polari.c0m:【初中数学】2016年四川省广安市中考数学试卷(解析版) 人教版

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2016 年四川省广安市中考数学试卷

一、选择题(每小题只有一个选项符合题意,请将正确选项涂在答题卡上,每小题 3 分,共 30 分) 1.﹣3 的绝对值是( )

A. B.﹣3 C.3 D.±3

2.下列运算正确的是( ) A.(﹣2a3)2=﹣4a6 B. =±3 C.m2?m3=m6

D.x3+2x3=3x3

3.经统计我市去年共引进世界 500 强外资企业 19 家,累计引进外资 410000000 美元,数字

410000000 用科学记数法表示为( )

A.41×107 B.4.1×108 C.4.1×109 D.0.41×109

4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A.

等边三角形 B.

平行四边行 C.

正五边形 D.

圆 5.函数 y=
A.

中自变量 x 的取值范围在数轴上表示正确的是( )

B.

C.

D.

6.若一个正 n 边形的每个内角为 144°,则这个正 n 边形的所有对角线的条数是( )

A.7 B.10 C.35 D.70

7.初三体育素质测试,某小组 5 名同学成绩如下所示,有两个数据被遮盖,如图:

编号

1

2

3

4

5

方差

平均成绩

得分

38

34



37

40



37

那么被遮盖的两个数据依次是( )

A.35,2 B.36,4 C.35,3 D.36,3

8.下列说法:

①三角形的三条高一定都在三角形内

②有一个角是直角的四边形是矩形

③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.如图,AB 是圆 O 的直径,弦 CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4 ,则 S 阴影=( )

A.2π B. π C. π D. π
10.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c ﹣m=0 有两个不相等的实数根,下列结论: ①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2, 其中,正确的个数有( )

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题(请把最简答案填写在答题卡上相应位置,每小题 3 分,共 18 分)

11.将点 A(1,﹣3)沿 x 轴向左平移 3 个单位长度,再沿 y 轴向上平移 5 个单位长度后得到

的点 A′的坐标为



12.如图,直线 l1∥l2,若∠1=130°,∠2=60°,则∠3=



13.若反比例函数 y= (k≠0)的图象经过点(1,﹣3),则第一次函数 y=kx﹣k(k≠0)的图象

经过

象限.

14.某市为治理污水,需要铺设一段全长 600m 的污水排放管道,铺设 120m 后,为加快施工

进度,后来每天比原计划增加 20m,结果共用 11 天完成这一任务,求原计划每天铺设管道的

长度.如果设原计划每天铺设 xm 管道,那么根据题意,可列方程



15.如图,三个正方形的边长分别为 2,6,8;则图中阴影部分的面积为



16.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律,称之为“杨辉三角”.这个三角形给 出了(a+b)n(n=1,2,3,4…)的展开式的系数规律(按 a 的次数由大到小的顺序):

请依据上述规律,写出(x﹣ )2016 展开式中含 x2014 项的系数是



三、解答题(本大题共 4 小题,第 17 小题 5 分,第 18、19、20 小题各 6 分,共 3 分) 17.计算:( )﹣1﹣ +tan60°+|3﹣2 |.

18.先化简,再求值:( ﹣ )÷

,其中 x 满足 2x+4=0.

19.如图,四边形 ABCD 是菱形,CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E,CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F,求证:DF=BE.

20.如图,一次函数 y1=kx+b(k≠0)和反比例函数 y2= (m≠0)的图象交于点 A(﹣1,6),B
(a,﹣2). (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)根据图象直接写出 y1>y2 时,x 的取值范围.

四、实践应用(本大题共 4 个小题,第 21 小题 6 分,第 22、23、24 小题各 8 分,共 30 分)

21.某校初三(1)班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动,收 集整理数据后,老师将减压方式分为五类,并绘制了图 1、图 2 两个不完整的统计图,请根据 图中的信息解答下列问题. (1)初三(1)班接受调查的同学共有多少名; (2)补全条形统计图,并计算扇形统计图中的“体育活动 C”所对应的圆心角度数; (3)若喜欢“交流谈心”的 5 名同学中有三名男生和两名女生;老师想从 5 名同学中任选两名 同学进行交流,直接写出选取的两名同学都是女生的概率.

