2014人教A版数学必修一第1章《集合与函数概念》(3.2奇偶性)示范教案

河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修 1 第 1 章 集合与函数
概念-7.示范教案(3.2 奇偶性)
教学分析 本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法,即先给 出几个特殊函数的图象,让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识,然后利用表格探究数 量变化特征,通过代数运算,验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立,最后在 这个基础上建立了奇(偶)函数的概念.因此教学时,充分利用信息技术创设教学情景,会 使数与形的结合更加自然. 值得注意的问题:对于奇函数,教材在给出的表格中留出大部分空格,旨在让学生自己动手 计算填写数据,仿照偶函数概念建立的过程,独立地去经历发现、猜想与证明的全过程,从 而建立奇函数的概念.教学时,可以通过具体例子引导学生认识,并不是所有的函数都具有 奇偶性,如函数 y=x 与 y=2x-1 既不是奇函数也不是偶函数,可以通过图象看出也可以用定 义去说明. 三维目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、 归纳问题的能力. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质,掌握判断函数的奇偶性的方法,渗透数形结合 的数学思想. 重点难点 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义. 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式. 课时安排 1 课时
教学过程 导入新课 思路 1.同学们,我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请大家想一下有哪些美呢? (学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天,我们就来讨论对称美,请大家想一 下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(学生举例,再在屏幕上给出一组图片:喜字、蝴蝶、 建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?下面, 我们以麦当劳的标志为例,给它适当地建立直角坐标系,那么大家发现了什么特点呢?(学 生发现:图象关于 y 轴对称.)数学中对称的形式也很多,这节课我们就同学们谈到的与 y 轴对称的函数展开研究. 思路 2.结合轴对称与中心对称图形的定义,请同学们观察图形,说出函数 y=x2 和 y=x3 的图 象各有怎样的对称性?引出课题:函数的奇偶性. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图 1-3-2-1 所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.

图 1-3-2-1

②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于 y 轴对称呢?填写表 1 和表 2,你发现这

两个函数的解析式具有什么共同特征?

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(x)=x2

表1

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(x)=|x|

表2

③请给出偶函数的定义?

④偶函数的图象有什么特征?

⑤函数 f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗?

⑥偶函数的定义域有什么特征?

⑦观察函数 f(x)=x 和 f(x)= 1 的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质? x
活动:教师从以下几点引导学生:

①观察图象的对称性.

②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后,教师指出:这样的函数称为偶函数.

③利用函数的解析式来描述.

④偶函数的性质:图象关于 y 轴对称.

⑤函数 f(x)=x2,x∈[-1,2]的图象关于 y 轴不对称;对定义域[-1,2]内 x=2,f(-2)不存

在,

即其函数的定义域中任意一个 x 的相反数-x 不一定也在定义域内,即 f(-x)=f(x)不恒成立.

⑥偶函数的定义域中任意一个 x 的相反数-x 一定也在定义域内,此时称函数的定义域关于

原点对称.

⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称,再列表格观察自变量互为相反数时,函数

值的变化情况,进而抽象出奇函数的概念,再讨论奇函数的性质.

给出偶函数和奇函数的定义后,要指明:(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,

函数的奇偶性是函数的整体性质;(2)由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必

要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关

于原点对称);(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的

图象关于原点对称;(4)可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利

用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法;(5)函数的奇偶性是函数在定

义域上的性质是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”

性质.

讨论结果:

①这两个函数之间的图象都关于 y 轴对称.



x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(x)=x2

9

4

1

0

1

4

9

表1

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(x)=|x|

3

2

1

0

1

2

3

表2

这两个函数的解析式都满足:

f(-3)=f(3);

f(-2)=f(2);

f(-1)=f(1).

可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数

定义域内一个 x,都有 f(-x)=f(x).

③一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶

函数.

④偶函数的图象关于 y 轴对称.

⑤不是偶函数.

⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.

⑦一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么 f(x)就叫做奇

函数.奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点轴对称.

