PD=BD=2, ∴由勾股定理可得 R2=4+(2﹣R)2,∴R=2, 即球心 O 为 AC 的中点, 则这个几何体的外接球的表面积为 S=4πR2=4π×22=16π. 故答案为:6π

三.解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π)经过点( 在区间( , ) ,上为单调函数. ,﹣2) , ( ,2) ,且

(Ⅰ)求 ω,φ 的值; (Ⅱ)设 an=nf( ) (n∈N*) ,求数列{an}的前 30 项和 S30.

【考点】数列的求和;正弦函数的图象. 【分析】 (Ⅰ)由题可得 (Ⅱ)化简 an=nf( +φ=2kπ﹣ ﹣ , +φ=2kπ+ , (k∈Z) ,从而解得; ﹣ )}

)=2nsin(

) (n∈N*) ,而数列{2sin( ,从而解得. , +φ=2kπ+

的周期为 3;从而可得 a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣ 【解答】解: (Ⅰ)由题可得 解得 ω=2,φ=2kπ﹣ ∵|φ|<π,∴φ=﹣ (Ⅱ)∵an=nf( 而数列{2sin( +φ=2kπ﹣

, (k∈Z) ;

(k∈Z) , . )=2nsin( ﹣ ﹣ ) (n∈N*) ,

)}的周期为 3;
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前三项依次为 2sin0=0,2sin

=

,2sin

=﹣



∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣ , ∴S30=(a1+a2+a3)+…+(a28+a29+a30)=﹣10



18.2015 年“双十一”当天,甲、乙两大电商进行了打折促销活动,某公司分别调查了当天 在甲、乙电商购物的 1000 名消费者的消费金额,得到了消费金额的频数分布表如下: 甲电商: 消费金额 (单 [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5] 位:千元) 50 200 350 300 100 频数 乙电商: 消费金额 (单 [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5] 位:千元) 250 300 150 100 200 频数 (Ⅰ) 根据频数分布表, 完成下列频率分布直方图, 并根据频率分布直方图比较消费者在甲、 乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小 (其中方差大小给出判断即可, 不必说明理 由) ;

(Ⅱ)运用分层抽样分别从甲、乙 1000 名消费者中各自抽出 20 人放在一起,在抽出的 40 人中, 从消费金额不小于 4 千元的人中任取 2 人, 求这 2 人恰好是来自不同电商消费者的概 率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【分析】 (Ⅰ)根据频数分布表,能作出频率分布直方图,根据频率分布直方图,能比较消 费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小. (Ⅱ) 运用分层抽样分别从甲的 1000 名消费者中抽出 20 人, 消费金额不小于 4 千元的人数 为 2 人, 运用分层抽样分别从乙的 1000 名消费者中抽出 20 人, 消费金额不小于 4 千元的人 数为 4 人,由此利用列举法能求出这 2 人恰好是来自不同电商消费者的概率. 【解答】解: (Ⅰ)频率分布直方图如下图所示,…

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甲的中位数在区间[2,3)内,乙的中位数在区间[1,2)内,所以甲的中位数大. 由频率分布图得乙的方差大.… (Ⅱ) 运用分层抽样分别从甲的 1000 名消费者中抽出 20 人, 消费金额不小于 4 千元的人数 为 2 人, 记作 a,b;运用分层抽样分别从乙的 1000 名消费者中抽出 20 人,消费金额不小于 4 千元 的人数为 4 人,记作 1,2,3,4. 在这六人中任意抽取两人,所得基本事件空间为: Ω={ab,a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,12,13,14,23,24,34},共计 15 个元素.… 把两人恰好是来自不同电商消费者这个事件记作 A, 则 A={a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4},共计 8 个元素. ∴P(A)= .…

19. PA⊥面 ABCD, 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 3 的菱形, ∠ABC=60°, 且 PA=3.E 为 PD 中点,F 在棱 PA 上,且 AF=1 (Ⅰ)求证:CE∥面 BDF; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣BDF 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)取 PF 中点 G,连接 EG,CG.连接 AC 交 BD 于 O,连接 FO.由三角形中 位线定理可得 FO∥GC,GE∥FD.然后利用平面与平面平行的判定得到面 GEC∥面 FOD, 进一步得到 CE∥面 BDF; (Ⅱ)由 PA 是三棱锥 P﹣ABD 的高,求出底面三角形 ABD 的面积,由三棱锥 P﹣BDF 的 体积等于三棱锥 P﹣ABD 的体积与三棱锥 F﹣ABD 的体积差求解. 【解答】证明: (Ⅰ)如图所示,取 PF 中点 G,连接 EG,CG. 连接 AC 交 BD 于 O,连接 FO. 由题可得 F 为 AG 中点,O 为 AC 中点, ∴FO∥GC; 又 G 为 PF 中点,E 为 PD 中点, ∴GE∥FD. 又 GE∩GC=G,GE、GC? 面 GEC, FO∩FD=F,FO,FD? 面 FOD. ∴面 GEC∥面 FOD. ∵CE? 面 GEC, ∴CE∥面 BDF; 解: (Ⅱ)∵PA⊥面 ABCD, ∴PA 是三棱锥 P﹣ABD 的高,
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又 ∴ 同理 ∴