22.某水果积极计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售(每辆汽车规定满载,并且只装一

种水果).如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润.







每辆汽车能装的数量(吨)4

2

3

每吨水果可获利润(千元)5

7

4

(1)用 8 辆汽车装运乙、丙两种水果共 22 吨到 A 地销售,问装运乙、丙两种水果的汽车各

多少辆?

(2)水果基地计划用 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共 72 吨到 B 地销售(每种水果不少

于一车),假设装运甲水果的汽车为 m 辆,则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆?(结果用

m 表示)

(3)在(2)问的基础上,如何安排装运可使水果基地获得最大利润?最大利润是多少?

23.如图,某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶.已知台阶总高 1.5 米,为了安

全现要作一个不锈钢扶手 AB 及两根与 FG 垂直且长为 1 米的不锈钢架杆 AD 和 BC(杆子的地

段分别为 D、C),且∠DAB=66.5°.(参考数据:cos66.5°≈0.40,sin66.5°≈0.92)

(1)求点 D 与点 C 的高度 DH;

(2)求所有不锈钢材料的总长度(即 AD+AB+BC 的长,结果精确到 0.1 米)

24.在数学活动课上,老师要求学生在 5×5 的正方形 ABCD 网格中(小正方形的边长为 1)画 直角三角形,要求三个顶点都在格点上,而且三边与 AB 或 AD 都不平行.画四种图形,并直 接写出其周长(所画图象相似的只算一种).

五、推理与论证 25.如图,以△ ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心,经过 A,C 两点且与 BC 边交于点 E,点 D 为 CE 的下半圆弧的中点,连接 AD 交线段 EO 于点 F,若 AB=BF. (1)求证:AB 是⊙O 的切线; (2)若 CF=4,DF= ,求⊙O 的半径 r 及 sinB.
六、拓展探究 26.如图,抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x﹣3 交于 A、B 两点,其中点 A 在 y 轴上,点 B 坐标 为(﹣4,﹣5),点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点,过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C,交 AB 于点 D. (1)求抛物线的解析式; (2)以 O,A,P,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点 P 的坐标;若不存在,说 明理由. (3)当点 P 运动到直线 AB 下方某一处时,过点 P 作 PM⊥AB,垂足为 M,连接 PA 使△ PAM 为等腰直角三角形,请直接写出此时点 P 的坐标.

2016 年四川省广安市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题只有一个选项符合题意,请将正确选项涂在答题卡上,每小题 3 分,共 30 分) 1.﹣3 的绝对值是( )
A. B.﹣3 C.3 D.±3
【考点】绝对值. 【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解. 【解答】解:﹣3 的绝对值是 3. 故选:C.

2.下列运算正确的是( ) A.(﹣2a3)2=﹣4a6 B. =±3 C.m2?m3=m6

D.x3+2x3=3x3

【考点】幂的乘方与积的乘方;算术平方根;合并同类项;同底数幂的乘法.

【分析】根据积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘;算术平方根的

定义,同底数幂相乘,底数不变指数相加;以及合并同类项法则对各选项分析判断即可得解. 【解答】解:A、(﹣2a3)2=(﹣2)2?(a3)2=4a6,故本选项错误;

B、 =3,故本选项错误; C、m2?m3=m2+3=m5,故本选项错误; D、x3+2x3=3x3,故本选项正确.

故选 D.

3.经统计我市去年共引进世界 500 强外资企业 19 家,累计引进外资 410000000 美元,数字 410000000 用科学记数法表示为( ) A.41×107 B.4.1×108 C.4.1×109 D.0.41×109 【考点】科学记数法—表示较大的数. 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝 对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:将 410000000 用科学记数法表示为:4.1×108. 故选:C.

4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A.

等边三角形 B.

平行四边行 C.

正五边形 D.

圆 【考点】中心对称图形;轴对称图形. 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可. 【解答】解:等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形; 平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形; 正五边形是轴对称图形不是中心对称图形; 圆是轴对称图形又是中心对称图形, 故选:D.