应用示例

思路 1

例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5;

(3)f(x)=x+ 1 ; x
(4)f(x)= 1 . x2
活动:学生思考奇偶函数的定义,利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域,并判断定

义域是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,那么再判断 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x). 解:(1)函数的定义域是 R,对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=(-x)4=x4=f(x),

所以函数 f(x)=x4 是偶函数. (2)函数的定义域是 R,对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),

所以函数 f(x)=x4 是奇函数.

( 3 ) 函 数 的 定 义 域 是 (-∞,0)∪(0,+∞) , 对 定 义 域 内 任 意 一 个 x , 都 有

f(-x)=-x+ 1 =-(x+ 1 )=-f(x),

?x

x

所以函数 f(x)=x+ 1 是奇函数. x

( 4 ) 函 数 的 定 义 域 是 (-∞,0)∪(0,+∞) , 对 定 义 域 内 任 意 一 个 x , 都 有

f(-x)= 1 = 1 =f(x), (?x2 ) x2

所以函数 f(x)= 1 是偶函数. x2
点评:本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,对

定义域内任意 x,其相反数-x 也在函数的定义域内,此时称为定义域关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:

①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;

②确定 f(-x)与 f(x)的关系;

③作出相应结论:

若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)是偶函数;

若 f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)是奇函数.

变式训练

2006 辽宁高考,理 2 设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( )

A.f(x)f(-x)是奇函数

B.f(x)|f(-x)|是奇函数

C.f(x)-f(-x)是偶函数

D.f(x)+f(-x)是偶函数

分析:A 中设 F(x)=f(x)f(-x),则 F(-x)=f(-x)f(x)=F(x),即函数 F(x)=f(x)f(-x)为偶函数;

B 中设 F(x)=f(x)|f(-x)|,F(-x)=f(-x)|f(x)|,此时 F(x)与 F(-x)的关系不能确定,即函

数 F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定;

C 中设 F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x),即函数 F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数;

D 中设 F(x)=f(x)+f(-x),F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),即函数 F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.

答案:D

例 22006 上海春季高考,6 已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当 x∈(-∞,0)时,

f(x)=x-x4,则当 x∈(0,+∞)时,f(x)=_______.

活动:学生思考偶函数的解析式的性质,考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数

值,转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质 f(x)=f(-x),将在区

间(0,+∞)上的自变量对应的函数值,转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.

分析:当 x∈(0,+∞)时,则-x<0.

又∵当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,

∴f(x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.

答案:-x-x4

点评:本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性,求函数的解析式时,要充

分利用函数的奇偶性,将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间

上自变量对应的函数值.

变式训练

已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2+ 3 x ,求 f(x).
解:当 x=0 时,f(-0)=-f(0),则 f(0)=0; 当 x<0 时,-x>0,由于函数 f(x)是奇函数,则

f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+ 3 ? x ]=-x2+ 3 x ,

?x2 ? 3 x,

综上所得,f(x)=

? ?0,

??? x2 ? 3 x,

x ? 0, x ? 0, x ? 0.

思路 2

例 1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x2,x∈[-1,2];
(2)f(x)= x 2 ? x 2 ; x ?1
(3)f(x)= x2 ? 4 + 4 ? x2 ;
(4)f(x)= 1 ? x 2 ? x ? 1 . 1? x2 ? x ?1
活动:学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点 对 称 , 再 判 断 f(-x) 与 f(x) 的 关 系 . 在 (4) 中 注 意 定 义 域 的 求 法 , 对 任 意 x∈R , 有
1 ? x 2 > x2 =|x|≥-x,则 1 ? x 2 +x>0.则函数的定义域是 R.
解:(1)因为它的定义域关于原点不对称,函数 f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数又不是偶 函数.
(2)因为它的定义域为{x|x∈R 且 x≠1},并不关于原点对称,函数 f(x)= x 2 ? x 2 既不是 x ?1
奇函数又不是偶函数. (3)∵x2-4≥0 且 4-x2≥0, ∴x=±2, 即 f(x)的定义域是{-2,2}. ∵f(2)=0,f(-2)=0, ∴f(2)=f(-2),f(2)=-f(2). ∴f(-x)=-f(x),且 f(-x)=f(x). ∴f(x)既是奇函数也是偶函数. (4)函数的定义域是 R.
∵f(-x)+f(x)= 1 ? x2 ? x ?1 ? 1 ? x2 ? x ?1 1? x2 ? x ?1 1? x2 ? x ?1
= 1 ? x2 ? (x ?1)2 ?1 ? x2 ? (x ?1)2 ( 1? x2 ? x ?1)( 1? x2 ? x ?1)
=1? x2 ? x2 ? 2x ?1?1? x2 ? x2 ? 2x ?1 ( 1? x2 ? x ?1)( 1? x2 ? x ?1)
=0, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数. 点评:本题主要考查函数的奇偶性. 定义法判断函数奇偶性的步骤是(1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此 函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断 f(-x)与 f(x)或-f(x)是 否相等;(2)当 f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当 f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数;

