2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1课件:第三章 圆锥曲线与方程 3.2_图文

阶 段 1

阶 段 3

3.2

双曲线的简单性质
学 业 分 层 测 评

阶 段 2

1.结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质.(重点) 2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,体会数形结合 思想.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 双曲线的简单性质 阅读教材P80“练习以下”~P82“例3”以上的部分,完成下列问题.
x2 y 2 y2 x2 标准方程 2- 2=1(a>0,b>0) 2- 2=1(a>0,b>0) a b a b

图形

几 何 性 质

范围 对称性 顶点 实虚轴 离心率 渐近线

y≤-a或y≥a x≤-a或x≥a 关于x轴,y轴,原点对称
A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)

中心 对称轴 a,b,c的关系

实轴长|A1A2|= 2a ,虚轴长|B1B2|= 2b c e=a(e>1) b a y=± y=± ax bx 原点 x轴,y轴 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)双曲线是轴对称图形.( ) )

(2)双曲线的离心率越大,它的开口越小.( x2 y2 (3)双曲线 4 - 9 =1的虚轴长为4.( )

【解析】 (1)双曲线关于x轴,y轴对称. (2)双曲线的离心率越大,它的开口越大. x 2 y2 (3) 4 - 9 =1中b=3,∴虚轴长为2b=6.
【答案】 (1)√ (2)× (3)×

2.双曲线2x2-y2=-8的实轴长是( A.2 2 C.2 B.4 2 D.4

)

y2 x2 【解析】 双曲线标准方程为 8 - 4 =1 故实轴长为2a=4 2.
【答案】 B

3.双曲线x2-y2=3的离心率为________.
2 2 x y 【解析】 x2-y2=3可化为 3 - 3 =1,

∴a=b= 3,c2=a2+b2=6, 6 c ∴e=a= = 2. 3
【答案】 2

x2 y2 4.求双曲线16- 9 =1的焦点坐标,实轴长、虚轴长、离心率.

【解】 ∵a =16,b =9,∴c =16+9=25, ∴焦点坐标为(5,0),(-5,0), 实轴长2a=8,虚轴长2b=6, c 5 离心率e=a=4.

2

2

2

【导学号:32550087】

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 2:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________

[小组合作型]

双曲线的简单性质的应用

x2 y2 (1)(2014· 广东高考)若实数k满足0<k<9,则曲线 25 - =1与曲线 9-k x2 y2 - =1的( 25-k 9 A.焦距相等 C.虚半轴长相等 ) B.实半轴长相等 D.离心率相等

【自主解答】

x2 y2 ∵0<k<9,∴ 25 - =1的实轴长为10,虚轴长为 9-k

34k 2 9-k,焦距为2 34-k,离心率 5 . x2 y2 - 9 =1的实轴长为2 25-k 34-k . 25-k ∴焦距相等. 25-k ,虚轴长为6,焦距为2 34-k ,离心率

【答案】 A

x2 (2)已知双曲线C: 4 -y2=1,P为双曲线上任意一点,设点A的坐标为(3,0), 求|PA|的最小值为________.
【自主解答】
2 x 设点P的坐标为(x,y),则|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+ 4 -1

5? 12?2 4 =4?x- 5 ? +5,根据双曲线的范围知:|x|≥2, ? ? 12 4 2 5 2 ∴当x= 5 时,|PA| 的最小值为5,即|PA|的最小值为 5 .

2 5 【答案】 5

(3)双曲线4x2-y2=4的顶点坐标为________,离心率为________,渐近线方 程为________.
【自主解答】
2 y 将4x2-y2=4变形为x2- 4 =1,

∴a=1,b=2,c= 5, c ∴顶点坐标为(-1,0),(1,0),e=a= 5, b 渐近线方程为y=± 2x. ax=±

【答案】 (-1,0),(1,0)

5 y=± 2x

1.由双曲线方程探究简单性质时,需先看所给方程是否为标准方程,若不 是,需先把方程化为标准方程,这是依据方程求参数,a,b,c值的关键. 2.写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时,需先由方程确定焦点所在的坐 标轴,否则易出错,需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系.