5.函数 y= A.

中自变量 x 的取值范围在数轴上表示正确的是( )

B.

C.

D.

【考点】在数轴上表示不等式的解集;函数自变量的取值范围.

【分析】根据负数没有平方根求出 x 的范围,表示在数轴上即可.

【解答】解:由函数 y=

,得到 3x+6≥0,

解得:x≥﹣2,

表示在数轴上,如图所示:

故选 A

6.若一个正 n 边形的每个内角为 144°,则这个正 n 边形的所有对角线的条数是( ) A.7 B.10 C.35 D.70 【考点】多边形内角与外角;多边形的对角线. 【分析】由正 n 边形的每个内角为 144°结合多边形内角和公式,即可得出关于 n 的一元一次

方程,解方程即可求出 n 的值,将其代入

中即可得出结论.

【解答】解:∵一个正 n 边形的每个内角为 144°, ∴144n=180×(n﹣2),解得:n=10.

这个正 n 边形的所有对角线的条数是:

=

=35.

故选 C.

7.初三体育素质测试,某小组 5 名同学成绩如下所示,有两个数据被遮盖,如图:

编号

1

2

3

4

5

方差

平均成绩

得分

38

34



37

40



37

那么被遮盖的两个数据依次是( )

A.35,2 B.36,4 C.35,3 D.36,3

【考点】方差.

【分析】根据平均数的计算公式先求出编号 3 的得分,再根据方差公式进行计算即可得出答

案.

【解答】解:∵这组数据的平均数是 37,

∴编号 3 的得分是:37×5﹣(38+34+37+40)=36;

被遮盖的方差是: [(38﹣37)2+(34﹣37)2+(36﹣37)2+(37﹣37)2+(40﹣37)2]=4;

故选 B.

8.下列说法: ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】矩形的判定;三角形的角平分线、中线和高;全等三角形的判定;平行四边形的判 定与性质;菱形的判定. 【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、 平行四边形的判定方法即可解决问题. 【解答】解:①错误,理由:钝角三角形有两条高在三角形外. ②错误,理由:有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形,有三个角是直角的四边形是 矩形. ③正确,有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ④错误,理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等. ⑤错误,理由:一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰 梯形. 正确的只有③, 故选 A.

9.如图,AB 是圆 O 的直径,弦 CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4 ,则 S 阴影=( )

A.2π B. π C. π D. π

【考点】圆周角定理;垂径定理;扇形面积的计算. 【分析】根据垂径定理求得 CE=ED=2 ,然后由圆周角定理知∠DOE=60°,然后通过解直角三 角形求得线段 OD、OE 的长度,最后将相关线段的长度代入 S 阴影=S 扇形 ODB﹣S△ DOE+S△ BEC. 【解答】解:如图,假设线段 CD、AB 交于点 E, ∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB, ∴CE=ED=2 , 又∵∠BCD=30°, ∴∠DOE=2∠BCD=60°,∠ODE=30°,
∴OE=DE?cot60°=2 × =2,OD=2OE=4,

∴S 阴影=S 扇形 ODB﹣S△ DOE+S△ BEC= 故选 B.

﹣ OE×DE+ BE?CE= ﹣2 +2 = .

10.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c ﹣m=0 有两个不相等的实数根,下列结论: ①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2, 其中,正确的个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】二次函数图象与系数的关系. 【分析】直接利用抛物线与 x 轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之 间关系分析得出答案. 【解答】解:如图所示:图象与 x 轴有两个交点,则 b2﹣4ac>0,故①错误; ∵图象开口向上,∴a>0, ∵对称轴在 y 轴右侧, ∴a,b 异号, ∴b<0, ∵图象与 y 轴交于 x 轴下方, ∴c<0, ∴abc>0,故②正确;