(3)当 f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数;

(4)当 f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数.

判断解析式复杂的函数的奇偶性时,如果定义域关于原点对称时,通常化简 f(-x)+f(x)来

判断 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)是否成立.

变式训练 2007 河南开封一模,文 10 函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数

g(x)= f (x) 在区间(1,+∞)上一定( ) x

A.有最小值

B.有最大值

C.是减函数

分析:函数 f(x)=x2-2ax+a 的对称轴是直线 x=a,

D.是增函数

由于函数 f(x)在开区间(-∞,1)上有最小值,

所以直线 x=a 位于区间(-∞,1)内,即 a<1.g(x)= f (x) =x+ a -2, xx
下面用定义法判断函数 g(x)在区间(1,+∞)上的单调性.

设 1<x1<x2,

则 g(x1)-g(x2)=(x1+ a ? 2)-(x2+ a ? 2)=(x1-x2)+( a ? a )

x1

x2

x1 x2

=(x1-x2)(1 ? a ) x1 x2

=(x1-x2) x1x2 ? a . x1 x2

∵1<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1>0. 又∵a<1,∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0. ∴g(x1)<g(x2). ∴函数 g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,函数 g(x)在区间(1,+∞)上没有最值. 答案:D 例 2 已 知函 数 f(x) 的定 义 域 是 x≠0 的 一 切实 数 , 对定 义 域 内的 任意 x1 、 x2 都 有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当 x>1 时 f(x)>0,f(2)=1, (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;

(3)试比较 f( ? 5 )与 f( 7 )的大小.

2

4

活动:(1)转化为证明 f(-x)=f(x),利用赋值法证明 f(-x)=f(x);(2)利用定义法证明单

调性,证明函数单调性的步骤是“去比赛”;(3)利用函数的单调性比较它们的大小,利用

函数的奇偶性,将函数值 f( ? 5 )和 f( 7 )转化为同一个单调区间上的函数值.

2

4

解:(1)令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0.

令 x1=x2=-1,得 f(1)=f[-1×(-1)]=f(-1)+f(-1),∴2f(-1)=0.

∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).

∴f(x)是偶函数.

(2)设 x2>x1>0,则

f(x2)-f(x1)=f(x1· x2 )-f(x1)=f(x1)+f( x2 )-f(x1)=f( x2 ).

x1

x1

x1

∵x2>x1>0,∴ x2 >1.∴f( x2 )>0,即 f(x2)-f(x1)>0.

x1

x1

∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

(3)由(1)知 f(x)是偶函数,则有 f( ? 5 )=f( 5 ).

2

2

由(2)知 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则 f( 5 )>f( 7 ).∴f( ? 5 )>f( 7 ).

24

24

点评:本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数

的奇偶性和单调性通常应用定义法,比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比

较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.

变式训练

2007 广东中山高三期末统考,理 19 已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且

对定义域内的任意 x、y,f(x)都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y).

(1)求 f(1)、f(-1)的值;

(2)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由.

分析:(1)利用赋值法,令 x=y=1 得 f(1)的值,令 x=y=-1,得 f(-1)的值;(2)利用定义

法证明 f(x)是奇函数,要借助于赋值法得 f(-x)=-f(x).

