辽宁省抚顺市六校2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题理

2017-2018 上学期高二期末考试

数 学(理)

满分:150 分, 考试时间:120 分钟 第 I 卷(60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,每题只有一个正确答案)

1.在 ?ABC中,?B ? 30?,b ? 10, c ? 16,则sin C 等于( ).

A. 3 B. ? 3

C. ? 4

D. 4

55

5

5

2.已知数列?an ?满足

an?1

?

1 2

an

,若

a4

?

8

,则

a1 等于(

).

A. 1 B.2

C.64

D.128

3.已知椭圆

x2

?

y2 b2 ?1

?

1(b

?

0)

的离心率为

10 10

,则 b 等于(

).

A.3

B. 1

C. 9

D. 3 10

3

10

10

4.命题 p : 若a ? b,则ac2 ? bc2 ;命题 q : ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0, 则下列命题为真命题的

是( ).

A. p ? q

B. p ? q

C. ??p?? q

D. p ? ??q?

5.设 u ? ?2,2,?1?是平面? 的法向量,a ? ?? 3,4,2?是直线 l 的方向向量,则直线 l 与平
面? 的位置关系是( ).
A.平行或直线在平面内 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定

6. 已知 双曲线

x2 4

y2 ?
5

? 1 的 左右焦点 分别为 F1, F2 ,点

P

是双曲线上一点,且

F1F2 ? PF2 ? 0 ,则 PF1 等于( ).

A. 13

B. 9

C. 7

D. 3

2

2

2

2

7.下列说法中正确的个数是( ).
① x ? 2是x2 ? 2x ? 0的必要不充分条件;

②命题“若 x ? 2, 则向量 a ? ?0, x,1?与向量b ? ??1,1,?2? 垂直”的逆否命题是真命

题;

③命题“若 x ? 1,则x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的否命题是“若 x ? 1,则x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”.

A.0 B.1

C.2

D.3

8.若实数1, x, y,4 成等差数列,? 2, a, b, c,?8 成等比数列,则 y ? x =(

).

b

A. ? 1
4

B. 1 4

C. 1

D. ? 1

2

2

9.在 ?ABC中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c ,若 sin C ? 2,b2 ? a2 ? 3 ac ,则

sin A

2

cos B 等于( ).

A. 1

B. 1

C. 1

D. 1

2

3

4

5

10.已知数列 ?an ?是等差数列,

a2

?

3, a7

? 13

,则数列

?

? ?

an

1 ? an?1

? ? ?

的前

n

项和为

( ).

A. 2n
2n ?1

B. n
2n ?1

C. 2n ? 2
2n ?1

D. n ?1
2n ?1

11. 函 数 y ? lo ga ?x ? 3??1(a ? 0且a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线

mx ? ny ?1 ? 0 上,其中 m? n ? 0 ,则 4 ? 1 的最小值为( ). mn

A.16 B.24 C.25

D.50

12. 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 2, ?n an?1 ? an ? ? an ?1, n ? N ? . 若 对 于 任 意 的
t ??0,1?, n ? N ? ,不等式 an?1 ? ?2t 2 ? ?a ?1?t ? a2 ? a ? 3 恒成立,则实数 a 的取
n ?1
值范围为( ).

A. ?? ?,?1?? ?3,??? B. ?? ?,?2???1,??? C. ?? ?,?1???3,??? D.??1,3?

第 II 卷(90 分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

?x ? y ? 4 13.若实数 x, y 满足 ??x ? 2 y ,则 Z ? 2x ? 6 y ?1的最大值是.
??x ? 1

14.设

F1,

F2

是椭圆

x2 4

?

y2

? 1 的两个焦点,P在椭圆上,且满足 ?F1PF2

?

60? ,则

?PF1F2 的面积是.
? ? 15.关于 x 的不等式 a2 ?1 x2 ? ?a ?1?x ?1 ? 0 的解集为R,则实数 a 的取值范围是.

16.已知抛物线 y2 ? 8x 上有一条长为9的动弦AB,则AB中点到 y 轴的最短距离为.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. ( 10 分 ) 在 ?ABC 中 , A?? 4,0? , B?4,0? , 点 C 运 动 时 内 角 满 足
2sin A? sin C ? 2sin B,求顶点 C 的轨迹方程.
18. ( 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 且 满 足
c c o s?? ? B? ? ?b ? 2a?s in?? ? ? C ?? .
?2 ?
(1)求角 C 的大小;
(2)若 c ? 13 , b ? 3, 求 ?ABC的面积.

