高中数学第七章知识点总结(精华版) 直线和圆的方程

高中数学第七章-直线和圆的方程
考试内容: 直线的倾斜角和斜率,直线方程的点斜式和两点式.直线方程的一般式. 两条直线平行与垂直的条件.两条直线的交角.点到直线的距离. 用二元一次不等式表示平面区域.简单的线性规划问题. 曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程. 圆的标准方程和一般方程.圆的参数方程. 考试要求: (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点 斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. (2)掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系. (3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单的应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法. (6)掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念。理解圆的参数方程.

§ 直线和圆的方程 知识要点 07.
一、直线方程. 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜 角,其中直线与 x 轴平行或重合时,其倾斜角为 0,故直线倾斜角的范围是
0 ? ? ? 180 ( 0 ? ? ? ? )
? ?

.

注:①当 ?

? 90

?

或 x 2 ? x 1 时,直线 l 垂直于 x 轴,它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都 有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地, 当直线经过两点 ( a , 0 ), ( 0 , b ) , 即直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a , b ( a ? 0 , b ? 0 ) 时, 直线方程是: 注:若
y ? ? 2 3 y ? ? x a 2 3 x ? 2( x ? 0) ? y b x?2 ? 1.

是一直线的方程,则这条直线的方程是

y ? ?

2 3

x?2

,但若

则不是这条线.
? kx ? b

附:直线系:对于直线的斜截式方程 y

,当 k , b 均为确定的数值时,它表示一条确定

的直线,如果 k , b 变化时,对应的直线也会变化.①当 b 为定植, k 变化时,它们表示过定点 (0, b )的直线束.②当 k 为定值, b 变化时,它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行: l 1 ∥ l 2 ? k 1 ? k 2 两条直线平行的条件是:① l 1 和 l 2 是两条不重合的直线. ②在 l 1 和 l 2 的斜率 都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的 错误. (一般的结论是:对于两条直线 l 1 ,l 2 ,它们在 y 轴上的纵截距是 b 1 ,b 2 ,则 l 1 ∥ l 2 ? k 1 ? k 2 ,

且 b 1 ? b 2 或 l 1 ,l 2 的斜率均不存在,即 A 1 B 2 ? B 1 A 2 是平行的必要不充分条件,且 C 1 ? C 2 ) 推论:如果两条直线 l 1 ,l 2 的倾斜角为 ? 1 ,? 2 则 l 1 ∥ l 2 ? ? 1 ?? 2 . ⑵两条直线垂直: 两条直线垂直的条件:①设两条直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,则有 l 1 ? l 2 ? k 1 k 2 ? ? 1 这 里的前提是 l 1 ,l 2 的斜率都存在. ② l 1 ? l 2 ? k 1 ? 0 ,且 l 2 的斜率不存在或 k 2 ? 0 ,且 l 1 的斜率不 存在. (即 A 1 B 2 ? A 2 B 1 ? 0 是垂直的充要条件) 4. 直线的交角: ⑴直线 l 1 到 l 2 的角(方向角);直线 l 1 到 l 2 的角,是指直线 l 1 绕交点依逆时针方向旋转到 与 l 2 重合时所转动的角 ? ,它的范围是 ( 0 , ? ) ,当 ?
? 90
?

时 tan ?

?

k 2?k 1 1 ? k 1k
2

.

⑵两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角:两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角,是指由 l 1 与 l 2 相交所成的四 个角中最小的正角 ? ,又称为 l 1 和 l 2 所成的角,它的取值范围是 ? 0 , ?
? ?

? ?
? 2?

,当 ?

? 90

?

,则有

tan ? ?

k 2?k 1 1 ? k 1k
2

.

5. 过两直线 ?

?l 1 : A 1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 ?l 2 : A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

的交点的直线系方程 A 1 x ? B 1 y ? C 1 ? ? ( A 2 x ? B 2 y ? C 2 ) ?

0(?