解:(1)∵f(x)对任意 x、y 都有 f(x·y)=yf(x)+xf(y),

∴令 x=y=1 时,有 f(1·1)=1·f(1)+1·f(1).

∴f(1)=0.

∴令 x=y=-1 时,有 f[(-1)·(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).

∴f(-1)=0.

(2)是奇函数.

∵f(x)对任意 x、y 都有 f(x·y)=yf(x)+xf(y),

∴令 y=-1,有 f(-x)=-f(x)+xf(-1).

将 f(-1)=0 代入得 f(-x)=-f(x),

∴函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.

知能训练

课本 P36 练习 1、2.

[补充练习]

1.2007 上海春季高考,5 设函数 y=f(x)是奇函数.若 f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则

f(1)+f(2)=_____.

分析:∵函数 y=f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1).

∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.

∴2[f(1)+f(2)]=-6.∴f(1)+f(2)=-3.

答案:-3

2.f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则 a=_________,b=________.

分析:∵偶函数定义域关于原点对称,

∴a-1+2a=0.∴a= 1 . 3
∴f(x)= 1 x2+bx+1+b.又∵f(x)是偶函数,∴b=0. 3
答案: 1 0 3
3.2006 山东高考,理 6 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为

()

A.-1

B.0

C.1

D.2

分析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0).

又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0.

∴f(6)=0.故选 B.

答案:B

拓展提升

问题:基本初等函数的奇偶性.

探究:利用判断函数的奇偶性的方法:定义法和图象法,可得

正比例函数 y=kx(k≠0)是奇函数;

反比例函数 y= k (k≠0)是奇函数; x
一次函数 y=kx+b(k≠0),当 b=0 时是奇函数,当 b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数; 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),当 b=0 时是偶函数,当 b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数.

课堂小结

本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用

定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.

作业

课本 P39 习题 1.3A 组 6,B 组 3.

设计感想

单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点,而本节设计的题目不多,因此,在实际教学

中,教师可以利用课余时间补充,让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个

性质.

在教学设计中,注意培养学生的综合应用能力,以便满足高考要求.

习题详解

(课本 P32 页练习) 1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看,在生产劳动力较少的情况下,随人数的增加效

率随着增大,但是到了一定数量后,人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩,

出现了怠工等现象.

2.图象如图 1-3-2-2 所示,

图 1-3-2-2

函数的单调增区间为[8,12),[13,18); 函数的单调减区间为[12,13),[18,20]. 3.函数的单调区间是[-1,0),[0,2),[2,4),[4,5]. 在区间[-1,0),[2,4)上是减函数;在区间[0,2),[4,5]上是增函数. 4.证明:设 x1、x2∈R,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(-2x1+1)-(-2x2+1)=2(x2-x1). ∵x1<x2,∴x2-x1>0.∴f(x1)>f(x2). ∴函数 f(x)=-2x+1 在 R 上是减函数. 5.如图 1-3-2-3 所示,

图 1-3-2-3 从图象上可以发现 f(-2)是函数的一个最小值. (课本 P36 练习) 1.(1)对于函数 f(x)=2x4+3x2,其定义域为(-∞,+∞). 因为对定义域内的每一个 x,都有 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x), 所以函数 f(x)=2x4+3x2 为偶函数. (2)对于函数 f(x)=x3-2x,其定义域为(-∞,+∞). 因为对定义域内的每一个 x,都有 f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x), 所以函数 f(x)=x3-2x 为奇函数.

(3)对于函数 f(x)= x 2 ? 1 ,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). x
因为对定义域内的每一个 x,都有

f(-x)= (?x)2 ?1 = ? x2 ? 1 =-f(x),

?x

x

所以函数 f(x)= ? x2 ? 1 为奇函数. x
(4)对于函数 f(x)=x2+1,其定义域为(-∞,+∞). 因为对定义域内的每一个 x,都有 f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x), 所以函数 f(x)=x2+1 为偶函数. 2.f(x)的图象如图 1-3-2-4 所示,g(x)的图象如图 1-3-2-5 所示.

