河北省石家庄2014届高三第一次教学质量检测(期末)数学理试题 Word版含答案

石家庄 2014 届高三第一次教学质量检测(期末) 数学(理)试题
(时间 102 分钟 满分 150 分) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题))和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 5.考虑到各校的复习进度,本试卷考试内容不包含选修系列 4.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,则复数 z=(1+i)·i3 的共轭复数是 A.-1-i B.1-i C.-1+i D.1+i 2.设 a,b 表示直线,α,β,γ 表示不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 a⊥α 且 a⊥b,则 b∥α B.若 γ⊥α 且 γ⊥β,则 α∥β C.若 a∥α 且 a∥β,则 α∥β D.若 γ∥α 且 γ∥β,则 α∥β 2 3.若抛物线 y =2px 上一点 P (2,y0)到其准线的距离为 4,则抛物线的标准方程为 A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=10x 3.若抛物线 y2=2px 上一点 P (2,y0)到其准线的距离为 4,则抛物线的标准方程为 A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=10x 4.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 A.4 B.5 C.6 D.7

5.把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,连结 AC,得到三棱锥 C-ABD,其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示) ,则 其俯视图的面积为 3 A. 2 1 B. 2 C.1 2 D. 2
正视图

? ?y≥x, 6.设变量 x,y 满足约束条件:?x+2y≤2,则 z=x-3y 的最小值为 ? ?x≥-2,

俯视图

A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 7.袋中装有完全相同的 5 个小球,其中有红色小球 3 个,黄色小球 2 个,如果不放回地依 次摸出 2 个小球,则在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出红球的概率是

3 A.10

3 B. 5

1 C. 2

1 D. 4

8.函数 f (x)=sin x·ln|x|的部分图象为

9.已知球 O,过其球面上 A,B,C 三点作截面,若 O 点到该截面的距离等于球半径的一半, 且 AB=BC=2,∠B=120?,则球 O 的表面积为 64? A. 3 8? B. 3
2

C.4?

16? D. 9

10.已知函数 f (x)=|log 1 x|,若 m<n,有 f (m)=f (n),则 m+3n 的取值范围是 A.[2 3,+∞) C.[4,+∞) B.(2 3,+∞) D.(4,+∞)

11.已知点 G 是△ABC 的重心,若∠A=120?,→ AB ·→ AC =-2,则|→ AG |的最小值是 3 A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 4

? 1 x+1,(x≤1), ? 12.已知函数 f (x)=?10 则方程 f (x)=ax 恰有两个不同的实根时,实数 a ? ?ln x-1,(x>1),
的取值范围是(注:e 为自然对数的底数) A.(-1,0) 1 1 C.(-1,0)∪ 10,e2 1 B. -1,10

(

)

(

)

1 D. -1,e2

(

)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某学校共有师生 3200 人,先用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 160 的 样本.已知从学生中抽取的人数为 150,那么该学校的教师人数是__________. ? 14.在△ABC 中,若 BC=1,A= 3 ,sin B=2sin C,则 AB 的长度为__________. x2 y2 15.设 F1,F2 分别是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在 一点 P,使(→ OP +→ OF2 )·→ F2P =0(O 为坐标原点) ,且|→ PF1 |= 3 3 6 5 16.如右图,一个类似杨辉三角的数阵,则第 n(n≥2)的第 3 个数 7 11 11 7 9 18 22 18 9 为__________. ??
2

|→ PF |,则双曲线的离心率为__________.

1 3 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) ? ? 已知函数 f (x)=sin 4x+ 4 +cos 4x- 4 .

(

)

(

)

(Ⅰ)求函数 f (x)的最大值; (Ⅱ)若直线 x=m 是曲线 y=f (x)的对称轴,求实数 m 的值.

18. (本小题满分 12 分) 已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S3=a4+6, 且 a1, a4, a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=2an+1,求数列{bn}的前 n 项和.

19. (本小题满分 12 分) 2013 年 12 月 21 日上午 10 时,省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应,正式实施机动 车车尾号限行,当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了 50 人,将调查 情况进行整理后制成下表: 年龄(岁) 频数 赞成人数 [15,25) 5 4 [25,35) 10 6 [35,45) 15 9 [45,55) 10 6 [55,65) 5 3 [65,75] 5 4

(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图; (Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查, 记选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望.
频率 组距

0.04 0.03 0.02 0.01

15

25

35

45

55

65

75 年龄

20. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,CD⊥平面 PAD,BC∥AD,PA=PD, O,E 分别为 AD,PC 的中点,PO=AD=2BC=2CD. (Ⅰ)求证:AB⊥DE; (Ⅱ)求二面角 A-PC-O 的余弦值.
P

E

A B

O C

D

21. (本小题满分 12 分) 2 3 已知 F1(-1,0),F2(1,0)为椭圆 C 的左、右焦点,且点 P 1, 3 在椭圆 C 上.

