高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式(一)课件新人教A版必修4_图文

第一章 三角函数 §1.3 三角函数的诱导公式(一) 学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3. 能运用有关诱导公式解决一些三角函数的 求值、化简和证明问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 诱导公 式二 设角α的终边与单位圆的交点为 P,由三角函数定义知 P点坐标 为(cos α,sin α). 思考 角π+α的终边与角α的终边有什么关系?角π+α的终边 与单位圆的交点P1(cos(π+α),sin(π+α))与点P(cos α, sin α)呢?它们的三角函数之间有什么关系? 答案 知识点二 诱导公 式三 思考 角-α的终边与角 α的终边有什么关系?角-α的终边与 单位圆的交点P2(cos(-α),sin(-α))与点P(cos α,sin α) 有怎样的关系?它们的三角函数之间有什么关系? 答案 知识点三 诱导公 式四 思考 角π-α的终边与角α的终边有什么关系?角π-α的终边与 单位圆的交点P3(cos(π-α),sin(π-α))与点P(cos α,sin α) 有怎样的关系?它们的三角函之间有什么关系? 答案 梳理 公式一~四都叫做诱导公式,它们分别反映了2kπ+α(k∈Z), π+α,-α ,π- α的三角函数与α的三角函数之间的关系,这 四组公式的共同特点是: 2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函数值等于α的同名函 数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号 . 简记为 “函数名不变,符号看象限”. 题型探究 类型一 利用诱导公式 求值 命题角度1 给角求值问题 例1 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°; 解 cos 210°=cos(180°+30°) 3 =-cos 30° =- 2 . 解答 11π (2)sin 4 ; 11π 3π 3π π π 2 解 sin 4 =sin(2π+ 4 ) =sin 4 =sin(π-4)=sin = . 4 2 43π (3)sin(- 6 ); 43π 7π 7π π π 1 解 sin(- 6 )=-sin(6π+ 6 ) =-sin 6 =-sin(π+6)=sin6=2. (4)cos(-1 920°). 解 cos( - 1 920°) = cos 1 920°= cos(5×360°+ 120°) 1 =cos 120° =cos(180° -60° )=-cos 60° =-2. 解答 反思与感 悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤: (1)“负化正”:用公式一或三来转化. (2)“大化小”:用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“角化锐”:用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值. (1)sin 1 320°; 解 方法一 sin 1 320°=sin(3×360°+240°) 3 =sin 240° =sin(180° +60° )=-sin 60° =- 2 . 方法二 120°) sin 1 320°= sin(4×360°- 120°) = sin( - 3 =-sin(180° -60° )=-sin 60° =- 2 . 解答 ? 31π? ? ? - (2)cos? 6 ?; ? ? 解 方法一 ? 31π? ? 7π?? 31π ? ? ? cos?- 6 ?=cos 6 =cos?4π+ 6 ? ? ? ? ? π π 3 =cos(π+6)=-cos 6=- 2 . 方法二 ? 31π? ? 5π?? ? ? ? cos?- 6 ?=cos?-6π+ 6 ? ? ? ? ? ? π?? π ? =cos?π-6?=-cos6=- ? ? 3 . 2 解答 (3)tan(-945°). 解 tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°+2×360°) =-tan 225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1. 解答 命题角度2 给值求角问题 π 例 2 已知 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|<2,则 θ 等于 π A.-6 π B.-3 π C.6 π D.3 π 解析 由 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|<2, π 可得-sin θ=- 3cos θ,|θ|<2, π π 即 tan θ= 3,|θ|<2,∴θ=3. 解析 答案 反思与感 悟 对于给值求角问题,先通过化简已给的式子得出某个角的某种 三角函数值,再结合特殊角的三角函数值逆向求角. 跟踪训练 2 已知 sin(π-α)=- 2sin(π+β), 3cos(-α)=- 2cos(π+β), 0<α<π,0<β<π,求 α,β. 解答 类型二 利用诱导公式 化简 例3 化简下列各式. tan?2π-α?sin?-2π-α?cos?6π-α? (1) ; cos?α-π?sin?5π-α? sin?2π-α? · sin?-α?cos?-α? cos?2π-α? 解 原式= cos?π-α?sin?π-α? -sin α?-sin α?cos α sin α = =-cos α=-tan α. cos α?-cos α?sin α 解答 1+2sin 290° cos 430° (2) . sin 250° +cos 790° 1+2sin?360° -70° ?cos?360° +70° ? 解 原式= sin?180° +70° ?+cos?720° +70° ? 1-2sin 70° cos 70° |cos 70° -sin 70° | = = -sin 70° +cos 70° cos 70° -sin 70° sin 70°

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