2019-2020学年高中数学北师大版必修5 第三章4.1 二元一次不等式(组)与平面区域 作业2 Word版含解析

北师大版 2019-2020 学年数学精品资料
, [学生用书单独成册])

[A.基础达标] 1.不等式 2x-y-6>0 表示的平面区域在直线 2x-y-6=0 的( A.左上方 B.右上方 C.左下方 D.右下方 )

解析:选 D.将(0,0)代入 2x-y-6,得-6<0,(0,0)点在不等式 2x-y-6>0 表示的 平面区域的异侧.则所求区域在对应直线的右下方. 2. 已知点(a, 2a-1)既在直线 y=3x-6 的上方, 又在 y 轴的右侧, 则 a 的取值范围是( A.(2,+∞) B.(5,+∞) C.(0,2) D.(0,5) 解析:选 D.因为(a,2a-1)在直线 y=3x-6 的上方, 所以 3a-6-(2a-1)<0.即 a<5. 又(a,2a-1)在 y 轴右侧,所以 a>0. 所以 0<a<5. 3.完成一项装修工程,木工和瓦工的比例为 2∶3,请木工需付工资每人 50 元,请瓦 工需付工资每人 40 元,现有工资预算 2 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,x,y 满足的条件 是( ) 50x+40y≥2 000, ? ? ? ?2x+3y≤5, ? A. B.?x 2 ?x、y∈N+ ? ?y=3 ? 5x+4y≤200, 5x+6y<100, ? ? x 2 = , C. y 3 D.?x 2 ? ?y=3 x、y∈N+ )

? ? ? ? ?

解析:选 C.因为木工和瓦工各请 x、y 人, 所以有 x∶y=2∶3, 50x+40y≤2 000,且 x、y∈N+. 4.设点 P(x,y),其中 x,y∈N,满足 x+y≤3 的点 P 的个数为( A.10 B .9 C.3 D.无数个 )

解析:选 A.当 x=0 时,y 可取 0,1,2,3,有 4 个点;当 x=1 时,y 可取 0,1,2, 有 3 个点;当 x=2 时,y 可取 0,1,有 2 个点;当 x=3 时,y 可取 0,有 1 个点.故一共 有 10 个点. 5.在直角坐标系中,不等式 y2-x2≤0 表示的平面区域是( )

解析: 选 C.原不等式等价于(x+y)(x-y)≥0, 因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包 括边界),故选 C. 6.不等式|x|+|y|≤1 所表示的平面区域的面积为________. 解析:

原不等式等价于 x+y≤1,x≥0,y≥0, ? ?x-y≤1,x≥0,y≤0, ?x-y≥-1,x≤0,y≥0, ? ?x+y≥-1,x≤0,y≤0, 其表示的平面区域如图中阴影部分. 所以 S=( 2)2=2. 答案:2 7.△ABC 的三个顶点坐标为 A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),则△ABC 的内部及边界 所对应的二元一次不等式组是________. 解析:

如图直线 AB 的方程为 x+2y-1=0(可用两点式或点斜式写出). 直线 AC 的方程为 2x+y-5=0, 直线 BC 的方程为 x-y+2=0, 把(0,0)代入 2x+y-5=-5<0, 所以 AC 左下方的区域为 2x+y-5<0, x+2y-1≥0, ? ? 所以同理可得△ABC 区域(含边界)为?x-y+2≥0, ? ?2x+y-5≤0. x+2y-1≥0, ? ? 答案:?x-y+2≥0, ? ?2x+y-5≤0

x-y+5≥0, ? ? 8 .若不等式组 ?y≥a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 ? ?0≤x≤2 ________. 解析:

?x-y+5≥0, 不等式组? 表示的平面区域如图中的阴影部分所示,用平行于 x 轴的直线 ?0≤x≤2
截该平面区域,若得到一个三角形,则 a 的取值范围是 5≤a<7. 答案:[5,7) 9.某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知 木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要 1 h 和 2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需 要 3 h 和 1 h.又木工、漆工每天工作分别不得超过 8 h 和 9 h.请列出满足生产条件的数学 关系式,并画出相应的平面区域. 解:设家具厂每天生产甲,乙型号的桌子的张数分别为 x 和 y,它们满足的数学关系式 x+2y≤8, ? ?3x+y≤9, 为:? 分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域,然后取交集,如图中的 x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N. 阴影部分所示,生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件.

x-y+8≥0, ? ? 10.设不等式组?x+y≥0, 表示的平面区域是 Q. ? ?x≤4 (1)求 Q 的面积 S; (2)若点 M(t,1)在平面区域 Q 内,求整数 t 的取值的集合. 解:

(1)作出平面区域 Q,它是一个等腰直角三角形(如图所示).

