【精选】高二数学上学期期末联考试题理

福建省福州市八县(市)协作校 2018-2019 学年高二数学上学期期末

联考试题 理

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1. y ? 2x2 的焦点坐标是( )

A. (1, 0)

B. (1 , 0) 4

C. (0, 1 ) 4

D. (0, 1) 8

2.若直线 l 的方向向量为 a ? (1,?2,3) ,平面? 的法向量为 n ? (?3,6,?9) ,则( )

A. l ? ?

B. l / /?

C. l ? ?

D. l 与? 相交

3.直线 l : 2x ? y ? 2 ? 0 过椭圆左焦点 F 和一个顶点 B ,则该椭圆的离心率为( )

A. 1 5

B. 5 5

4.下列结论正确的是( )

C. 2 5

D. 2 5 5

A. 命题“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题为真命题 B. 命题“若 x ? 1,则 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ”的否命题是真命题
C. 命题 p : ?x0 ? R, x02 ? 0 的否定是“ ?x ? R, x2 ? 0 .”
D.“ x ? 2”是“ 1 ? 1 ”的充要条件 x2

D1

C1

A1

B1

D C
M

A

B

第5题

5.如图,平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AC 与 BD 交于点 M ,

设 AB ? a, AD ? b, AA1 ? c ,则 B1M ?

A. ? 1 a ? 1 b ? c B. 1 a ? 1 b ? c C. 1 a ? 1 b ? c D. ? 1 a ? 1 b ? c

22

22

22

22

6.已知双曲线 C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 的离心率为

5 ,则 C 的渐近线方程为( 2

)

A. y ? ? 1 x 4

B. y ? ? 1 x 3

C. y ? ? 1 x 2

D. y ? ?x

7.已知曲线 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 ,给定下列两个命题: 4?k k ?3

p :若 k ? 3 ,则曲线 C 为双曲线; q :若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,则 3 ? k ? 4 .

-1-

其中是真命题的是( )

A. p ? q

B. p ? (?q)

C. (?p) ? q

D. (?p) ? (?q)

8.已知 A 是抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上一点, F 是抛物线的焦点, O 为坐标原点,

当| AF |? 4 时, ?OFA ? 120 ,则抛物线的准线方程是( )

A. x ? ?1

B. x ? ?3

C. x ? ?1或 x ? ?3

9.在直角梯形 ABCD中, AD // BC, AB ? AD,

E, F 分别是 AB, AD 的中点, PF ? 平面 ABCD ,

且 AB ? BC ? PF ? 1 AD ? 2 , 2
则异面直线 PE, CD 所成角为( )

A
E B

A. 30?

B. 45?

C. 60?

D. y ? ?1
P
D F
C
D. 90?

10.抛物线 y ? ?x2 上的点到直线 4x ? 3y ? 8 ? 0 的距离的最小值是( )

A. 8 5

B. 7

C. 4

D. 3

5

3

11. 设 F1, F2 是椭圆的两个焦点,若椭圆上任意一点 M 都满足 ?F1MF2 为锐角

则椭圆离心率的取值范围是( )

A. (0, 1 ] 2

B. (0, 2 ) 2

C. (0,1)

D. [ 2 ,1) 2

12.椭圆

x2 25

?

y2 16

? 1的左右焦点分别为 F1, F2 ,过 F1 的一条直线与椭圆交于

A, B 两点,

若 ABF2 的内切圆面积为? ,且 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ,则| y1 ? y2 |? ( )

5

10

20

5

B.

C.

D.

A. 3

3

3

3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

13.若椭圆 x2 ? y2 ? 1的焦距为 2,则 m ?

.

m4

14.在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中, E 分别是 BC 的中点,则 DE AC ?

.
-2-

15.若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1,

则该椭圆长半轴长的最小值为

.

16.已知 F1, F2 是双曲线 C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

?

0) 的两个焦点,圆 (x ? c)2

?

y2

?

4c2 与双

曲线 C 位于 x 轴上方的两个交点分别为 M , N ,若 F1M / /F2N ,则双曲线 C 的离心率



.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 10 分)
已知命题 p : 关于 x 的方程 x2 ? 2ax ? a ? 2 ? 0 有实数根,命题 q : m ? a ? m ? 2 . (Ⅰ) 若 p 是 q 的必要非充分条件,求实数 m 的取值范围;
(Ⅱ) 若 m ? ?1时“ p ? q ”是真命题,求实数 a 的取值范围.

