浙江专用版2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修2

1.2.2 学习目标 同角三角函数的基本关系 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函 数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明. 知识点 同角三角函数的基本关系式 思考 1 计算下列式子的值: (1)sin 30°+cos 30°; (2)sin 45°+cos 45°; (3)sin 90°+cos 90°. 由此你能得出什么结论?尝试证明它. 答案 3 个式子的值均为 1.由此可猜想: 对于任意角 α ,有 sin α +cos α =1,下面用三角函数的定义证明: 设角 α 的终边与单位圆的交点为 P(x,y),则由三角函数的定义,得 sin α =y,cos α = 2 2 2 2 2 2 2 2 x. ∴sin α +cos α =x +y =|OP| =1. 思考 2 由三角函数的定义知,tan α 与 sin α 和 cos α 间具有怎样的等量关系? 2 2 2 2 2 y sin α π 答案 ∵tan α = (x≠0),∴tan α = (α ≠ +kπ ,k∈Z). x cos α 2 梳理 (1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系:sin α +cos α =1. π sin α ? ? ②商数关系:tan α = ?α ≠kπ + 2 ,k∈Z?. cos α ? ? (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin α +cos α =1 的变形公式 sin α =1-cos α ;cos α =1-sin α . sin α ②tan α = 的变形公式 cos α sin α sin α =cos α tan α ;cos α = . tan α 2 2 2 2 2 2 2 2 1.sin α +cos β =1.( ? 2 2 ) 1 提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立,即 sin α +cos α =1. 2.sin 2 2 2 θ 2θ +cos =1.( √ ) 2 2 θ 2 2 2θ 2θ 提示 在 sin α +cos α =1 中,令 α = 可得 sin +cos =1. 2 2 2 sin α 3.对任意的角 α ,都有 tan α = 成立.( ? ) cos α π 提示 当 α = +kπ ,k∈Z 时就不成立. 2 类型一 利用同角三角函数的关系式求值 命题角度 1 已知角 α 的某一三角函数值及 α 所在象限,求角 α 的其余三角函数值 5 例 1 (1)若 sin α =- ,且 α 为第四象限角,则 tan α 的值为( 13 A. 12 12 B.- 5 5 5 C. 12 D.- 5 12 ) 考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的商数关系 答案 D 5 12 解析 ∵sin α =- ,且 α 为第四象限角,∴cos α = , 13 13 sin α 5 ∴tan α = =- ,故选 D. cos α 12 π 1 (2)(2017?绍兴柯桥区期末)已知- <α <0,sin α +cos α = ,则 tan α 的值为( 2 5 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 3 4 4 3 考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的商数关系 答案 B 1 解析 ∵sin α +cos α = , 5 1 等号两边同时平方得 1+2sin α cos α = , 25 ) 2 12 即 sin α cos α =- , 25 1 12 2 ∴sin α ,cos α 是方程 x - x- =0 的两根, 5 25 π 又∵- <α <0, 2 3 4 ∴sin α =- ,cos α = , 5 5 sin α 3 ∴tan α = =- . cos α 4 反思与感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系, 其常用的用途是 “知一求二”,即在 sin α ,cos α ,tan α 三个值之间,知道其中一个可以求其余两个.解 题时要注意角 α 的象限,从而判断三角函数值的正负. (2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题, 我们可利用平方关系或商数关系 求解,其关键在于运用方程的思想及(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α 的等价转化, 分析解决问题的突破口. 4 跟踪训练 1 已知 tan α = ,且 α 是第三象限角,求 sin α ,cos α 的值. 3 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 sin α 4 4 解 由 tan α = = ,得 sin α = cos α .① cos α 3 3 又 sin α +cos α =1,② 16 9 2 2 2 由①②得 cos α +cos α =1,即 cos α = . 9 25 又 α 是第三象限角, 3 4 4 ∴cos α =- ,sin α = cos α =- . 5 3 5 命题角度 2 已知角 α 的某一三角函数值,未给出 α 所在象限,求角 α 的其余三角函数值 8 例 2 已知 cos α =- ,求 sin α ,tan α 的值. 17 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 8 解 ∵cos α =- <0,且 cos α ≠-1, 17 ∴α 是第二或第三象限角. (1)当 α 是第二象限角时,则 3 2 2 2 sin α = 1-cos α = 2 ? 8 ?2 15 1-?- ? = , ? 17? 17 15 17 sin α 15 tan α = = =- . cos α 8 8 - 17 4 (2)当 α 是第三象限角时,则 15 15 2 sin α =- 1-cos α =- ,tan α = . 17 8 反思与感悟 利用同角三角函

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