利用双曲线的性质求双曲线的标准方程

求适合下列条件的双曲线的标准方程 5 (1)顶点在x轴上,焦距为10,离心率是4; 3 (2)焦点在y轴上,一条渐近线为y=4x,实轴长为12; (3)离心率e= 2,且过点(-5,3).

c 5 【精彩点拨】 (1)由已知2c=10,e= a = 4 求出a,c的值,代入b2=c2-a2可 a 3 求得b ,即得方程;(2)由已知得 b = 4 ,2a=12,求出a,b即可;(3)设出两种双曲
2

线方程,利用待定系数法求解.

【自主解答】

x 2 y2 (1)由双曲线的顶点在x轴上,可设所求的标准方程为 a2 - b2 =

c 5 1(a>0,b>0).由焦距2c=10,e= a = 4 ,得c=5,a=4,所以b2=c2-a2=25- x2 y2 16=9.所以,所求双曲线的标准方程为16- 9 =1. y2 x2 (2)由双曲线的焦点在y轴上,可设所求的标准方程为 a2 - b2 =1(a>0,b> a 3 0).因此,2a=12,b=4,解得a=6,b=8,则a2=36,b2=64. y2 x2 故所求双曲线的标准方程为36-64=1.

c (3)因为e=a= 2,所以c= 2a,b2=c2-a2=a2. x2 y2 当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为 a2-a2 =1,把点(-5,3)代入,得a2 x2 y2 =16,所以所求双曲线的标准方程为16-16=1; y2 x2 当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为 a2-a2 =1,把点(-5,3)代入,得a2 =-16,不合题意. x2 y2 综上可知,所求双曲线的标准方程为16-16=1.

1.求双曲线方程,关键是求a,b的值,在解题过程中应熟悉a,b,c,e等元 素的几何意义及它们之间的联系,并注意方程思想的应用. 2.若已知双曲线的渐近线方程ax± by=0,可设双曲线方程为a2x2-b2y2=λ.

[再练一题] 1.将本例(2)中“焦点在y轴上”去掉,其他不变.
【解】 3 ∵渐近线方程为y=4x,

x2 y2 ∴不妨设双曲线的方程为16λ-9λ=1, 9 又∵a=6,当λ>0时,16λ=36,∴λ=4,

x2 y2 ∴双曲线方程为36-81=1, 4 当λ<0时,-9λ=36,∴λ=-4, y2 x2 双曲线方程为36-64=1, x2 y2 y 2 x2 ∴双曲线的标准方程为36-81=1或36-64=1. 4

双曲线的离心率

x2 y2 (1)(2014· 全国卷Ⅰ)已知双曲线a2- 3 =1(a>0)的离心率为2,则a= ( A.2 5 C. 2 6 B. 2 D.1 )

【精彩点拨】 直接列出离心率e的等式即可.

a2+3 【自主解答】 由已知得e= a =2,且a>0解得a=1.
【答案】 D

x2 y2 (2)(2014· 重庆高考)设F1,F2分别为双曲线 a2 - b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦 点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为 ( ) A. 2 C.4 B. 15 D. 17

【精彩点拨】 由定义知||PF1|-|PF2||=2a,故4a2=b2-3ab,结合c2=a2+ b2,即可求出e.

【自主解答】 由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2- b2 b b 3ab,即a2-3· a=4,解得a=4(-1舍去). c 因为双曲线的离心率e=a= 所以e= 17.故选D.
【答案】 D

b2 1+a2,

1.解决本题的关键是探寻a与c的关系. c 2.求双曲线的离心率的常见方法:一是依据条件求出a,c,再计算e=a;二 是依据条件提供的信息建立关于参数a,b,c的等式,进而转化为关于离心率e的 方程,再解出e的值.

[再练一题] x2 y2 4 2.已知双曲线 a2 - b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y= 3 x,则双曲线 的离心率为( 5 A.3 5 C.4 ) 4 B.3 3 D.2

b 4 c 【解析】 由题意得,a=3,则e=a=
【答案】 A

?b? 5 2 ? ? 1+ a =3. ? ?