18.(本题满分 12 分)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F (2, 0) ,直线 3x ? 2y ? 0 与

双曲线 C 的一个交点的横坐标为 2 .
(Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程;
(Ⅱ)过点 ?0,1? ,倾斜角为1350 的直线 l 与双曲线 C 相交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点,

求 ?OAB 的面积.

19.(本题满分 12 分)

E F

如图所示, AE ? 平面 ABCD ,且四边形 AEFB 为矩形,

四边形 ABCD 为直角梯形, BC / / AD , BA ? AD ,

AE ? AD ? 2AB ? 2BC ? 4 .

A D

(Ⅰ) 求证: CF / / 平面 ADE ;

B

C

(Ⅱ) 求平面 CDF 与平面 AEFB 所成锐二面角的余弦值.

20.(本题满分 12 分)
点 P 在 圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 上 运动, PD ? x 轴 , D 为垂 足,点 M 在 线段 PD 上,满足 PM ? MD.

-3-

(Ⅰ) 求点 M 的轨迹方程;

(Ⅱ)

过点

Q

???1,

1 2

? ??

作直线

l

与点

M

的轨迹相交于 A 、 B 两点,使点 Q 被弦

AB 平分,

求直线 l 的方程.

21.(本题满分 12 分)
如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? AB ? AC ? 2 , BC ? 2 2 , M , N 分别是 CC1 , BC 的中点, 点 P 在直线 A1B1 上,且 A1P ? ? A1B1 . (Ⅰ)证明:无论 ? 取何值,总有 AM ? PN ; (Ⅱ)当 ? 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角? 最大?
并求该角取最大值时的正切值.

22.(本题满分 12 分)
已知抛物线 C : y2 ? x ,过点 M (2, 0) 作一条直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点,

(Ⅰ) 证明: OA?OB 为定值;

(Ⅱ) 设点 N 是定直线 x ? ?2 上的任意一点,分别记直线 AN ,MN ,BN 的斜率为 k1 ,k2 ,

k3

.问:

k1



k2



k3

能否组成一个等差数列?若能,说明理由;若不能,举出反例. ∴∴∴。,、

-4-

福州市八县(市)协作校 2018—2019 学年第一学期期末联考 高二理科数学试卷答案及评分标准
一、选择题: DCBCD CBABC BB

二、填空题: 13.3 或 5 14.1 15. 2
三、解答题: 17.解答:

3 ? 17
16.
4

( Ⅰ ) 命 题 p ? (?2a)2 ? 4(a ? 2) ? 0 ? a2 ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 或 a ? ?1

………………2 分
由 p 是 q 的必要非充分条件可得 [m, m ? 2] ? (??, ?1] [2, ??) ………………

3分
所以 m ? 2 ? ?1或者 m ? 2
………………………………4 分
即 m ? ?3 或者 m ? 2
……………………………………5 分

(Ⅱ)当 m ? ?1时命题 q 即 ?1? a ?1

…………………………………………6 分
由“ p ? q ”是真命题可知 p 真或 q 真

……………………………………7 分
即 a ? 2 或 a ? ?1或 ?1? a ?1
………………………………………………9 分
实数 a 的取值范围是 a ? 2 或 a ?1.
…………………………………………10 分 18.解答:
(Ⅰ)设双曲线 C 的标准方程是 x2 ? y2 ? 1(a ? 0,b ? 0) , a2 b2
1分

…………………………

-5-

由题可知 点 (2,3) 在双曲线 C 上

……………………………………………………2 分

?a2 ? b2 ? 4

从而有

? ?4 ?? a2

?

9 b2

?1

………………………………………………………………4 分

?a2 ?1

解得

? ?b

2

?

3

………………………………………………………………5 分

所以 双曲线 C 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 3
……………………………………6 分

(Ⅱ)由已知得直线 l 的方程为 y ? ?x ? 1即 x ? y ?1 ? 0

………………………………7 分

所以 原点 O 到直线 l 的距离 d ? | 0 ? 0 ?1| ? 1

12 ? 12

2

………………………………8 分

解法一:联立

? ? ?

x2

?

y2 3

?1
消去

y 可得

?? y ? ?x ?1

x2 ? x ? 2 ? 0

设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?1, x1 x2 ? ?2





| AB |? 1? k 2 (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 1?12 (?1)2 ? 4 ? (?2) ? 3 2 ……11 分

解法二:联立

? ? ? ??

x2 y

? ?

y2 3 ?x

?1 ?1

解得

? ? ?

x y

? ?