(

)

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,问△F2AB 的内切圆的面积是否存在最大 值?若存在求其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 已知 a 为实常数,函数 f (x)=ln x-ax+1. (Ⅰ)讨论函数 f (x)的单调性; (Ⅱ)若函数 f (x)有两个不同的零点 x1,x2(x1<x2) . (ⅰ)求实数 a 的取值范围; 1 (ⅱ)求证: e <x1<1,且 x1+x2>2. (注:e 为自然对数的底数)

高三数学(理科答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 1-5.DDCBB 6-10.DCAAD 11-12.CC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.. 13.200 14.

3 3

15. 3 ? 1

16. n ? 2n ? 3
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解:(Ⅰ) f ( x) ? sin(4 x ?

?

? 2 sin(4 x ?
所以

?
4

) ? cos( ? x) ? sin(4 x ? ) ? sin( ? 4 x) 4 4 4 4
……3 分 ……5 分

?

?

?

)

f ( x) 的最大值是 2

(Ⅱ)令 4 x ?

?
4

? k? ?

?
2

( k ?Z),

……7 分

则x?

k? ? ? (k ? z ) , 4 16
? f ( x) 的对称轴,所以 m ?

……9 分

而直线 x ? m 是函 y

k? ? ? ( k ?Z) 4 16

……10 分

18.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ? 0 . 因为 S3 = a4 + 6 ,所以 3a1 ?

3 ? 2d ? a1 ? 3d ? 6 .① 2
……2 分

因为 a1 , a4 , a13 成等比数列,所以 a1 (a1 + 12d ) = (a1 + 3d ) 2 .② 由①,②可得: a1 = 3, d = 2 .……………………………………4 分 所以 an = 2n + 1 . (Ⅱ)由题意 bn ? 2
2 n ?1

……6 分

? 1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , cn ? 2 2 n ?1 ,

c n ?1 2 2( n ?1) ?1 ? 2 n ?1 ? 4 (n ? N * ) , cn 2
所以数列 {c n } 为以 8 为首项,以 4 为公比的等比数列. ……9 分

所以 Tn ?

8(1 ? 4n ) 22 n ?3 ? 8 ?n? ? n. 1? 4 3

……12 分 ……2 分 ……4 分

19.解: (Ⅰ)各组的频率分别是 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1 . 所以图中各组的纵坐标分别是 0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01 .
频率 组距

0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 年龄

(Ⅱ) ? 的所有可能取值为:0,1,2,3……………6 分

……5 分

p ?? ? 0 ? ? p ?? ? 1? ? p ?? ? 2 ? ? p ?? ? 3? ?

2 C62 C4 6 15 45 15 ? ? ? ? = , 2 2 C5 C10 10 45 225 75 1 1 1 2 C62 C4 C4 ? C6 C4 4 15 6 24 102 34 ? ? ? ? ? ? ? ? = , 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75 1 1 1 2 2 C4 ? C6 C4 C4 C4 4 24 6 6 66 22 ? ? ? ? ? ? ? ? = , 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75 1 2 C4 C4 4 6 12 4 ? ? ? ? = , 2 2 C5 C10 10 45 225 75

……10 分

所以 ? 的分布列是:

?
p
6 所以 ? 的数学期望 E? ? . 5

0 15 75

1 34 75

2 22 75

3 4 75
……11 分 ……12 分

20.解法一: (Ⅰ)设 BD ? OC ? F ,连接 EF , ……1 分 E、F 分别是 PC 、 OC 的中点,则 EF / / PO , 已知 CD ? 平面 PAD , CD ? 平面 ABCD ,所以平面 ABCD ? 平面 PAD , 又 PA ? PD , O 为 AD 的中点,则 PO ? AD , 而平面 ABCD ? 平面PAFD ? AD ,所以 PO ? 平面 ABCD , 所以 EF ? 平面 ABCD , 又 AB ? 平面 ABCD ,所以 AB 在 ?ABD 中, AB
2

? EF ;

……3 分

? BD 2 ? AD 2 , AB ? BD ;
……6 分

又 EF ? BD ? F ,所以 AB ? 平面 BED , 又 DE ? 平面 BED ,所以 AB ? DE .