当 x=﹣1 时,a﹣b+c>0,故此选项错误; ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点坐标纵坐标为:﹣2, ∴关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0 有两个不相等的实数根,则 m>﹣2, 故④正确. 故选:B.
二、填空题(请把最简答案填写在答题卡上相应位置,每小题 3 分,共 18 分) 11.将点 A(1,﹣3)沿 x 轴向左平移 3 个单位长度,再沿 y 轴向上平移 5 个单位长度后得到 的点 A′的坐标为 (﹣2,2) . 【考点】坐标与图形变化-平移. 【分析】根据向左平移横坐标减,向上平移纵坐标加求解即可. 【解答】解:∵点 A(1,﹣3)沿 x 轴向左平移 3 个单位长度,再沿 y 轴向上平移 5 个单位长 度后得到点 A′, ∴点 A′的横坐标为 1﹣3=﹣2,纵坐标为﹣3+5=2, ∴A′的坐标为(﹣2,2). 故答案为(﹣2,2).
12.如图,直线 l1∥l2,若∠1=130°,∠2=60°,则∠3= 70° .
【考点】平行线的性质. 【分析】根据平行线的性质得到∠4=∠1=130°,由三角形的外角的性质得到∠5=∠4﹣∠2=70° 根据对顶角相等即可得到结论. 【解答】解:∵直线 l1∥l2, ∴∠4=∠1=130°, ∴∠5=∠4﹣∠2=70° ∴∠5=∠3=70°. 故答案为:70°.
13.若反比例函数 y= (k≠0)的图象经过点(1,﹣3),则第一次函数 y=kx﹣k(k≠0)的图象 经过 一、二、四 象限. 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;一次函数的图象. 【分析】由题意知,k=1×(﹣3)=﹣3<0,所以一次函数解析式为 y=﹣3x+3,根据 k,b 的值 判断一次函 y=kx﹣k 的图象经过的象限.

【解答】解:∵反比例函数 y= (k≠0)的图象经过点(1,﹣3),
∴k=1×(﹣3)=﹣3<0, ∴一次函数解析式为 y=﹣3x+3,根据 k、b 的值得出图象经过一、二、四象限. 故答案为:一、二、四.

14.某市为治理污水,需要铺设一段全长 600m 的污水排放管道,铺设 120m 后,为加快施工 进度,后来每天比原计划增加 20m,结果共用 11 天完成这一任务,求原计划每天铺设管道的

长度.如果设原计划每天铺设 xm 管道,那么根据题意,可列方程



【考点】由实际问题抽象出分式方程. 【分析】根据题目中的数量关系,可以列出相应的方程,本题得以解决. 【解答】解:由题意可得,



化简,得



故答案为:



15.如图,三个正方形的边长分别为 2,6,8;则图中阴影部分的面积为 21 .

【考点】三角形的面积. 【分析】根据正方形的性质来判定△ ABE∽△ADG,再根据相似三角形的对应线段成比例求得 BE 的值;同理,求得△ ACF∽△ADG,AC:AD=CF:DG,即 CF=5;然后再来求梯形的面积即可. 【解答】解:如图,

根据题意,知 △ ABE∽△ADG, ∴AB:AD=BE:DG, 又∵AB=2,AD=2+6+8=16,GD=8, ∴BE=1, ∴HE=6﹣1=5; 同理得,△ ACF∽△ADG, ∴AC:AD=CF:DG,

∵AC=2+6=8,AD=16,DG=8, ∴CF=4, ∴IF=6﹣4=2; ∴S 梯形 IHEF= (IF+HE)?HI
= ×(2+5)×6
=21; 所以,则图中阴影部分的面积为 21.
16.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律,称之为“杨辉三角”.这个三角形给 出了(a+b)n(n=1,2,3,4…)的展开式的系数规律(按 a 的次数由大到小的顺序): 请依据上述规律,写出(x﹣ )2016 展开式中含 x2014 项的系数是 ﹣4032 .

【考点】整式的混合运算. 【分析】首先确定 x2014 是展开式中第几项,根据杨辉三角即可解决问题. 【解答】解:(x﹣ )2016 展开式中含 x2014 项的系数,
根据杨辉三角,就是展开式中第二项的系数,即﹣2016×2=﹣4032. 故答案为﹣4032.
三、解答题(本大题共 4 小题,第 17 小题 5 分,第 18、19、20 小题各 6 分,共 3 分) 17.计算:( )﹣1﹣ +tan60°+|3﹣2 |.
【考点】实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 【分析】本题涉及负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值 4 个考点.在 计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【解答】解:( )﹣1﹣ +tan60°+|3﹣2 |
=3﹣3 + ﹣3+2 =0.