1 0



? ? ?

x ? ?2 y?3

即 A, B 两点坐标分别为 (1, 0) 和 (?2,3)

所以 | AB |? (1 ? 2)2 ? (0 ? 3)2 ?? 3 2
……………………………………11 分
-6-

所以 ?OAB 的面积 S ? 1 | AB | d ? 1 ? 3 2 ? 1 ? 3 .………………………………

2

2

22

12 分

19.解答:

(Ⅰ)由已知可建立空间直角坐标系 A ? xyz 如右图,则
A(0,0,0), B(2,0,0),C(2,2,0), D(0,4,0), E(0,0,4), F(2,0,4)
……………………………………………………1 分
由 AE ? 平面 ABCD 可知 AE ? AB 又∵ AB ? AD, AD AE ? A ∴ AB ?平面 ADE

z
E F

A

B

C

x

Dy

所以 AB 是平面 ADE 的一个法向量
3分

…………………………………………

由已知可得 AB ? (2,0,0), CF ? (0,?2,4)

所以 AB CF ? 2? 0 ? 0? (?2) ? 0? 4 ? 0

所以 AB ? CF
5分

…………………………………………

又∵ CF ? 平面 ADE

从而 CF / / 平面 ADE
6分 (若学生采用几何法请酌情给分)

……………………………………

(Ⅱ)与(Ⅰ)同理可知 AD ? (0, 4,0) 是平面 AEFB 的一个法向量……………………7


设 n ? (x, y, z) 是平面 CDF 的一个法向量,则有 n ? CD,n ? CF

又由题可知 CD ? (?2,2,0),CF ? (0,?2,4)

-7-

从而有

??n ?

CD ? ?2x ? 2 y ? 0

??n CF ? ?2 y ? 4z ? 0

取 y ? 2 可得 n ? (2,2,1)

…………………………………………9 分





cos ? n, AD ?? n AD ? 0 ? 2 ? 4 ? 2 ? 0 ?1 ? 8 ? 2 …………11 | n | | AD | 02 ? 42 ? 02 22 ? 22 ? 12 4 ? 3 3


所以 平面 CDF 与平面 AEFB 所成锐二面角的余弦值为 2 . ……………………………… 3
12 分 20.解答:

(Ⅰ)设点 M (x, y), P(x0, y0 ) ,

………………1 分

由 PD ? x 轴,D 为垂足,点 M 在线段 PD 上,满足 PM ? MD 可知

? ? ?

x0 ? x y0 ? 2 y

…………

2分

又由点 P 在圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 上可得 x02 ? y02 ? 4

…………3 分



? ? ?

x0 ? x y0 ? 2 y

代入上式,得

x2 ?4y2 ?4



x2 ? y2 ?1 4

…………4 分

所以 点 M (x, y) 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ?1 4
………………5 分

(Ⅱ)设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ,由点 Q 被弦 AB 平分可得 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ?1
①………7 分

-8-

解法一:由点 A 、 B 在点 M 的轨迹上可得

? ??

x12 4

? ?

x22

?? 4

? y12 ? 1 ? y22 ? 1

……………………

8分

从而有

( x1

?

x2 )(x1 4

?

x2 )

?

( y1

?

y2 )( y1

?

y2 )

?

0

……………………9 分

将①代入上式可得

y1 ? y2 ? ? 1 x1 ? x2 2

即 kAB

?

?

1 2

……………………11 分

故 所 求 直 线 l 的 方 程 的 方 程 为 y ? 1 ? ? 1 (x ?1) , 即 x ? 2 y ? 2? 0 22
………………12 分

解法二:由题可知直线 l 的斜率必存在(否则与点 Q 被弦 AB 平分矛盾),故可设

直线 l 的方程为 y ? 1 ? k(x ?1) ,即 y ? kx ? 1 ? k

2

2

………………8 分

?

联立

?? ?

x2 ? y2 ?1 4

消去 y 可得

? ??

y

?

kx

?

1 2

?

k

(1? 4k2)x2 ? 4k(1? 2k)x ? (4k2 ? 4k ? 3) ? 0

………9 分



x1

?

x2

?