?x+y=0, ? 由? ?x=4, ?
解得 A(4,-4),

? ?x-y+8=0, 由? ? ?x=4, ?x-y+8=0, ? 解得 B(4,12),由? 解得 C(-4,4). ? ?x+y=0
于是可得|AB|=16,AB 边上的高 d=8. 1 所以 S= ×16×8=64. 2 t-1+8≥0, ? ?t+1≥0, (2)由已知得? t≤4, ? ?t∈Z, t≥-7, ? ?t≥-1, ? ?-1≤t≤4, 即? 亦即? 得 t=-1,0,1,2,3,4. t≤4, t ∈ Z , ? ? ? ?t∈Z. 故整数 t 的取值集合是{-1,0,1,2,3,4}. [B.能力提升] ?x≤3, 1.不等式组?x+y≥0, 表示的平面区域的面积等于(

?

? ?x-y+2≥0

)

A.28 39 C. 4

B.16 D.121

x≤3, ? ? 解析:选 B.先画出不等式组?x+y≥0, 表示的平面区域. ? ?x-y+2≥0

如图阴影部分所示. 因为直线 x+y=0 与直线 x-y+2=0 垂直,

所以△ABC 为直角三角形. 易得 A(-1,1),B(3,-3),C(3,5). 所以|AC|= |AB|= (3+1)2+(5-1)2=4 2,

? 4 2.若不等式组?x+3y≥4,所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分, 3 ? ?3x+y≤4 则 k 的值是( ) 7 3 A. B. 3 7 4 3 C. D. 3 4
解析:选 A.

(3+1)2+(-3-1)2=4 2. 1 1 所以 S△ABC= |AB|·|AC|= ×(4 2)2=16. 2 2 ?x≥0,

不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,所以求得点 A,B,C 的坐标分别为(1, 4? 1),(0,4),? ?0,3?. 4? 4 由直线 y=kx+ 恒过点 C? ?0,3?,且平面区域被此直线分为面积相等的两部分,观察图 3 4 像可知,当直线 y=kx+ 与直线 3x+y=4 的交点 D 的横坐标为点 A 的横坐标的一半时,可 3 1 5? 1 5 满足要求.因此 xD= ,代入直线 3x+y=4,可得 yD= ,故点 D 的坐标为? ?2,2?,代入直 2 2 4 5 1 4 7 线 y=kx+ ,即 =k× + ,解得 k= ,故选 A. 3 2 2 3 3 ?x≤0, 3.若不等式组?y≥0, 表示的平面区域为Ⅰ,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 x

?

? ?y-x≤2

+y-a=0 扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为________. 解析:

如图所示,Ⅰ为△BOE 所表示的区域,而动直线 x+y=a 扫过Ⅰ中的那部分区域为四边 1 3? 形 BOCD,而 B(-2,0),O(0,0),C(0,1),D? ?-2,2?,E(0,2),△CDE 为直角三角形. 1 1 1 7 所以 S 四边形 BOCD= ×2×2- ×1× = . 2 2 2 4

7 答案: 4
? ?x-2y≥0, 4.已知 D 是由不等式组? 所确定的平面区域,则圆 x2+y2=4 在区域 D 内的 ?x+3y≥0 ? 弧长为________. 解析:

作出区域 D 及圆 x2+y2=4 如图所示, 图中阴影部分所在圆心角 θ=α+β 所对弧长即为 1 1 + 2 3 1 1 1 1 所求, 易知图中两直线的斜率分别为 , - ?tan α= , tan β= , tan θ=tan(α+β)= 2 3 2 3 1 1 1- × 2 3 π π π =1?θ= ?弧长 l=θ· R= ×2= . 4 4 2 π 答案: 2 ?x-y+5≥0, 5.画出不等式组?x+y≥0,

?

? ?x≤3

表示的平面区域,并回答下列问题:

(1)指出 x、y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 解:

不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方的平面区域,x+y≥0 表示直线 x +y=0 上及右上方的平面区域,x≤3 表示直线 x=3 上及左方的平面区域.原不等式组表示 的平面区域如图阴影部分所示: 5 - ,3?,y∈[-3,8]. (1)由图可得 x∈? ? 2 ?

?-x≤y≤x+5 ? (2)由图像及不等式组可知:? . ?-2≤x≤3 ?
①当 x=-2 时,2≤y≤3?y=2 或 3,有 2 个整点. ②当 x=-1 时,1≤y≤4?y=1,2,3,4,有 4 个整点. ③同理当 x=0,1,2,3 时,分别有 6 个、8 个、10 个、12 个整点. 所以,所求平面区域里共有 6×(2+12) 2+4+…+12= =42 个整点. 2

x+y≤2, ? ? 6.已知点 M(a,b)在由不等式组?x≥0, 表示的平面区域内,求点 N(a+b,a-b) ? ?y≥0 所在的平面区域的面积.

?x+y≤2, ?a+b≤2, 解:因为点 M(a,b)在不等式组?x≥0, 表示的平面区域内,所以?a≥0, 设 X ?y≥0 ?b≥0.
=a+b,Y=a-b,

? X+Y≥0, ?X+Y≥0, ? ? 则? 2 即?X-Y≥0, ? X-Y ?X≤2, ? ≥ 0 , ?2
X≤2, 所以点 N(a+b,a-b),即点 N(X,Y)所在的平面区域如图阴影部分所示.

1 由图可知其面积为 S= ×4×2=4. 2


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