[探究共研型]

双曲线的简单性质
探究1 何为双曲线的“虚轴”?
【提示】 x2 y2 在双曲线的标准方程 a2 - b2 =1(a>0,b>0)中,令y=0,可得x=

± a,因此双曲线与x轴有两个交点;而令x=0,方程没有实数根,说明双曲线与y 轴没有交点.为了方便画图,把点B1(0,-b),B2(0,b)也画在y轴上,称线段 B1B2为双曲线的虚轴. 此处应注意:双曲线有两个顶点,而椭圆有四个顶点.

探究2 如何确定双曲线的形状?

【提示】 (1)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点, 注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上. (2)直线x=± a,y=± b或x=± b,y=± a围成的矩形中,双曲线的渐近线即为两 条对角线所在的直线. 依据上述两点,可画出双曲线的大致形状.

探究3 如何用几何图形解释c2=a2+b2?a,b,c在双曲线中分别表示哪些线 段的长?

【提示】 由于c2=a2+b2,a,b,c就是图中Rt△OAB的三边长,它们从另 一个角度反映了参数a,b,c的几何意义.

探究4 双曲线的渐近线具有什么特点?

【提示】 双曲线的渐近线是两条直线.随着x和y趋向无穷大,双曲线的各 支将与渐近线无限接近,但永远没有交点.由双曲线的渐近线方程只能确定a与b 的比值,无法确定双曲线的焦点在哪一条坐标轴上.在圆锥曲线中,渐近线是双 曲线特有的性质.

探究5 双曲线的渐近线与双曲线的标准方程有什么关系?

【提示】 (1)为了便于记忆,根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时, x2 y2 可以把双曲线的标准方程 a2 - b2 =1(a>0,b>0)中等号右边的“1”改成“0”,然后 x y 分解因式即可得到渐近线的方程a± b=0.

x2 y2 x2 y2 (2)与双曲线 a2 - b2 =1有共同渐近线的双曲线方程可设为 a2 - b2 =λ(λ≠0);若 x2 y2 x y b 已知双曲线的渐近线方程 a ± b =0或y=± a x,则双曲线方程可设为 a2 - b2 = λ(λ≠0).当λ>0时,焦点在x轴上;当λ<0时,焦点在y轴上. (3)双曲线确定时,渐近线唯一确定;渐近线确定时,双曲线并不唯一确定.

求适合下列条件的双曲线标准方程. 3 (1)顶点间距离为6,渐近线方程为y=± 2x. x2 y2 (2)经过点M(-3,2 3),且与双曲线 9 -16=1有共同的渐近线.

x2 【精彩点拨】 (1)因焦点的位置不确定,应分类讨论求解;(2)与双曲线 9 - y2 x 2 y2 16=1有相同渐近线的双曲线方程可设为 9 -16 =λ(λ≠0),从而达到简便运算的效 果.

【自主解答】

9 b 3 (1)当焦点在x轴上时,由a=2且a=3得b=2.

x2 4y2 ∴所求双曲线标准方程为 9 - 81 =1. a 3 当焦点在y轴上时,由b=2且a=3得b=2. y2 x2 ∴所求双曲线标准方程为 9 - 4 =1.

x2 y2 4 (2)法一:双曲线 9 -16=1的渐近线方程为y=± 3x, x2 y2 当焦点在x轴上时,设所求双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0). ?b 4 ?a=3 由题意得? ? 92-12 2 =1 , ?a b 9 ? 2 ?a = 4 ∴? 2 ? ?b =4.

x2 y2 ∴所求双曲线的标准方程为 9 - 4 =1; 4 y2 x2 当焦点在y轴上时,设所求双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0). ?a 4 ?b=3 由题意得? 9 ?12 2 - 2 =1 ?a b

此方程组无解.