19. (12 分)2017 年,在国家创新驱动战略的引领下,北斗系统作为一项国家高科技 工程,一个开放型创新平台,1400 多个北斗基站遍布全国,上万台套设备组成星地“一 张网”,国内定位精度全部达到亚米级,部分地区达到分米级,最高精度甚至可以到 厘米或毫米级。最近北斗三号工程耗资 9 万元建成一小型设备,已知这台设备从启用
的第一天起连续使用,第 n 天的维修保养费为 n ? 99.5(n ? N ?) 元,使用它直至“报 2
废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共 使用了多少天,平均每天耗资多少钱?

20.(12 分)在三棱柱 ABC ? A1B1C1中, BB1 ? 平面 ABC, AB ? 3, BC ? 4 ,

AC ? 5, AA1 ? 6 2 .

(1)设

AD

?

m

AC

,异面直线

AB1



BD所成角的余弦值为

1 5

,求

m

的值;

(2)若 D 是 AC 的中点,求平面 BDC1 和平面 CDC1 所成锐二面角的余弦值.

B1

C1

A1

B

C

D A

21. (12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 满足 2Sn ? an2 ? n ?1, 且 an ? 1 . (1)求数列?an ?的通项公式;

(2)求 Tn ? a1 ? 2a1 ? a2 ? 2a2 ?? ? an ? 2an 的值.

? ? 22.(12 分)点 M

2 ,1

在椭圆

C: x2 a2

?

y2 b2

? 1?a ? b ? 0?上,且点

M

到椭圆两焦

点的距离之和为 2 5 .
(1)求椭圆 C 的方程;

(2)已知动直线 y ? k?x ?1? 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 P?? ? 7 ,0?? ,求证:PA ? PB
?3 ?
为定值. 抚顺市六校联合体 2017-2018 上学期高二期末考试 数学(理)答案

一 选择题 1-5、DCBDA 6-10、ACACB 二 填空题

11-12、CC

13、0

14、 3 15、 (? 3 ,1] 16、 5

3

5

2

三解答题

17、解:在 ?ABC中, 2sin A? sinC ? 2sin B ,由正弦定理得: 2a ? c ? 2b (2 分),即 2 | CB | ? | AB |? 2 | CA | , 整 理 可 得 : | CA | ? | CB |? 1 | AB | , 又 因 为 A(?4,0), B(4,0) , 即
2 | AB |? 8 ,| CA | ? | CB |? 4 ,所以点 C 的轨迹是以 A, B 为焦点的双曲线的右支(除去点 (2,0) )

(6 分)在此双曲线中 2a ? 4,2c ?| AB |? 8 ,即 a ? 2, c ? 4 ,b ? c2 ? a2 ? 2 3 ,所以点 C
的轨迹方程为 x2 ? y2 ? 1(x ? 2) (10 分) 4 12
18、解:(1)在 ?ABC中, c cos(? ? B) ? (b ? 2a) sin(? ? C) , 2
即 ? c cosB ? (b ? 2a) cosC (1 分)

由正弦定理得 ? sin C cosB ? (sin B ? 2sin A) cosC (2 分)

sin BcosC ? sin C cosB ? 2sin AcosC sin(B ? C) ? 2sin AcosC ,(3 分)

即 sin A ? 2sin AcosC (4 分)

又因为在 ?ABC中, sin A ? 0 ,所以 2cosC ?1,即 cosC ? 1 ,所以 ?C ? ? (6 分)

2

3

(2)在 ?ABC中, c2 ? b2 ? a2 ? 2abcosC ,所以13 ? 9 ? a2 ? 3a

解得 a ? 4 或 a ? ?1(舍去),(9 分)

所以 S?ABC

?

1 2

absin C

?

3

3 (12 分)

19、解:设一共使用了 n 天,平均每天耗资为 y 元,

(100 ? n ? 99.5)n

90000 ?

2

则y?

2

? 90000 ? n ? 99.75 (6 分)

n

n4

当且仅当 90000 ? n 时,即 n ? 600 时 y 取得最小值 399.75(11 分), n4
天,平均每天耗资 399.75 元(12 分)

所以一共使用了 600

20、解:(1)在 ?ABC中 AB ? 3, BC ? 4, AC ? 5 ,所以 AB ? BC,

又因为 BB1 ? 平面ABC , AA1 ? 6 2 ,所以以 BA, BC, BB1 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空 间直角坐标系(2 分),此时 A(3,0,0), B(0,0,0), C(0,4,0), B1(0,0,6 2), C1(0,4,6 2), 所 以 AC ? (?3,4,0) , 又 因 为 AD ? m AC , 所 以 点 D(?3m ? 3,4m,0) ,

BD ? (?3m ? 3,4m,0), AB1 ? (?3,0,6 2)

因为异面直线

AB1

,

BD

所成角的余弦值为

1 5



所以| cos ? AB1, BD ?|? 9

| 9m ? 9 |

? 1 ,解得 m ? 1 (6 分)

25m2 ?18m ? 9 5

2

(2)因为

D



AC

中点,所以

D( 3 ,2,0) 2

.设平面

BC1D

的法向量

n1

?