(Ⅱ)在平面 ABCD 内过点 A 作 AH ? CO 交 CO 的延长线于 H ,连接 HE , AE , 因为 PO ? 平面 ABCD , P 所以 POC ? 平面 ABCD , 平面 POC ? 平面 ABCD ? AH , 所以 AH ? 平面 POC , PC ? 平面 POC ,所以 AH ? PC ; E 在 ?APC 中, AP ? AC , E 是 PC 中点, 故 AE ? PC ; 所以 PC ? 平面 AHE ,则 PC ? HE . 所以 ?AEH 是二面角 A ? PC ? O 的平面角. H O A ……10 分 D 设 PO ? AD ? 2BC ? 2CD ? 2 , 而 AE
2

? AC ? EC ,
2 2

B

F

C

AE ?

2 7 14 AH ? ,则 sin ?AEH ? , 2 7 2
42 . 7
……12 分

所以二面角 A ? PC ? O 的余弦值为

解法二: 因为 CD ? 平面 PAD , CD ? 平面 ABCD ,所以平面 ABCD ? 平面 PAD , 又 PA ? PD , O 是 AD 的中点,则 PO ? AD ,且平面 ABCD ? 平面PAFD ? AD , 所以 PO ? 平面 ABCD . ……2 分

??? ? ???? ??? ? 如图,以 O 为原点,以 OB, OD, OP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系.

A(0, ?1, 0) B(1,0,0) C (1,1, 0) D(0,1,0)
1 1 E ( , ,1) P(0,0, 2) 2 2
??? ? AB ? (1,1, 0)
……4 分

z P


???? 1 1 DE ? ( , ? ,1) 2 2

??? ? ??? ? AB ? DE ? 0 ,所以 AC ? DE .……6 分
(Ⅱ) AC ? (1, 2, 0) , PC ? (1,1, ?2) , 设平面 PAC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

E

????

??? ?

A B x

O C

???? ?m ? AC ? 0 ? x ? 2 y ? 0 ? ?? 则? ??? ? m ? PC ? 0 ?x ? y ? 2z ? 0 ? ?

D y

1 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 又 BD ? PO ? 0 , BD ? OC ? 0 ,

令 x ? 2 ,得 m ? (2, ?1, ) . ……8 分

所以平面 POC 的法向量 BD ? (?1,1, 0) ,

??? ?

……10 分

??? ? ??? ? 42 m ? BD ??? ? ?? cos m , BD ? , 7 | m || BD |
所以二面角 A ? PC ? O 的余弦值为

42 . 7
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

……12 分

21.解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆 C 的方程为

因为 | PF1 | ? | PF2 |?

(1 ? 1) 2 ? (

2 3 2 2 3 2 ) ? (1 ? 1) 2 ? ( ) ? 2 3 ? 2a ,所以 3 3

a 2 ? 3 , b2 ? 2 ,
所以,椭圆 C 的方程为

x 2 y2 ? ?1. 3 2

………4 分

(也可用待定系数法

b2 a2 ?1 2 3 1 12 ? ? ? ? 1 ,或用 ) a a 3 a 2 9(a 2 ? 1)

(2)当直线 l 斜率存在时,设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 由? 3 得 (2 ? 3k ) x ? 6k x ? 3k ? 6 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 1) ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , x1 x2 ?

3k 2 ? 6 ?6k 2 x ? x ? , . 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
4 3( k 2 ? 1) , 2 ? 3k 2

……6 分

所以 | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

设内切圆半径为 r ,因为 ?ABF2 的周长为 4a ? 4 3 (定值) , S? ABF2 ? 所以当 ?ABF2 的面积最大时,内切圆面积最大,又

1 ? 4a ? r ? 2 3r , 2

S# ABF2

4 3k 2 (k 2 ? 1) 1 ? | F1F2 || y1 ? y2 |?| y1 ? y2 | ?| k || x1 ? x2 | ? , 2 ? 3k 2 2

……8 分

令 t ? 2 ? 3k ? 2 ,则 k ?
2
2

t ?2 ,所以 3
……10 分

S? ABF2 ?

4 3k 2 (k 2 ? 1) (t ? 2)(t ? 1) 4 2 1 4 ?4 ? ? 2 ? ?1 ? . 2 2 2 ? 3k 3t t t 3 3

又当 k 不存在时, | y1 ? y2 | ?

4 4 S 2 ,此时 r ? ? , S圆 = ? 9 3 2 3 3 4 ? ,此时直线方程为 x ? ?1 . 9
……12 分

故当 k 不存在时圆面积最大, S圆 =

(也可以设直线 l:x ? my ? 1 ,避免对 k 的讨论,参照以上解法,按相应步骤给分) 22.解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) .其导数 f '( x) ?

1 ?a. x

……1 分 ……2 分

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数在 (0, ??) 上是增函数;

②当 a ? 0 时,在区间 (0, ) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( , ??) 上, f '( x) ? 0 .

1 a

1 a

所以 f ( x) 在 (0, ) 是增函数,在 ( , ??) 是减函数.