为参数, A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 不包括在内) 6. 点到直线的距离: ⑴点到直线的距离公式:设点 P ( x 0 , y 0 ) ,直线 l : Ax
d ? Ax 0 ? By 0 ? C A ?B
2 2

? By ? C ? 0 , P

到 l 的距离为 d ,则有

.

注: 1. 两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式: | P1 P2 特例:点 P(x,y)到原点 O 的距离: | O P |? 2.
|? ( x 2 ? x1 )
2 2

2

? ( y 2 ? y1 )

2

.

x ? y

定 比 分 点 坐 标 分 式 。 若 点 P(x,y) 分 有 向 线 段 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则
x ? x1 ? ? x 2 1? ? ,y ? y1 ? ? y 2 1? ?

???? ???? P1 P2 所 成 的 比 为 ? 即 P1 P ? ? P P2

,其中

特例,中点坐标公式;重要结论,三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角(0°≤ ? <180°)、斜率: k ? tan ? 4. 过两点 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 )的直线的斜率公式:
k ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

.

( x1 ? x 2 )

当 x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 (即直线和 x 轴垂直)时,直线的倾斜角 ? = 90 ? ,没有斜率 ⑵两条平行线间的距离公式:设两条平行直线 l 1 : Ax

新疆 学案

王新敞

? By ? C 1 ? 0 ,l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 ( C 1 ? C 2 )



它们之间的距离为 d ,则有 d

?

C 1?C
2

2 2

.

A ?B

注;直线系方程
1. 与直线:Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是:Ax+By+m=0.( m?R, C≠m). 2. 与直线:Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是:Bx-Ay+m=0.( m?R) 3. 过定点(x1,y1)的直线系方程是: A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0) 4. 过直线 l1、l2 交点的直线系方程:(A1x+B1y+C1)+λ( A2x+B2y+C2)=0 (λ?R) 该直线系不含 l2. 7. 关于点对称和关于某直线对称: ⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等. ⑵关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称 直线距离相等. 若两条直线不平行, 则对称直线必过两条直线的交点, 且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对 称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点. 注:①曲线、直线关于一直线( y ? ? x ? b )对称的解法:y 换 x,x 换 y. 例:曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x–2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x –2)=0. ②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a – x, 2b – y)=0. 二、圆的方程. 1. ⑴曲线与方程:在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的 与一个二元方程

注:

f ( x, y ) ? 0

的实数

建立了如下关系: ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形). ⑵曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点 M ( x , y ) 其坐标与方程 f ( x , y ) ? 0 的一种关系, 曲线上任一点 ( x , y ) 是方程 f ( x , y ) ? 0 的解;反过来,满足方程 f ( x , y ) ? 0 的解所对应的点是 曲线上的点. 注:如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0,那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程:以点 C ( a , b ) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 . 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x 2 ? y 2 ? r 2 . 注:特殊圆的方程:①与 x 轴相切的圆方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? b 2 ②与 y 轴相切的圆方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? a 2 ③与 x 轴 y 轴都相切的圆方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? a ) 2 ? a 2 3. 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx
? Ey ? F ? 0
[ r ? b , 圆心 ( a , b ) 或 ( a , ? b )]

[ r ? a , 圆心 ( a , b ) 或 ( ? a , b )]

[ r ? a , 圆心 ( ? a , ? a )]

.
? ? D 2 E ? ? 2 ? D ? E ?4 F 2
2 2

当 D 2 ? E 2 ?4 F

? 0

时,方程表示一个圆,其中圆心 C ? ?

,?

,半径 r

?

.

当 D 2 ? E 2 ?4 F 当 D 2 ? E 2 ?4 F

? 0 ? 0

时,方程表示一个点 ? ?
?

?

D 2

,?

E ? ? 2 ?

.

时,方程无图形(称虚圆).
? x ? a ? r cos ? ? y ? b ? r sin ?

