2017-2018学年高中数学人教B版必修4课件:复习课(一) 任意角的三角函数及三角恒等变换_图文

复习课(一) 任意角的三角函数及三角恒等变换 三角函数的定义 (1)题型多以选择题、填空题为主,一般难度较小.主要考查 三角函数的定义的应用,多与求三角函数值或角的大小有关. (2)若角 α 的终边上任意一点 P(x,y)(原点除外),r=|OP|= y x y x +y ,则 sin α=r ,cos α= r ,tan α=x(x≠0). 2 2 [典例] 已知角 α 的终边过点 P(-3cos θ,4cos θ),其中 ?π ? θ∈?2,π?,则 ? ? sin α=________,tan α=________. θ < 0 , ∴ r = x2+y2 = [解析] 2 ?π ? ∵ θ ∈ ?2,π? , ∴ cos ? ? 2 y 4 y 4 9cos θ+16cos θ=-5cos θ,故 sin α=r =- ,tan α=x=- . 5 3 [答案] 4 - 5 4 - 3 [类题通法] 利用三角函数定义求函数值的方法 当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时, 一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值,再求其 他.但当角经过的点不固定时,需要进行分类讨论. 求与正切函数有关问题时,不要忽略正切函数自身的定 义域. [题组训练] 1.已知角 α ? 5π 5π? 的终边上一点的坐标为?sin 6 ,cos 6 ?,则角 ? ? α的 最小正值为 5π A. 6 B. 2π 3 C. 5π 3 ( ) 11π D. 6 解析:选 C 由三角函数的定义知: 5π π 3 cos -cos - 6 6 2 tan α= = = =- 3. 5π π 1 sin sin 6 6 2 5π 5π 又 sin >0,cos <0. 6 6 5π 所以 α 是第四象限角,因此 α 的最小正值为 . 3 2.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终 边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ= 4 A.- 5 3 C. 5 解析:选 B 则 r2=|OP|2=a2+(2a)2=5a2. 2 a 1 2 所以 cos θ= 2= , 5a 5 ( 3 B.- 5 4 D. 5 ) 在角 θ 的终边上任取一点 P(a,2a)(a≠0). 2 3 cos 2θ=2cos θ-1= -1=- . 5 5 2 3.若 θ 是第四象限角,则点 P(sin θ,tan θ)在第________象限. 解析:因 θ 是第四象限角,则 sin θ<0,tan θ<0, ∴点 P(sin θ,tan θ )在第三象限. 答案:三 同角三角函数间的基本关系及诱导关系 (1)题型既有选择题、填空题,又有解答题.主要考查三角函数 式的化简与求值,利用公式进行恒等变形以及基本运算能力. (2)①牢记两个基本关系式 sin2α+cos2α=1 及 sin α =tan α,并 cos α 能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明. π ②诱导公式可概括为 k · ± α(k ∈ Z) 的各三角函数值的化简公 2 π 式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指 的 2 奇数倍或偶数倍,变与不变是指函数名称的变化. 2+tan?θ-π? [典例] 已知 =-4,求(sin θ-3cos θ)· (cos θ 1+tan?2π-θ? -sin θ)的值. [解] 2+tan θ 法一:由已知 =-4, 1-tan θ ∴2+tan θ=-4(1-tan θ), 解得 tan θ=2. ∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ ) =4sin θcos θ-sin2θ-3cos2θ 4sin θcos θ-sin2θ-3cos2θ = sin2θ+cos2θ 4tan θ-tan2θ-3 8-4-3 1 = = = . 5 tan2θ+1 4+1 2+tan θ 法二:由已知 =-4, 1-tan θ 解得 tan θ=2. sin θ 即 =2,∴sin θ=2cos θ. cos θ ∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ) =(2cos θ-3cos θ)(cos θ-2cos θ) 2 cos θ 1 1 2 =cos θ= 2 = = . sin θ+cos2θ tan2θ+1 5 [类题通法] 三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧 (1)化弦:当三角函数式中三角函数名称较多时,往往把三 角函数化为弦,再化简变形. (2)化切:当三角函数式中含有正切及其他三角函数时,有 时可将三角函数名称都化为正切,再变形化简. (3)“1”的代换:在三角函数式中,有些会含有常数 1,常数 1 虽然非常简单, 但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数 公式将“1”代换为三角函数式. [题组训练] ? ?π ? 3π? 5 1.若 sin(π-α)=- 且 α∈?π, 2 ?,则 sin?2 +α?= 3 ? ? ? ? ( ) 2 A.- 3 6 C. 6 6 B.- 6 2 D. 3 ? 3π? 5 解析:选 A sin(π-α)=sin α=- ,又 α∈?π, 2 ?, 3 ? ? ?π ? 所以 sin?2+α?=cos α=- 1-sin2α ? ? =- 52 2 1-- =- . 3 3 2.如果 tan θ=2,那么 1+sin θcos θ= 7 7 A. B. 3 5 5 5 C. D. 4 3 1+sin θcos θ 解析:选 B 1+sin θcos θ= 1 sin2θ+cos2θ+sin θcos θ = sin2θ+cos2θ tan2θ+tan θ+1 = , 2 tan θ+1 又 tan θ=2, 22+2+1 7 所以 1+sin θcos θ= 2 = . 5 2 +1 ( ) 4π ? 25π? 3.计算:sin c

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