, , . .

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,过

F2 作垂直于 x 轴的直线 l1 交椭圆 C 于 A,B 两点,且满足|AF1|=7|AF2| (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; N 两点. O 为坐标原点, (Ⅱ) 过 F1 作斜率为 1 的直线 l2 交 C 于 M, 若△OMN 的面积为 求椭圆 C 的方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)由已知推导出|AF1|=
2



,|AF2|= ,再由勾股定理得到得(

)2﹣( )

=4c2,由此能求出椭圆 C 的离心率. ,联立可得 =0,由

(Ⅱ)椭圆方程化为 x2+4y2=b2,直线 l 为:y=x+

此利用韦达定理、弦长公式,结合已知条件能求出椭圆 C 的方程. 【解答】解: (Ⅰ)∵椭圆 C: + =1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2

(c,0) , 过 F2 作垂直于 x 轴的直线 l1 交椭圆 C 于 A,B 两点,且满足|AF1|=7|AF2|, ∴由|AF1|+|AF2|=2a,|AF1|=7|AF2|, 解得|AF1|= ,|AF2|= ,… )2﹣( )2=4c2,

直角△AF1F2 中,由勾股定理得( ∴椭圆 C 的离心率 = .…

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(Ⅱ)椭圆方程化为 x2+4y2=b2,直线 l 为:y=x+ 联立可得 =0,…



设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 △OMN 的面积为: |y1﹣y2|= |x1﹣x2|= .…



,得|x1﹣x2|= = = ,…



∴b2=1,a2=4,∴椭圆 C 的方程为

21.设函数 f(x)=﹣lnx+ax2+(1﹣2a)x+a﹣1, (x∈(0,+∞) ,实数 a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 f(x)>0 在 x∈(0,1)恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (I)令 f′(x)=0 求出 f(x)的极值点,比较极值点的大小关系,利用二次函数的 性质得出 f(x)的单调性; (II)讨论 f(x)在(0,1)上的单调性,求出 f(x)的最小值,令 fmin(x)>0 解出 a 的 范围. 【解答】解(Ⅰ)f′(x)=﹣ +2a(x﹣1)+1= (x>0) .

设 g(x)=2ax2+(1﹣2a)x﹣1=(2ax+1) (x﹣1) , (1)当 a≥0 时,2ax+1>0.令 g(x)>0,得 x>1,令 g(x)<0,得 0<x<1. ∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. (2)当 a<0 时,g(x)图象开口向下,在(0,+∞)上有两个零点 1 和﹣ ①当 a=﹣ 时,﹣ ,

=1,此时当 g(x)>0,无解;g(x)<0,可得 x<1 或 x>1.

∴f(x)在(0,1) , (1,+∞)上单调递减,且函数 f(x)在(0,+∞)上不间断,即函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减. ②当﹣ <a<0 时,﹣ 可得 0<x<1 或 x ∴f(x)在(1,﹣ ③当 a<﹣ 时,0 得0 ∴f(x)在(﹣ 或 x>1. ,1)上单调递增;在(0,﹣ ) , (1,+∞)上单调递减. . )上单调递增;在(0,1) , (﹣ ,+∞)上单调递减. ;g(x)<0,可 ,此时当 g(x)>0,可得 1 ;当 g(x)<0,

,此时当 g(x)>0,可得﹣

(Ⅱ)函数 f(x)过(1,0)点,由(Ⅰ)得 a≥﹣ 时,f(x)在(0,1)为减函数,
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∴f(x)>f(1)=0,符合题意. 当 a<﹣ 时,f(x)在(0,﹣ ∴f(﹣ )递减,在(﹣ ,1)上单调递增,

)<f(1)=0,不符合题意.

∴a 的取值范围为[﹣ ,+∞) .

