高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换例题与探究新人教A版必修4

3.2 简单的三角恒等变换 典题精讲 例 1(江苏高考卷,14)cot20°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°=______________. 思路分析:熟练运用三角公式计算求值,方法不拘泥,要注意灵活运用. cot20°cos10°+ 3 sin10°tan70°-2cos40° = cos 20? ? cos10? 3 sin 10? sin 70? -2cos40° ? sin 20? cos70? cos20? cos10? ? 3 sin 10? cos20? -2cos40° sin 20? cos 20?(cos10? ? 3 sin 10?) -2cos40° sin 20? = = 2 cos 20?(cos 10? sin 30? ? sin 10? cos 30?) -2cos40° sin 20? 2 cos 20? sin 40? ? 2 sin 20? cos 40? = =2. sin 20? = 答案:2 绿色通道: 在求三角的问题中,要注意这样的规律,即“三看”: (1)看角,把角尽量向特殊角 或可计算角转化, (2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称, 例如把所有的切 都转化为相应的弦, 或把所有的弦转化为相应的切, (3)看式子,看式子是否满足三角函数的 公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用. 变式训练 1(福建高考卷,理 1)tan15°+cot15°等于( ) A.2 B. 2 3 C.4 D. 4 3 3 sin 15? cos15? sin 2 15? ? cos2 15? 1 ? ? 思路解析:原式= = =4. 2 2 cos15? sin 15? sin 15? cos 15? 1 sin 30? 2 答案:C 变式训练 2 计算:cos ? ? 5? cos cos . 12 12 3 思路分析:通过观察、分析已知式子中各角的特点,可先将 cos 5? ? 转化为 sin ,然后再 12 12 利用二倍角的正弦公式进行求解 . 将非特殊角转化为特殊角是求值常用的方法,也可将 ? 5? 转化为 cos 求解. 12 12 1 ? ? 1 ? 1 解:原式= cos sin = sin = . 2 12 12 4 6 8 sin 1 例 2 若 sinα = 5 10 ,sinβ = 且 α 、β 是锐角,求 α +β 的值. 5 10 思路分析:可先求出 α +β 的某种三角函数值. 解:∵α 、β 是锐角,∴cosα = 1 ? ( 5 2 2 5 , ) ? 5 5 cosβ = 1 ? ( 10 2 3 10 . ) ? 10 10 2 . 2 ∴sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ = 又∵sinα = 5 1 10 1 < ,sinβ = < ,∴0°<α <30°,0°<β <30°. 2 2 5 10 ∴0°<α +β <60°.∴α +β =45°. 黑色陷阱:此题在解出 sin(α +β )= 2 时,易误认为 α +β =45°或 α +β =135°.忽视了 2 sinα 、sinβ 取值对 α 、β 范围的进一步限制. ? 3 ? 3? ? )= , ≤α < ,求 cos(2α + )的值. 2 4 5 2 4 ? ? 思路分析: 先将 cos(2α + )变形为用已知角或有关的角来表示.本题若不注意 cos (α + ) 4 4 3 ? ? = 对 α + 的限制,在求 sin(α + )时,会出现两种情况. 5 4 4 变式训练已知 cos(α + 解:cos(2α + ∵ ? ? ? 2 )=cos2α cos -sin2α sin = (cos2α -sin2α ). 4 4 4 2 ? 3? 3? ? 7? ≤α < ,∴ ≤α + < . 2 4 4 2 4 ? 3? ? 7? 又∵cos(α + )>0,∴ <α + < . 2 4 4 4 ∴sin(α + ? ? 4 2 )= ? 1 ? cos (? ? ) ? ? . 4 4 5 ? ? ? 24 )=2sin(α + )cos(α + )= ? , 25 2 4 4 ? ? 7 2 sin2α =-cos( +2α )=1-2cos (α + )= . 2 4 25 ∴cos2α =sin(2α + ∴原式= 24 7 2 31 2 ? ×( ? )= ? . 25 25 2 50 2 例 3(陕西高考卷,理 17)已知函数 f(x)= 3 sin(2x- ? ? 2 )+2sin (x)(x∈R). 12 6 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. 思路分析:对于形如 asinα +bcosα (a、b 不同时为 0)的式子引入辅助角变为 Asin(α +φ ) 的形式,可进行三角函数的化简,求周期最值等. 解:(1)f(x)=3sin(2x- ? ? )+1-cos2(x) 12 6 = 2[ ? 1 ? 3 sin2(x- )- cos2(x- )]+1 12 2 12 2 ? ? )- ]+1 12 6 ? = 2sin(2x- ) +1. 3 2? ∴T= =π . 2 =2sin[2(x(2)当 f(x)取最大值时,sin(2x- ? ? =2kπ + , 3 2 5? 即 x=kπ + (k∈Z). 12 有 2x- ? )=1, 3 ∴所求 x 的集合为{x∈R|x= kπ + 5? (k∈Z)}. 12 黑色陷阱:忽视题目中角与角的关系,(2x同时在三角变换上容易出现计算错误. 变式训练(重庆高考卷,文 17)f(x)= ? ? )与(x)是二倍角的关系,从而思维受阻, 12 6 -asin 1 ? co

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