图 1-3-2-4

图 1-3-2-5

(课本 P39 习题 1.3) A组

1.(1)函数的单调区间是(-∞, 5 ],( 5 ,+∞).函数 y=f(x)在区间(-∞, 5 ]上是减函数,

22

2

在区间( 5 ,+∞)上是增函数. 2

(2)函数的单调区间是(-∞,0],(0,+∞).函数 y=f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,在区间

(-∞,0]上是增函数.

图略.

2.(1)设 0<x1<x2,则有 f(x1)-f(x2)=(x12+1)-(x22+1)=x12-x22=(x1-x2)(x1+x2). ∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2<0. ∴f(x1)>f(x2). ∴函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数.

(2)设 0<x1<x2,则有

f(x1)-f(x2)=(1 ?

1 x1

)-(1 ?

1 x2

)= 1 x2

? 1 = x1 ? x2 x1 x1x2

.

∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0. ∴f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数. 3.设 x1、x2 是(-∞,+∞)上任意两个实数,且 x1<x2. 则 y1-y2=(mx1+b)-(mx2+b) =m(x1-x2). ∵x1<x2,∴x1-x2<0. 当 m<0 时,∴y1-y2>0,即 y1>y2. ∴此时一次函数 y=mx+b(m<0)在(-∞,+∞)上是减函数. 同理可证一次函数 y=mx+b(m>0)在(-∞,+∞)上是增函数. 综上所得,当 m<0 时,一次函数 y=mx+b 是减函数; 当 m>0 时,一次函数 y=mx+b 是增函数. 4.心率关于时间的一个可能的图象,如图 1-3-2-6 所示,

图 1-3-2-6

5.y= ? x 2 +162x-2100= ? 1 (x2-8100x)-2100= ? 1 (x-4050)2+307 050.

50

50

50

由二次函数的知识,可得当月租金为 4 050 元时,租赁公司的月收入最大,最大收益为 307 050 元.

6.图略,函数

f(x)的解析式为

?x(1 ??x(1

? ?

x), x),

x ? 0, x ? 0.

B组

1.(1)函数 f(x)在(-∞,1)上为减函数,在[1,+∞)上为增函数;函数 g(x)在[2,4]上为

增函数.

(2)函数 f(x)的最小值为-1,函数 g(x)的最小值为 0.

2.设矩形熊猫居室的宽为 x m,面积为 y m2,则长为 30 ? 3x m,那么 y=x 30 ? 3x

2

2

= 1 (30x-3x2)= ? 3 (x-5)2+ 75 .

2

2

2

所以当 x=5 时,y 有最大值 75 , 2

即宽 x 为 5 m 时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大,最大面积是 75 m2. 2

3.函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数.

证明:设 x1<x2<0,则-x1>-x2>0. ∵函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(-x1)<f(-x2). ∵函数 f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).∴f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数.

(课本 P44 复习参考题) A组

1.(1)A={-3,3};(2)B={1,2};(3)C={1,2}.

2.(1)线段 AB 的垂直平分线;

(2)以定点 O 为原心,以 3 cm 为半径的圆.

3.属于集合的点是△ABC 的外接圆圆心.

4.A={-1,1},

(1)若 a=0,则 B= ? ,满足 B ? A;

(2)若 a=-1,则 B={-1},满足 B ? A;

(3)若 a=1,则 B={1},满足 B ? A.

综上所述,实数 a 的值为 0,-1,1.

5.A∩B={(x,y)|

?2x ??3x

-y?0 ?y?0

}={(x,y)|

?x ??y

? ?

0 0

}={(0,0)};

A∩C={(x,y)|

?2x ??2x

-

y y

? ?

0 3

}=

?



B∩C={(x,y)|

?3x ??2x

?y?0 -y?3

}={(x,y)|

???x ?

? ??

y

? ?

3 5
?

9 5

}={(

3 5

,

?

9 5

)};

(A∩B)∪(B∩C)={(0,0),( 3 , ? 9 )}. 55
6.(1)要使函数有意义,必须|x|-2≥0,即 x≤-2 或 x≥2,所以函数的定义域为{x|x≤-2 或
x≥2};

(2)要使函数有意义,必须

?x ??x

? ?