18.先化简,再求值:( ﹣ )÷

,其中 x 满足 2x+4=0.

【考点】分式的化简求值. 【分析】原式括号中利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最 简结果,求出已知方程的解得到 x 的值,代入计算即可求出值.

【解答】解:原式= ?

=,

由 2x+4=0,得到 x=﹣2, 则原式=5. 19.如图,四边形 ABCD 是菱形,CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E,CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F,求证:DF=BE.
【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质. 【分析】连接 AC,根据菱形的性质可得 AC 平分∠DAE,CD=BC,再根据角平分线的性质可得 CE=FC,然后利用 HL 证明 Rt△ CDF≌Rt△ CBE,即可得出 DF=BE. 【解答】证明:连接 AC, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC 平分∠DAE,CD=BC, ∵CE⊥AB,CF⊥AD, ∴CE=FC,∠CFD=∠CEB=90°. 在 Rt△ CDF 与 Rt△ CBE 中,
, ∴Rt△ CDF≌Rt△ CBE(HL), ∴DF=BE.
20.如图,一次函数 y1=kx+b(k≠0)和反比例函数 y2= (m≠0)的图象交于点 A(﹣1,6),B (a,﹣2). (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)根据图象直接写出 y1>y2 时,x 的取值范围.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】(1)把点 A 坐标代入反比例函数求出 k 的值,也就求出了反比例函数解析式,再把 点 B 的坐标代入反比例函数解析式求出 a 的值,得到点 B 的坐标,然后利用待定系数法即可 求出一次函数解析式; (2)找出直线在一次函数图形的上方的自变量 x 的取值即可.

【解答】解:(1)把点 A(﹣1,6)代入反比例函数 y2= (m≠0)得: m=﹣1×6=﹣6,





将 B(a,﹣2)代入

得:

﹣2= ,
a=3, ∴B(3,﹣2), 将 A(﹣1,6),B(3,﹣2)代入一次函数 y1=kx+b 得:


∴y1=﹣2x+4. (2)由函数图象可得:x<﹣1 或 0<x<3.
四、实践应用(本大题共 4 个小题,第 21 小题 6 分,第 22、23、24 小题各 8 分,共 30 分) 21.某校初三(1)班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动,收 集整理数据后,老师将减压方式分为五类,并绘制了图 1、图 2 两个不完整的统计图,请根据 图中的信息解答下列问题. (1)初三(1)班接受调查的同学共有多少名; (2)补全条形统计图,并计算扇形统计图中的“体育活动 C”所对应的圆心角度数; (3)若喜欢“交流谈心”的 5 名同学中有三名男生和两名女生;老师想从 5 名同学中任选两名 同学进行交流,直接写出选取的两名同学都是女生的概率.

【考点】列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图. 【分析】(1)利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可得解; (2)求出听音乐的人数即可补全条形统计图;由 C 的人数即可得到所对应的圆心角度数; (3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女 生的情况,再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解: (1)由题意可得总人数为 10÷20%=50 名; (2)听音乐的人数为 50﹣10﹣15﹣5﹣8=12 名,“体育活动 C”所对应的圆心角度数

=

=108°,

补全统计图得:

(3)画树状图得:
∵共有 20 种等可能的结果,选出都是女生的有 2 种情况, ∴选取的两名同学都是女生的概率= = . 22.某水果积极计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售(每辆汽车规定满载,并且只装一 种水果).如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润.







每辆汽车能装的数量(吨)4

2

3

每吨水果可获利润(千元)5

7

4

(1)用 8 辆汽车装运乙、丙两种水果共 22 吨到 A 地销售,问装运乙、丙两种水果的汽车各

多少辆?