( x0 ,

y0, z0 )



BC1 ? (0,4,6

2), BD ? ( 3 ,2,0) 2

则有: ???n1 ? BC1 ? 0 ?? n1 ? BD ? 0

得:

??4 y0 ?

? ??

3 2 x0

6 ?

2z0 ? 0 2 y0 ? 0

令 x0 ? 4 ,得 y0 ? ?3, z0 ? 2 ,所以 n1 ? (4,?3, 2) (8 分)

设平面 CC1D 的法向量 n2 ? (x1, y1, z1) , CC1 ? (0,0,6

2), CD ? ( 3 ,?2,0) 2

则有: ???n2 ? CC1 ? 0 ?? n2 ?CD ? 0

得:

?? ? ??

3 2

6 x1

2 ?

z1 ? 2 y1

0 ?

0

令 x1 ? 4 ,得 y1 ? 3, z1 ? 0 ,所以 n2 ? (4,3,0) (10 分)

cos ?

n1, n2

??

|

n1 ? n2 n1 || n2

|

?

73 45



所以锐二面角

B

?

DC1

?

C

的余弦值为

73 45

.(12

分)

21、解:(1)当

n

? 1 时,

2Sn

?

2a1

?

a2 1

?1?1,解得

a1

?

2或0

(舍)

(1 分).当 n ? 2 时, 2Sn ? an2 ? n ?1, 2Sn?1 ? an2?1 ? (n ?1) ?1

两式相减得: 2an ? an2 ? an2?1 ?1 ,即 (an ?1)2 ? an2?1 ? 0 , (an ?1? an?1)(an ?1? an?1) ? 0 ,

又因为 an ? 1 ,所以 (an ?1? an?1) ? 0 ,

an ?1? an?1 ? 0 , 即 an ? an?1 ? 1 , 所 以 数 列 {an} 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列

an ? a1 ? (n ?1) ?1 ? n ?1(6 分).

(2)因为 Tn ? a1 ? 2a1 ? a2 ? 2a2 ?? ? an ? 2an , 所以 Tn ? 2? 22 ? 3? 23 ??? (n ?1) ? 2n?1
2Tn ? 2 ? 23 ?? ? n ? 2n?1 ? (n ?1) ? 2n?2 (7 分)

两式相减得 ? Tn ? 23 ? (23 ?? ? 2n?1) ? (n ?1) ? 2n?2

? 8 ? 23 ? (1? 2n?1) ? (n ?1) ? 2n?2 ? ?n ? 2n?2 1? 2

所以Tn ? n ? 2n?2 (12 分)

22、解:(1)

?? ?

2 a2

?

1 b2

?? 2a ? 2

?1 5

解得

?? a 2 ???b2

? ?

5 5
3

即椭圆的方程为

x2 5

? y2 5 3

?1

(4 分)

? y ? k(x ?1)

(2)设

A( x1 ,

y1

),

B(

x2

,

y2

)

,联立

?? ?

x

2

?5

?

y2 5

?1

?? 3

得 (1? 3k 2 )x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 ,

? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ?1)(3k 2 ? 5) ? 48k 2 ? 20 ? 0 ,

x1

?

x2

?

?

6k 2 3k 2 ?1 ,

x1x2

?

3k 2 3k 2

?5 ?1

(8

分)

所以

PA?

PB

?

( x1

?

7 3

,

y1)

?

( x2

?

7 3

,

y2

)

?

( x1

?

7 3

)(x2

?

7) 3

?

y1

?

y2

?

( x1

?

7 3

)(x2

?

7 3

)

?

k

2

( x1

? 1)(x2

?1)

?

(1?

k

2

) x1

?

x2

?

(

7 3

?

k

2

)(x1

?

x2

)

?

49 9

?

k

2

?

(1 ?

k2)

3k 2 3k 2

?5 ?1

?

(7 3

?

k 2 )(?

6k 3k 2

2
?

) 1

?

49 9

?

k

2

?

?

3k 4 ?16k 2 3k 2 ?1

?5

?

49 9

?

k

2

?

4 9

(12

分)


相关文档

辽宁省抚顺市六校2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题理-含答案
辽宁省抚顺市六校2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题理201801190373
2017-2018学年辽宁省抚顺市六校联合体高二数学上期末考试(理)试题(附答案)
推荐精选辽宁省抚顺市六校2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 理
辽宁省抚顺市六校2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理科
[小初高学习]辽宁省抚顺市六校2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 文
2017-2018学年辽宁省抚顺市六校联合体高二数学上期末考试(理)试题
2017-2018学年辽宁省抚顺市六校联合体高二数学上期末考试(文)试题(附答案)
辽宁省抚顺市六校2017_2018学年高二数学下学期期末考试试题理
【新】辽宁省抚顺市六校2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理
电脑版