注:①圆的参数方程: ? ②方程
2 2

( ? 为参数). 表示圆的充要条件是:
B ?0

Ax

2

? Bxy ? Cy

2

? Dx ? Ey ? F ? 0



A ?C ? 0



D ? E ? 4 AF ? 0 .

③圆的直径或方程: 已知 A ( x 1 , y 1 ) B ( x 2 , y 2 ) ?

(用向量可征) . ( x ? x 1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0
: (x ? a) ?( y ? b) ?r
2 2 2

4. 点和圆的位置关系:给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C ① M 在圆 C 内 ?
( x 0 ? a ) ? ( y 0 ?b) ? r
2 2 2

.

② M 在圆 C 上 ?( x 0 ? a ) 2 ? ( y 0 ? b ) 2 ? r 2 ③ M 在圆 C 外 ?
( x 0 ? a ) ? ( y 0 ?b) ? r
2 2 2

5. 直线和圆的位置关系: 设圆圆 C : ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 ( r
? 0)



直线 l : Ax

? By ? C ? 0 ( A ? B ? 0 ) ;
2 2

圆心 C ( a , b ) 到直线 l 的距离 d ①d
? r

?

Aa ? Bb ? C A ?B
2 2

.

时, l 与 C 相切;
?x 2 ? y 2?D x ?E y ?F ? 0 ? 1 1 1 ?x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0 ?
2 2

附:若两圆相切,则 ?

?

相减为公切线方程.

② d ? r 时, l 与 C 相交; C1 附:公共弦方程:设: x 2 ? y 2 ? D 1 x ? E 1 y ? F 1?
2 2

0

C 2 :x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ? 0

有两个交点,则其公共弦方程为 ( D 1 ? D 2 ) x ? ( E 1 ? E 2 ) y ? ( F 1 ? F 2 ) ? 0 . ③d
? r

时, l 与 C 相离.
?x 2 ? y 2?D x ?E y ?F ? 0 ? 1 1 1 ?x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0 ?
2 2

附:若两圆相离,则 ?

?

相减为圆心 O 1 O 2 的连线的中与线方程.

由代数特征判断:方程组 ? 程,其判别式为 ? ,则: ? ? 0 ? l 与 C 相切; ? ? 0 ? l 与 C 相交; ? ? 0 ? l 与 C 相离.

?( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 ? ? Ax ? Bx ? C ? 0 ?

用代入法,得关于 x (或 y )的一元二次方

注:若两圆为同心圆则 x 2 ? y 2 ? D 1 x ? E 1 y ? F 1 ? 0 , x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ? 0 相减,不表示直

线. 6. 圆 的 切 线 方 程 : 圆
x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

x ? y ?r

2

2

2

的斜率为

k

的切线方程是

y ? kx ?

1?k

2

r

过圆

上一点 P ( x 0 , y 0 ) 的切线方程为: x 0 x ? y 0 y ?

D

x ?x0 2

?E

y ?y0 2

?F ? 0

.

①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上, 则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地, 过圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上 一点 P ( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y
?r
2

A

.

? y1? y 0 ? k (x1? x 0 ) ? b ? y 1 ? k (a ? x 1 ) ②若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则 ? R ? ? 2 R ?1 ?

,联立求出 k

?

切线方程.

B

C D (a ,b )

7. 求切点弦方程:方法是构造图,则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图:ABCD 四类共 圆. 已知
?O

的方程

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

2

2

…① 又 以 ABCD 为 圆 为 方 程 为

( x ? x A )( x ? a ) ? ( y ? y A )( x ? b ) ? k

2

…②

R ?

2

( x A ? a) ? ( y A ?b) 4

2

2

…③,所以 BC 的方程即③代②,①②相切即为所求.

三、曲线和方程 1.曲线与方程:在直角坐标系中,如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: 1) 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解(纯粹性); 2) 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上(完备性)。则称方程 f(x,y)=0 为曲线 C 的 方程,曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。 2.求曲线方程的方法:. 1)直接法:建系设点,列式表标,简化检验; 2)参数法; 3)定义法, 4)待定系 数法.


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