(2)水果基地计划用 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共 72 吨到 B 地销售(每种水果不少

于一车),假设装运甲水果的汽车为 m 辆,则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆?(结果用

m 表示)

(3)在(2)问的基础上,如何安排装运可使水果基地获得最大利润?最大利润是多少?

【考点】二元一次方程组的应用.

【分析】(1)根据“8 辆汽车装运乙、丙两种水果共 22 吨到 A 地销售”列出方程组,即可解答;

(2)设装运乙、丙水果的车分别为 a 辆,b 辆,列出方程组

,即可解答;

(3)设总利润为 w 千元,表示出 w=10m+216.列出不等式组

,确定 m 的取值

范围 13≤m≤15.5,结合一次函数的性质,即可解答. 【解答】解:(1)设装运乙、丙水果的车分别为 x 辆,y 辆,得:

解得: . 答:装运乙种水果的车有 2 辆、丙种水果的汽车有 6 辆. (2)设装运乙、丙水果的车分别为 a 辆,b 辆,得:


解得



答:装运乙种水果的汽车是(m﹣12)辆,丙种水果的汽车是(32﹣2m)辆. (3)设总利润为 w 千元, w=4×5m+2×7(m﹣12)=4×3(32﹣2m)=10m+216.





∴13≤m≤15.5, ∵m 为正整数, ∴m=13,14,15, 在 w=10m+216 中,w 随 x 的增大而增大, ∴当 m=15 时,W 最大=366(千元), 答:当运甲水果的车 15 辆,运乙水果的车 3 辆,运丙水果的车 2 辆,利润最大,最大利润为 366 元.

23.如图,某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶.已知台阶总高 1.5 米,为了安 全现要作一个不锈钢扶手 AB 及两根与 FG 垂直且长为 1 米的不锈钢架杆 AD 和 BC(杆子的地 段分别为 D、C),且∠DAB=66.5°.(参考数据:cos66.5°≈0.40,sin66.5°≈0.92) (1)求点 D 与点 C 的高度 DH; (2)求所有不锈钢材料的总长度(即 AD+AB+BC 的长,结果精确到 0.1 米)

【考点】解直角三角形的应用. 【分析】(1)根据图形求出即可; (2)过 B 作 BM⊥AD 于 M,先求出 AM,再解直角三角形求出即可. 【解答】解:(1)DH=1.5 米× =1.2 米;
(2)过 B 作 BM⊥AD 于 M,

在矩形 BCHM 中,MH=BC=1 米, AM=AD+DH﹣MH=1 米+1.2 米﹣1 米=1.2 米=1.2 米,

在 Rt△ AMB 中,AB=

≈3.0 米,

所以有不锈钢材料的总长度为 1 米+3.0 米+1 米=5.0 米.

24.在数学活动课上,老师要求学生在 5×5 的正方形 ABCD 网格中(小正方形的边长为 1)画 直角三角形,要求三个顶点都在格点上,而且三边与 AB 或 AD 都不平行.画四种图形,并直 接写出其周长(所画图象相似的只算一种).

【考点】作图—相似变换.

【分析】在图 1 中画等腰直角三角形;在图 2、3、4 中画有一条直角边为 ,另一条直角边 分别为 3 ,4 ,2 的直角三角形,然后计算出四个直角三角形的周长. 【解答】解:如图 1,三角形的周长=2 + ; 如图 2,三角形的周长=4 +2 ; 如图 3,三角形的周长=5 + ; 如图 4,三角形的周长=3 + .

五、推理与论证 25.如图,以△ ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心,经过 A,C 两点且与 BC 边交于点 E,点 D 为 CE 的下半圆弧的中点,连接 AD 交线段 EO 于点 F,若 AB=BF. (1)求证:AB 是⊙O 的切线; (2)若 CF=4,DF= ,求⊙O 的半径 r 及 sinB.

【考点】切线的判定.