1 a

1 a

……4 分

(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,不可能有两 个零点 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ) 是增函数, 在 ( , ??) 是减函数, 此时 f ( ) 为函数 f ( x) 的 最大值, 当 f ( ) ? 0 时, f ( x) 最多有一个零点,所以 f ( ) ? ln

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 ? 0 ,解得 0 ? a ? 1,6 分 a

此时,

1 a a 1 1 e2 ? ? 2 ,且 f ( ) ? ?1 ? ? 1 ? ? ? 0 , e a a e e e

f(

e2 e2 e2 ) ? 2 ? 2 ln a ? ? 1 ? 3 ? 2 ln a ? (0 ? a ? 1) a a a2 e2 2 e 2 e 2 ? 2a ? 0 ,所以 F (a) 在 (0 ,1) ,则 F ?( x) ? ? ? 2 ? a a a a2

令 F (a) ? 3 ? 2 ln a ? 上单调递增,

所以 F (a) ? F (1) ? 3 ? e ? 0 ,即 f (
2

e2 )?0 a2

所以 a 的取值范围是 (0 , 1) . (ⅱ)证法一:

……8 分

a?

1 ? ln x1 1 ? ln x2 1 ? ln x ln x ? .设 g ( x) ? ( x ? 0) . g '( x) ? ? 2 . x1 x2 x x

当 0 ? x ? 1 时, g '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g '( x) ? 0 ; 所以 g ( x) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数. g ( x) 最大值为 g (1) ? 1 . 由于 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,且 0 ? a ? 1,所以 0 ?

1 ? ln x1 1 ? ln x2 1 ? ? 1 ,所以 ? x1 ? 1 . x1 x2 e

下面证明:当 0 ? x ? 1 时, ln x ?

x2 ?1 x2 ? 1 . 设 h (x) ? ln x ? ( x ? 0) , x2 ? 1 x2 ? 1

( x 2 ? 1) 2 则 h '( x) ? ? 0 . h( x) 在 (0,1] 上是增函数,所以当 0 ? x ? 1 时, x( x 2 ? 1) 2

x2 ?1 .. h( x) ? h(1) ? 0 .即当 0 ? x ? 1 时, ln x ? 2 x ?1
由 0 ? x1 ? 1 得 h( x1 ) ? 0 .所以 ln x1 ?

x1 2 ? 1 . x1 2 ? 1

所以

1 ? ln x1 2x 2x 2 2 ? 2 1 ,即 a ? 2 1 , x1 ( ? x1 ) ? 1, ln x1 ? ln( ? x1 ) ? 0 . x1 x1 ? 1 x1 ? 1 a a

又 ax1 ? 1 ? ln x1 ,所以 ax1 ? 1 ? ln( ? x1 ) ? 0 , ax1 ? ln( ? x1 ) ? 1 . 所以 f ( ? x1 ) ? ln( ? x1 ) ? a( ? x1 ) ? 1 ? ln( ? x1 ) ? ax1 ? 1 ? 0 . 即 f ( ? x1 ) ? f ( x2 ) .

2 a

2 a

2 a

2 a

2 a

2 a

2 a

由 0 ? x1 ?

1 2 1 2 2 ? x2 ,得 ? x1 ? .所以 ? x1 ? x2 , x1 ? x2 ? ? 2 . a a a a a

……12 分

(ⅱ)证法二: 由(Ⅱ)①可知函数 f ( x) 在 (0, ) 是增函数,在 ( , ??) 是减函数. f ( x) ? ln x ? ax ? 1.

1 a

1 a

a a 1 ? 1 ? ? ? 0, f (1) ? 1 ? a ? 0 .故 ? x1 ? 1 e e e 1 2 1 2 第二部分: 分析:因为 0 ? x1 ? ,所以 ? x1 ? .只要证明: f ( ? x1 ) ? 0 就可以得出结论 a a a a
所以 f ( ) ? ?1 ? 下面给出证明:构造函数:

1 e

2 2 2 1 g ( x) ? f ( ? x) ? f ( x) ? ln( ? x) ? a( ? x) ? (ln x ? ax).( 0 ? x ? ) a a a a 1 2a ( x ? ) 2 1 1 a ?0 则 g ?( x) ? ? ? 2a ? 2 x 2 x? x( x ? ) a a
所以函数 g ( x) 在区间 (0, ] 上为减函数. 0 ? x1 ? 于是 f (

1 a

1 1 ,则 g ( x1 ) ? g ( ) ? 0 ,又 f ( x1 ) ? 0 a a

2 2 2 ? x1 ) ? ln( ? x1 ) ? a( ? x1 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? 0 .又 f ( x2 ) ? 0 由(1)可知 a a a 2 2 x 2 ? ? x1 .即 x1 ? x2 ? ? 2 . ……12 分 a a


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