x2 y2 综上可知,双曲线的标准方程为 9 - 4 =1. 4

x2 y2 法二:设所求双曲线方程为 9 -16=λ(λ≠0), ∵双曲线经过点M(-3,2 3), ?-3?2 ?2 3?2 1 ∴λ= 9 - 16 =4. x2 y2 1 x2 y2 故双曲线方程为 9 -16=4,即 9 - 4 =1. 4

x2 y2 求解双曲线标准方程的难点是设双曲线方程,常用的技巧如下:①与双曲线a2-b2=1(a x2 y2 >0,b>0)有相同渐近线的双曲线方程可设为a2-b2=λ(λ≠0),若λ>0,则表示焦点在x轴上的 x2 y2 双曲线,若λ<0,则表示焦点在y轴上的双曲线.②与双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)有相等离 x2 y2 y2 x2 x2 y2 心率的双曲线方程可设为a2-b2=λ(λ>0)或a2-b2=λ(λ>0).③与双曲线a2-b2=1(a>0,b>0) x2 y2 b 有相同焦点的双曲线方程可设为 2 - 2 =1(-a2<λ<b2).④已知渐近线方程y=± ax,双 a +λ b -λ x2 y2 曲线方程可设为a2-b2=λ(λ≠0),通过求λ确定双曲线方程,而无需考虑其实、虚轴的位置.

[再练一题] 3 3.双曲线的渐近线方程为y=± 4x,则离心率为( 5 A.4 5 5 C.3或4 5 B. 2 5 15 D. 2 或 3 )

b 3 c 【解析】 当焦点在x轴上时,a=4,∴e=a= a 4 c 当焦点在y轴上时,b=3,∴e=a=
【答案】 C

?b? 5 2 ? ? 1+ a =4; ? ?

?a? 5 2 ? ? 1+ b =3.故选C. ? ?

[构建· 体系]

y2 x2 1.双曲线 4 - 9 =1的顶点坐标为( A.(0,2)(0,-2) C.(0,2)(0,-2)(3,0)(-3,0)

)

B.(3,0)(-3,0) D.(0,2)(3,0)

【解析】 由双曲线的标准方程知焦点在y轴上,则顶点在y轴上,且a2=4, 则a=2, 从而顶点坐标为(0,2),(0,-2).
【答案】 A

x2 y2 2.如图334,双曲线C: 9 -10=1的左焦点为F1,双曲线上的点P1与P2关于 y轴对称,则|P2F1|-|P1F1|的值是( A.3 C.4 ) B.6 D.8

图334
【解析】 设F2为右焦点,由双曲线的对称性知,|P1F1|=|P2F2|, ∴|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=6.

【答案】 B

3.(2014· 全国卷)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若 |F1A|=2|F2A|,则cos ∠AF2F1=( ) 【导学号:32550088】 1 A.4 2 C. 4 1 B.3 2 D. 3

【解析】

c ∵双曲线的离心率为2,∴a=2,

∴a∶b∶c=1∶ 3∶2.
? ?|AF1|-|AF2|=2a, 又∵? ? ?|F1A|=2|F2A|,

∴|AF1|=4a,|AF2|=2a, ∴|F1F2|=2c=4a, |AF2|2+|F1F2|2-|AF1|2 4a2+16a2-16a2 4a2 1 ∴cos ∠AF2F1= = =16a2=4,选A. 2|AF2||F1F2| 2×2a×4a

【答案】 A

x2 y2 4.设F1,F2分别是双曲线 a2 - b2 =1的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使 ∠F1AF2=90° 且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为________.
【解析】 设|AF2|=x,|AF1|=3x,则2a=|AF1|-|AF2|=2x,2c= 10x 10 c |AF1| +|AF2| = 10x.∴离心率e=a= 2x = 2 .
2 2

【答案】

10 2

x 2 y2 x2 y2 5.(2016· 大庆高二检测)已知双曲线 a2 - b2 =1(a>0,b>0)和椭圆 16 + 11 =1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,求双曲线的方程.
【解】 x2 y2 5 椭圆16+11=1的焦点坐标为( 5,0)(- 5,0),离心率为 4 ,

x2 y2 ∴双曲线a2-b2=1的c= 5, 5 5 e=2× 4 = 2 ,∴a=2,∴b2=c2-a2=1, x2 2 ∴双曲线的标准方程为 4 -y =1.

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

学业分层测评(十八)

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