[选修 4-1:几何证明选(共 1 小题,满分 10 分) 22.如图,AB 是⊙O 的直径,DA⊥AB,CB⊥AB,DO⊥CO (Ⅰ)求证:CD 是⊙O 的切线; (Ⅱ)设 CD 与⊙O 的公共点为 E,点 E 到 AB 的距离为 2,求 + 的值.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (Ⅰ)证明 CO 是∠BCD 的平分线,圆心 O 到 CD 的距离等于半径,即可证明:CD 是⊙O 的切线; (Ⅱ)分类讨论,过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F,过 C 作 CG⊥AD 交 AD 于 G,交 EF 于 H, 由(Ⅰ)可得 DA=DE,CB=CE.在△CGD 中,有 【解答】 (Ⅰ)证明:由题可知 DA,BC 为⊙O 的切线. ∵∠DOC=90°,∴∠AOD+∠BOC=90°; ∵∠OBC=90°,∴∠OCB+∠BOC=90°; ∴∠AOD=∠OCB, ∴△AOD∽△BCO,∴ 又∵AO=OB,∴ = = , ,… ,即可求 + 的值.

∴Rt△OCD∽Rt△BCO,∴∠OCD=∠BCO, ∴CO 是∠BCD 的平分线,∴圆心 O 到 CD 的距离等于半径, ∴CD 是⊙O 的切线;… (Ⅱ)解:若 DA=CB,显然可得 + =1.…

若 DA≠CB,不妨设 DA>CB. 过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F,过 C 作 CG⊥AD 交 AD 于 G,交 EF 于 H. 由(Ⅰ)可得 DA=DE,CB=CE. 在△CGD 中, 有 ,即 = ,化简得 + =1.

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综上:

+

=1.…

[选修 4-4:坐标系与参数方程](共 1 小题,满分 0 分) 23.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: C2: (φ 为参数,实数 a>0) ,曲线

(φ 为参数,实数 b>0) .在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐 )与 C1 交于 O、A 两点,与 C2 交于 O、B 两点.当

标系中,射线 l:θ=α(ρ≥0,0≤α≤ α=0 时,|OA|=1;当 α=

时,|OB|=2.

(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (I)由曲线 C1: (φ 为参数,实数 a>0) ,利用 cos2φ+sin2φ=1 即可

化为普通方程, 再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程, 进而得出 a 的值. 同 理可得 b 的值. (II)由(I)可得 C1,C2 的方程分别为 ρ=cosθ,ρ=2sinθ.可得 2|OA|2+|OA|?|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ= 域即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)由曲线 C1: (φ 为参数,实数 a>0) , +1, 利用三角函数的单调性与值

化为普通方程为(x﹣a)2+y2=a2,展开为:x2+y2﹣2ax=0, 其极坐标方程为 ρ2=2aρcosθ,即 ρ=2acosθ,由题意可得当 θ=0 时,|OA|=ρ=1,∴a= . 曲线 C2: (φ 为参数,实数 b>0) ,

化为普通方程为 x2+(y﹣b)2=b2,展开可得极坐标方程为 ρ=2bsinθ, 由题意可得当 时,|OB|=ρ=2,∴b=1.

(Ⅱ)由(I)可得 C1,C2 的方程分别为 ρ=cosθ,ρ=2sinθ. ∴2|OA|2+|OA|?|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1= +1,

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∵2θ+ 当 2θ+

∈ = 时,θ=

,∴ 时取到最大值.

+1 的最大值为

+1,

[选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 24.设函数 f(x)=|2x+a|+|x﹣ |(x∈R,实数 a<0) . (Ⅰ)若 f(0)> ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求证:f(x)≥ . 【考点】绝对值不等式的解法;分段函数的应用. 【分析】 (Ⅰ)去掉绝对值号,解关于 a 的不等式组,求出 a 的范围即可; (Ⅱ)通过讨论 x 的范围,结合基本不等式的性质求出求出 f(x)的最小值即可. 【解答】 (Ⅰ)解:∵a<0,∴f(0)=|a|+|﹣ |=﹣a﹣ > , 即 a2+ a+1>0, 解得 a<﹣2 或﹣ <a<0;

(Ⅱ)证明:f(x)=|2x+a|+|x﹣ |=



当 x≥﹣ 时,f(x)≥﹣ ﹣ ; 当 <x<﹣ 时,f(x)>﹣ ﹣ ; 当 x≤ 时,f(x)≥﹣a﹣ , ∴f(x)min=﹣ ﹣ ≥2 当且仅当﹣ =﹣ 即 a=﹣ ∴f(x)≥ . 时取等号, = ,

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2016 年 9 月 20 日

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