【分析】(1)连接 OA、OD,如图,根据垂径定理得 OD⊥BC,则∠D+∠OFD=90°,再由 AB=BF,

OA=OD 得到∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,加上∠BFA=∠OFD,所以∠OAD+∠BAF=90°,则 OA⊥AB,

然后根据切线的判定定理即可得到 AB 是⊙O 切线; (2)先表示出 OF=4﹣r,OD=r,在 Rt△ DOF 中利用勾股定理得 r2+(4﹣r)2=(

)2,解

方程得到 r 的值,那么 OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1. 然后在 Rt△ AOB 中利用勾股定理得 AB2+OA2=OB2,即 AB2+32=(AB+1)2,解方程得到 AB=4

的值,再根据三角函数定义求出 sinB.

【解答】(1)证明:连接 OA、OD,如图,

∵点 D 为 CE 的下半圆弧的中点,

∴OD⊥BC,

∴∠EOD=90°,

∵AB=BF,OA=OD,

∴∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,

而∠BFA=∠OFD,

∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°,即∠OAB=90°,

∴OA⊥AB,

∴AB 是⊙O 切线;

(2)解:OF=CF﹣OC=4﹣r,OD=r,DF= , 在 Rt△ DOF 中,OD2+OF2=DF2,即 r2+(4﹣r)2=( 解得 r1=3,r2=1(舍去); ∴半径 r=3, ∴OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1. 在 Rt△ AOB 中,AB2+OA2=OB2, ∴AB2+32=(AB+1)2, ∴AB=4,OB=5,
∴sinB= = .

)2,

六、拓展探究
26.如图,抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x﹣3 交于 A、B 两点,其中点 A 在 y 轴上,点 B 坐标
为(﹣4,﹣5),点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点,过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C,交 AB 于点 D. (1)求抛物线的解析式; (2)以 O,A,P,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点 P 的坐标;若不存在,说 明理由. (3)当点 P 运动到直线 AB 下方某一处时,过点 P 作 PM⊥AB,垂足为 M,连接 PA 使△ PAM 为等腰直角三角形,请直接写出此时点 P 的坐标.

【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)先确定出点 A 坐标,然后用待定系数法求抛物线解析式; (2)先确定出 PD=|m2+4m|,当 PD=OA=3,故存在以 O,A,P,D 为顶点的平行四边形,得 到|m2+4m|=3,分两种情况进行讨论计算即可; (3)由△ PAM 为等腰直角三角形,得到∠BAP=45°,从而求出直线 AP 的解析式,最后求出直 线 AP 和抛物线的交点坐标即可.
【解答】解:(1)∵直线 y= x﹣3 交于 A、B 两点,其中点 A 在 y 轴上,
∴A(0,﹣3), ∵B(﹣4,﹣5),









∴抛物线解析式为 y=x2+ x﹣3, (2)存在, 设 P(m,m2+ m﹣3),(m<0),
∴D(m, m﹣3), ∴PD=|m2+4m| ∵PD∥AO, ∴当 PD=OA=3,故存在以 O,A,P,D 为顶点的平行四边形, ∴|m2+4m|=3, ①当 m2+4m=3 时, ∴m1=﹣2﹣ ,m2=﹣2+ (舍), ∴m2+ m﹣3=﹣1﹣ ,
∴P(﹣2﹣ ,﹣1﹣ ), ②当 m2+4m=﹣3 时, ∴m1=﹣1,m2=﹣3, Ⅰ、m1=﹣1, ∴m2+ m﹣3=﹣ ,
∴P(﹣1,﹣ ), Ⅱ、m2=﹣3, ∴m2+ m﹣3=﹣ ,
∴P(﹣3,﹣ ),
∴点 P 的坐标为(﹣2﹣ ,﹣1﹣ ),(﹣1,﹣ ),(﹣3,﹣ ). (3)如图,

∵△PAM 为等腰直角三角形, ∴∠BAP=45°, ∵直线 AP 可以看做是直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 45°所得, 设直线 AP 解析式为 y=kx﹣3,
∵直线 AB 解析式为 y= x﹣3,

∴k= =3,

∴直线 AP 解析式为 y=3x﹣3,

联立



∴x1=0(舍)x2=﹣ 当 x=﹣ 时,y=﹣ , ∴P(﹣ ,﹣ ).

2016 年 6 月 23 日


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