2 5

? ?

0, 0,



?x ??x

? ?

2, ?5,



x≥2.

所以函数的定义域为{x|x≥2};

(3)要使函数有意义,必须

?x ? ??| x |

4 ? 0, ?5 ? 0,



x≥4,且

x≠5.

所以函数的定义域为{x|x≥4,且 x≠5}.
7.(1)f(a)+1= 1 ? a ? 1= 2 ; 1? a a ?1

(2)f(a+1)= 1 ? (a ? 1) = ? a . 1 ? (a ? 1) 2 ? a

8.(1)∵f(-x)= 1 ? (?x)2 = 1? x2 ,∴f(-x)=f(x). 1? (?x)2 1? x2

(2)∵f( 1

1? (1)2 )= x

1?
=

1 x2

=

x2 ?1 x2 =

x2

?1 =?1? x2

,∴f( 1

)=-f(x).

x

1? (1)2 1? 1

x

x2

x2 ?1 x2 ?1 x2

1? x2

x

9.二次函数 f(x)的对称轴是直线 x= k ,则有 k ≤5 或 k ≥20.解得 k≤40 或 k≥160,即实

8

8

8

数 k 的取值范围是(-∞,40]∪[160,+∞).

10.(1)函数 y=x-2 是偶函数;

(2)它的图象关于 y 轴对称;

(3)函数在(0,+∞)上是减函数;

(4)函数在(-∞,0)上是增函数.

B组

1.同时参加田径和球类比赛的有 3 人,只参加游泳一项比赛的有 9 人.

提示:由题意知有 15 人参加游泳比赛,有 8 人参加田径比赛,有 14 人参加球类比赛,所以

15+8+14=37,知共有 37 人次参加比赛.

由已知共有 28 名同学参赛,且没有人同时参加三项,而 37-28=9,

知共有 9 名同学参加两项比赛.

已知同时参加游泳和田径的有 3 人,同时参加游泳和球类的有 3 人,因此同时参加田径和球

类的有 3 人;又已知有 15 人参加游泳比赛,因此只参加游泳一项的有 9 人. 2.实数 a 的取值范围为{a|a≥0}.
3.∵ (A∪B)=( A)∩( B)={1,3},A∩( B)={2,4},

∴ B={1,2,3,4}.∴B={5,6,7,8,9}.

4.f(1)=1×(1+4)=5; f(-3)=-3×(-3-4)=21;

f(a+1)=

?(a ??(a

? ?

1)(a 1)(a

? ?

5), 3),

a ? ?1, a ? ?1.

5.证明:(1)f ( x1 ? x2 ) =a· x1 ? x2 +b

2

2

= ax1 ? b ? abx ? b = 1 (ax1+b)+ 1 (ax2+b)= 1 [f(x1)+f(x2)],

2 2 2 22

2

2

∴f( x1 ? x2 )= 1 [f(x1)+f(x2)].

2

2

(2)g( x1 ? x2 )=( x1 ? x2 )2+a· x1 ? x2 +b

2

2

2

=

1 2



x1 2

+ax1+b)+

1 2



x22

+ax2+b)-

1 4

(x1-x2)2

= 1 [g(x1)+g(x2)]- 1 (x1-x2)2,

2

4

∵- 1 (x1-x2)2≤0, 4

∴g( x1 ? x2 )≤ 1 [g(x1)+g(x2)].

2

2

6.(1)奇函数 f(x)在[-b,-a]上是减函数;

(2)偶函数 g(x)在[-b,-a]上是减函数.

7.若全月纳税所得额为 500 元,则应交纳税款为 500×5%=25(元).此时月工资为 800+500

=1 300(元);若全月纳税所得额为 2000 元,则应交纳税款为 500×5%+1500×10%=175

(元).此时月工资为 800+500+1500=2800(元).由于此人交纳税款为 26.78 元,则此

人 的 工 资 在 区 间 ( 1300 , 2800 ) 内 , 所 以 他 当 月 的 工 资 、 薪 金 所 得 是 800 + 500 +

26.78 ? 25 ≈1317.8(元). 0.1


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