4k(2k ?1) 1? 4k2

10 分

…………………………………………

由①得

4k(2k ?1) 1? 4k 2

?

2

-9-

解得 k ? ? 1 2
11 分

……………………………………………………

所以 所求直线 l 的方程的方程为 y ? 1 ? ? 1 (x ?1) ,即 x ? 2 y ? 2 ? 0 ………………12 22
分 21.解答:

由 AB ? AC ? 2 , BC ? 2 2 可得 AB2 ? AC2 ? BC2 ,故 AB ? AC

………………1 分 结合已知可建立空间直角坐标系如右图,则
A(0,0,0), B(2,0,0),C(0,2,0), A1(0,0,2), B1(2,0,2),C1(0,2,2)
由 M , N 分别是 CC1 , BC 的中点可得

z
A1 P B1
A

B

N

x

C1
M C
y

M (0,2,1) , N (1,1,0)

由 A1P ? ? A1B1 可得 P(2?,0, 2)
3分

………………………………………………

(1)由已知可得 AM ? (0,2,1), PN ? (1? 2?,1,?2) ………………………………4 分

所以 AM PN ? 0 (1? 2?) ? 2?1?1? (?2) ? 0

所以 AM ? PN
5分
故无论 ? 取何值,总有 AM ? PN ;
6分

…………………………………………………… …………………………………………

(2)由已知得 向量 AA1 ? (0,0, 2) 平面 ABC 的一个法向量…………………………7 分

结合(1)可得 sin? ? | AA1 PN | ?

4

……………………9 分

| AA1 | | PN | 2 (1? 2?)2 ? 5

从而当1? 2? ? 0 时,sin? 最大,即直线 PN 与平面 ABC 所成的角? 最大,…………11



- 10 -

此时 sin? ? 2 ,从而 tan? ? 2. …………………………………………………………
5
12 分 22.解答:

(Ⅰ)证明:设直线 l 的方程为 x ? ny ? 2 …………………………………………………………

1分

? 联立 ?

y2 ? x

消去 y 可得 y2 ? ny ? 2 ? 0

?x ? ny ? 2

……………………………………2 分



A(x1, y1), B(x2, y2 )







y1 ? y2 ? n, y1 y2 ? ?2 ………………………………………3 分





x1x2 ? (ny1 ? 2)(ny2 ? 2) ? n2 y1y2 ? 2n( y1 ? y2) ? 4 ? ?2n2 ? 2n2 ? 4 ? 4 …… 4







OA OB ? x1x2 ? y1y2 ? 4 ? 2 ? 2 …………………………………………………………5


即 OA OB 为定值.
…………………………………………………………6 分 (Ⅱ)能,理由如下:
………………………………………………………………7 分
设 N (?2,t) ,则

k1

?

y1 x1

? ?

t 2

,

k2

?

0?t 2?2

?

?

t 4

,

k3

?

y3 ? t x1 ? 2

…………………………………………8 分





- 11 -

k1

?

k3

?

y1 ? t x1 ? 2

?

y2 ? t x2 ? 2

?

y1 ? t ny1 ? 4

?

y3 ? t ny2 ? 4

? ( y1 ? t)(ny2 ? 4) ? ( y2 ? t)(ny1 ? 4) (ny1 ? 4)(ny2 ? 4)

?

2ny1y2 ? n2 y1 y2

(4 ? nt)( y1 ? y2) ? 8t ? 4n( y1 ? y2 ) ? 16

?

?4n ? n(4 ? nt) ? 8t ?2n2 ? 4n2 ? 16

?

?t(n2 ? 8) 2(n2 ? 8)

?

?

t 2

?

2k2

…………………………………………………………………………………………………… …11 分

即 k1 , k2 , k3 能组成一个等差数列.
12 分

………………………………………………

- 12 -


相关文档

【精选教育资料】高二数学上学期期末联考试题理
【精选】最新高二数学上学期期末联考试题理(1)
精选高二数学上学期期末联考试题理
高二数学上学期期末统考试题及答案(理)
【高二数学试题精选】2018年淄博市三校高二数学上学期期末联考试题(理带答案)
高二数学上学期期末联考试题 理(含解析)
精选高二数学上学期期末统考试题理
高二数学上学期期末联考试题理
高二数学上学期期末联考试题 理(新版)人教版
2020高二数学上学期期末联考试题 理(含解析)
学霸百科
新词新语
电脑版 | 学霸百科